精品解析：河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺（五）数学试题

名校学术联盟·高考模拟信息卷&冲刺卷 数学（五） 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､雅考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是：. 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出，再求出其共轭复数及模. 【详解】依题意，，则 所以. 故选：C 3. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 4. 已知均为正数，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由均为正数，得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：D 5. 同时满足：①偶数；②没有重复数字的三位数；③个位数不为0，这三个条件的数有（ ） A. 64个 B. 128个 C. 196个 D. 256个 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理求解即可. 【详解】个位数的选择：由于是偶数且个位不能为0，个位只能是2、4、6、8中的一个，共有4种选择. 百位数的选择：百位不能为0，且不能与个位数字重复.因此，对于每个个位数，百位有8种选择（1-9中排除个位数）. 十位数的选择：十位可以是0-9中排除百位和个位已经使用的数字，剩下的8种选择. 根据分步乘法计数原理同时满足题设三个条件得数得总个数为 种. 故选：D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先“切化弦”，再利用和角公式和倍角公式化简即可. 【详解】. 故选：C 7. 已知过原点且斜率存在的直线与圆交于，两点（为圆心），当的面积最大时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得面积的表达式，结合二次函数的性质求得的面积最大时直线的斜率. 【详解】设直线l的方程为：， 圆心到直线的距离，弦长， 所以， 当时，面积S最大，这时，整理得，解得， 所以直线的斜率为． 故选：B 8. 已知椭圆与双曲线的公共焦点分别为，离心率分别为是的一个公共点．若点满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出及，再利用余弦定理求出，然后利用椭圆、双曲线定义求解即可. 【详解】由，得，， 由，得，在中，， 由余弦定理得， 由椭圆定义得，即， 由双曲线定义得，即， 所以. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全知识竞赛活动．某高中采用分层抽样的方式从该校的高一､二､三年级中抽取10名同学作为代表队参赛，已知该校高一､二､三年级的人数比例为，统计并记录抽取到的10名同学的成绩（满分100分）为：，则（ ） A. 中位数为90 B. 分位数为92 C. 方差为58 D. 代表队中高三的同学有4人 【答案】AC 【解析】 【分析】根据中位数、百分位数、方差的定义分析数据判断ABC；利用分层抽样的抽样比求解判断D. 【详解】将10名同学的成绩从小到大排列为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100， 对于A，中位数为，A正确； 对于B，由，得分位数为，B错误； 对于C，平均数为， 方差 ，C正确； 对于D，由分层抽样，得高三年级的同学有人，D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为2 B. 为图象的一条对称轴 C. 在区间上先单调递增后单调递减 D. 在区间上恰有8个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正弦函数的图象性质逐项推理判断. 【详解】对于A，的最小正周期为，A错误； 对于B，，则为图象的一条对称轴，B正确； 对于C，当时，，函数在上递增， 在上递减，因此在区间上先单调递增后单调递减，C正确； 对于D，由，得，解得， 由，解得， 而， ，因此的整数值有8个，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的定义域为，满足，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 当时， D. （，且） 【答案】ACD 【解析】 【分析】令即可判断A；令得，再由有判断B；根据已知得到是首项为，公比为2的等比数列，进而得到，即可判断C；应用构造法得到是首项为，公比为的等比数列，进而有，结合等比数列的前n项和公式及已知，即可判断D. 【详解】A：令，则，对； B：令，则，故， 而且，若，则，错； C：当，则， 若，，则，所以， 即，即是首项为，公比为2的等比数列， 故，所以，对； D：令，，则，即，所以， 令，则，所以且，则， 所以，即是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 所以，又且，则，， 所以，对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于C、D，应用赋值法得到、，再由构造法确定一个等比数列并写出对应通项公式为关键. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】化抛物线的方程为标准形式，再求出其焦点坐标. 【详解】抛物线化为：， 所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 13. 在中，角所对的边分别为，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边求解即得. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 由正弦定理得. 故答案为： 14. 光学是物理学的重要研究领域，点光源是抽象化的物理概念，指从一个点向周围空间均匀发光的光源.如图1所示，有一点光源在垂直于水平地面的屏幕平面上映出长方形的影像，此时点光源发光所形成的空间图形是以为顶点，以长方形为底面的四棱锥.已知，，，直线平行于屏幕边界.如图2所示，将图1的屏幕以直线为旋转轴向箭头方向旋转时，屏幕上映出的影像从长方形变成了梯形，则四棱锥的体积为______. 【答案】72 【解析】 【分析】重新作出棱锥，如图，平面与平面所成二面角是，，再取取中点，中点，记，可证明，平面，求出四边形的面积，并求得到平面的距离（先说明在平面上的射影在上）后由体积公式计算． 【详解】重新作出棱锥，如图，分别在上且，平面与平面所成二面角是， ，因为， 是矩形，则是中点，也是中点， 所以，又因为平面，， 所以平面， 取中点，中点，连接，则，，，， 又因为，平面， 所以平面，而平面，所以， 设，连接， 所以是平面与平面所成二面角的平面角，即， 易得，，， ，， 所以，，即，， 所以，从而， 中由正弦定理有，， 所以，解得，同理得， 所以是中点，所以是的中位线，， 又平面，平面， 所以平面平面，又平面平面， 过作平面的垂直，则垂足在上， ， 所以， 从而到平面的距离为， ， 所以， 故答案为：72． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤． 15. 在几何体中，为等边三角形，底面为等腰梯形，为的中点，记平面和平面的交线为． （1）证明：直线平面； （2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得，再利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）以的中点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在等腰梯形中，由，得，而为的中点， 则，四边形为平行四边形，于是，又平面平面， 因此平面，而平面，平面平面，则， 又平面，所以直线平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，则，由平面平面， 平面平面，平面，得平面， 而平面，则，由为等边三角形，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）分和两种情况进行讨论，利用导数求出函数的单调性，结合单调性求解即可得答案. 【小问1详解】 当时，，，，， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，的定义域为， ，令，解得或（舍去）， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，解得，即； 当时，的定义域为， ，令，解得（舍去）或， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，解得，即. 综上所述，的取值范围是. 17. 已知甲和乙配合做压轴题，从4道压轴题（每题均为2问）中随机选择3道，甲做第一问，乙做第二问.4道题中甲会做其中3道题的第一问，若甲能做出第一问，则乙做出第二问的概率是；若甲做不出第一问，则乙也做不出第二问． （1）求甲和乙配合做出2道题的概率； （2）记甲和乙配合做出题目的个数为，求的分布列和期望． 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 3 期望为. 【解析】 【分析】（1）由甲乙配合做出2道题，则需要抽中2个或3个甲会做的题，且乙做对其中2道，进而求出概率. （2）由求出的可能取值，并求得相应的概率，列出分布列，求出期望. 【小问1详解】 甲乙配合做出2道题的事件为，则需要抽中2个或3个甲会做的题，且乙做对其中2道， 因此， 所以甲和乙配合做出2道题的概率为． 【小问2详解】 依题意，随机变量可能的取值为， 可得， ， ，． 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 18. 已知数列满足，且． （1）证明：； （2）证明：； （3）证明：．（附：当时，） 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先构造函数，利用导数证明任意，；由再结合所证不等式与不等式性质证明； （2）先用数学归纳法证明，再利用不等式性质证明数列为递增数列，变形可得所求证不等式； （3）由题附结论转化放缩变形得，再利用裂项求和法证明，由此得证，变形可得. 【小问1详解】 由题意可得. 构造函数， 则，在单调递增. 所以，即任意时，. ，，且， 且， 故. 【小问2详解】 下面用数学归纳法证明. ①当时，成立；当时，成立； ②假设当时，，， 则当时，， 且，所以， 综合①②可知，对任意，成立. ，， 由，则，即， ， 数列为递增数列， ，即. 【小问3详解】 要证，由，故即证. 当时，成立； 当时，由题附结论可知，当时，， 所以，即， 由，故在式两边同除以得， 所以，即， ，， 由，可得数列是正项递减数列，又数列为正项递增数列， 所以， 则 ， 又， ， ， 综上所述，对任意，都有， 故，得证. 【点睛】关键点点睛：解决此题关键有两点，一是递推关系的变形，转化为进而利用放缩法证明不等式；二是借助裂项、放缩变形数列求和证明不等式，如：；. 19. 给定平面上一些点的集合D及若干个点若对于为定值，我们就称为一个稳定点集. （1）判断集合与点构成的是不是稳定点集，并说明理由； （2）判断集合以及点构成的是不是稳定点集，并说明理由； （3）若集合及单位圆中的内接2024边形的顶点，，，构成的是一个稳定点集，求的值. 【答案】（1） 不是稳定点集，理由如下： 取，则； 取，则， 故不是稳定点集. （2） 是稳定点集，理由如下： 设，，则， 则 ，为定值， 故是稳定点集. （3）0 【解析】 【分析】（1）举出反例，得到不是稳定点集； （2）设，，则，则，为定值，是稳定点集； （3）计算出，又为定值，故为定值，因为是单位圆上任意一点，所以，故. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是稳定点集，设是单位圆上任意一点，所以为定值， 所以， 因为，故， 因为为定值，所以为定值， 因为是单位圆上任意一点，所以，故. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校学术联盟·高考模拟信息卷&冲刺卷 数学（五） 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､雅考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知均为正数，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 5. 同时满足：①偶数；②没有重复数字的三位数；③个位数不为0，这三个条件的数有（ ） A. 64个 B. 128个 C. 196个 D. 256个 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知过原点且斜率存在的直线与圆交于，两点（为圆心），当的面积最大时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线的公共焦点分别为，离心率分别为是的一个公共点．若点满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 近些年食品安全问题日益突出，为了达到宣传食品安全防范意识的目的，某市组织全市中学生食品安全知识竞赛活动．某高中采用分层抽样的方式从该校的高一､二､三年级中抽取10名同学作为代表队参赛，已知该校高一､二､三年级的人数比例为，统计并记录抽取到的10名同学的成绩（满分100分）为：，则（ ） A. 中位数为90 B. 分位数为92 C. 方差为58 D. 代表队中高三的同学有4人 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为2 B. 为图象的一条对称轴 C. 在区间上先单调递增后单调递减 D. 在区间上恰有8个零点 11. 已知函数的定义域为，满足，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 当时， D. （，且） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点坐标为__________． 13. 在中，角所对的边分别为，且，则__________． 14. 光学是物理学的重要研究领域，点光源是抽象化的物理概念，指从一个点向周围空间均匀发光的光源.如图1所示，有一点光源在垂直于水平地面的屏幕平面上映出长方形的影像，此时点光源发光所形成的空间图形是以为顶点，以长方形为底面的四棱锥.已知，，，直线平行于屏幕边界.如图2所示，将图1的屏幕以直线为旋转轴向箭头方向旋转时，屏幕上映出的影像从长方形变成了梯形，则四棱锥的体积为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤． 15. 在几何体中，为等边三角形，底面为等腰梯形，为的中点，记平面和平面的交线为． （1）证明：直线平面； （2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围. 17. 已知甲和乙配合做压轴题，从4道压轴题（每题均为2问）中随机选择3道，甲做第一问，乙做第二问.4道题中甲会做其中3道题的第一问，若甲能做出第一问，则乙做出第二问的概率是；若甲做不出第一问，则乙也做不出第二问． （1）求甲和乙配合做出2道题的概率； （2）记甲和乙配合做出题目的个数为，求的分布列和期望． 18. 已知数列满足，且． （1）证明：； （2）证明：； （3）证明：．（附：当时，） 19. 给定平面上一些点的集合D及若干个点若对于为定值，我们就称为一个稳定点集. （1）判断集合与点构成的是不是稳定点集，并说明理由； （2）判断集合以及点构成的是不是稳定点集，并说明理由； （3）若集合及单位圆中的内接2024边形的顶点，，，构成的是一个稳定点集，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $