精品解析：陕西省宝鸡市2025届高三下学期高考模拟检测(二)数学试题

2025年宝鸡市高考模拟检测试题（二） 数学 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则其离心率为（ ） A B. C. D. 5. 若，，则实数、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 6. 展开式中的系数为（ ） A. 200 B. 230 C. 120 D. 180 7. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. 8 D. 16 8. 在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点，则（ ） A. 平面 B. 直线不可能相交于同一点 C. 正方体表面上满足的点的轨迹长度为 D. 平面与平面可能平行 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知向量，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与夹角是，则 D. 若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是 10. 已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（ ） A. 若、相互独立，则 B. 恒成立 C. 若，则 D. 若，则、相互独立 11. 近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（ ） A. 站在第20拐角的学生是111号 B. 站在第23拐角的学生是137号 C. 第133号同学站在拐角位置 D. 站在拐角位置的同学共有79名 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若一个函数的定义域为，值域为，则它的解析式可能为：_______． 13. 若函数的极大值点为，则_______． 14. 直线恒与圆相切，则圆方程为_______，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在三棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，为上一点，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； （2）从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （3）将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 17. 已知：数列的前项和为，，当时． （1）求证：数列为等差数列； （2）记表示不超过的最大整数，设，求数列前2025项和． 18. 已知抛物线的焦点为，为上的动点，到点的距离与到的准线的距离之和的最小值为． （1）求抛物线的方程； （2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点处的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （ⅰ）证明：抛物线上点处切线方程为； （ⅱ）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为、．证明：直线、 的斜率之积为常数． 19. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求范围； （3）若在内有两个不同零点、，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年宝鸡市高考模拟检测试题（二） 数学 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：C. 2. 已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将虚数根代入可得，即可求解方程的虚数根，利用虚部的定义求解即可. 【详解】将代入中可得，解得， 故，故， 因此另一个虚数根为，故其虚部为1， 故选：A 3. 已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直三棱柱的性质即可判断的中点为外接球的球心，利用勾股定理求解半径，即可利用表面积公式求解. 【详解】取的中点为, ,连接 ,取的中点, 由于且三棱柱为直三棱柱， 故为外接球的球心， ,, 故外接球的表面积为, 故选：C 4. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的焦距求出的值，可得出的值，由此可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】因为焦点在轴上的椭圆的焦距为，则，可得， 所以，该椭圆的标准方程为，则，故该椭圆的离心率为. 故选：D. 5. 若，，则实数、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序. 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则，故. 故选：B. 6. 展开式中的系数为（ ） A. 200 B. 230 C. 120 D. 180 【答案】A 【解析】 【分析】将原式拆成标准的二项式定理，通过找展开式的通项公式求解. 【详解】， 由通项公式可得，， 则的系数由来确定，由其通项公式可得，. 由，得或， 所以的系数为. 故选：A. 7. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得，再根据可得，进而可得. 【详解】由奇函数性质可得，的定义域关于原点对称， 又定义域为，即且，，故，解得. 又，故， 此时为奇函数，故. 故选：D 8. 在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱上一点，则（ ） A 平面 B. 直线不可能相交于同一点 C. 正方体表面上满足的点的轨迹长度为 D. 平面与平面可能平行 【答案】C 【解析】 【分析】选项A，由空间向量法判断线面的位置关系；选项B，先根据位置关系确定直线与直线的交点，进而可确定当为的中点时，直线相交于同一点；选项C，由对称性，由得点位于四边形的边上，进而可得；选项D，由空间向量法判断两个平面的法向量不平行，进而可得. 【详解】 选项A：如图，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，则， 因，故与平面不平行，故A错误； 选项B：延长交直线的延长线于，则， 则平面，连接，交直线于，则， 故可知当为的中点时，直线相交于同一点，故B错误； 选项C：根据正方体的对称性，当时，点在四边形的边上， 故点的轨迹长度即为四边形的周长为，故C正确； 选项D：，，设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，故， 若平面与平面平行， 则，即，显然不存在，故D错误， 故选：C 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知向量，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角是，则 D. 若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示判断AB，利用向量数量积的运算律判断C，利用投影向量的定义判断D. 【详解】因为向量， 若，则，解得，A说法正确； 若，则，解得，B说法正确； 若与的夹角是，因为，， 所以， 所以，C说法正确； 若与的方向相反，所以， 所以在上的投影向量为，D说法错误； 故选：ABC 10. 已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（ ） A. 若、相互独立，则 B. 恒成立 C. 若，则 D. 若，则、相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】利用独立事件的定义以及条件概率公式可判断A选项；举例可判断B选项；根据并事件的概率公式求出的值，结合条件概率公式可判断C选项；利用条件概率的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、相互独立，则， 由条件概率公式可得，A对； 对于B选项，抛掷一枚骰子，定义事件向上的点数为，事件向上的点数为奇数， 则，，此时，，B错； 对于C选项，若，则， 因此，，C对； 对于D选项，对任意的事件、恒成立，故、不一定独立，D错. 故选：AC. 11. 近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（ ） A. 站在第20拐角的学生是111号 B. 站在第23拐角的学生是137号 C. 第133号同学站在拐角位置 D. 站在拐角位置的同学共有79名 【答案】ACD 【解析】 【分析】由前几个拐角的编号，找到规律，即可逐项判断； 【详解】观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26 将奇数项的拐角即为，易得：; 偶数序号的拐角即为，由规律可得： 第20拐角的学生编号为：正确； 站在第23拐角的学生编号为：错误； 由，解得，也即第133号同学站在第22拐角位置； 由，可得， 由，可得， 所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：由前几个拐角编号，找到规律； 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若一个函数的定义域为，值域为，则它的解析式可能为：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据所给性质选择满足条件的函数作答. 【详解】函数的定义域为，值域为， 所以. 故答案为： 13. 若函数的极大值点为，则_______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据极大值的定义，对函数求导并利用辅助角公式进行整理，由余弦函数的图象可得角的值，结合诱导公式，可得答案. 【详解】由函数， 求导可得， 令，则， 由题意可得， 由函数可知当（）时，， 当（）时，，且为函数的极大值点， 则可得（），解得（）， 所以. 故答案为：. 14. 直线恒与圆相切，则圆的方程为_______，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】计算出原点到直线的距离，可得出圆的方程；利用三角形的面积公式可得出，不妨设点位于第一象限，则，，利用双曲线的焦半径公式以及三角形的面积公式可得出点，再利用可求出的值，由此可得出的值. 【详解】因为原点到直线的距离为， 所以，直线与圆心为原点，半径为的圆恒相切，故圆的方程为， 因为为的中点，则，则， 不妨设点位于第一象限，则，， 则 ，可得， 又因为，可得，即点，其中， 因为，整理可得， 解得，则，故. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用三角形的面积公式、双曲线的焦半径公式求出点的坐标，在利用两点间的距离公式求出、的值. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在三棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，为上一点，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取为中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可得出； （2）利用面面垂直的性质得出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 取为中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则， 因为，则， 因为，为中点，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，故. 小问2详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，则， 因为，则点为的中点，即点， 又有，则，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 16. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值； （2）从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （3）将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试估计的值． （附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） 【答案】（1）， （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为，可求出的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应的矩形面积，再将所求结果全加可得的值； （2）分析可知，随机变量可能取的值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）利用原则求得，结合百分位数的定义可求得的估计值. 【小问1详解】 由于在频率分布直方图可知，所有矩形的面积之和为， 由题可知：，解得， 所以，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为： ． 所以，. 【小问2详解】 样本中质量指标值在和的芯片数量为， 所取样本的个数为件， 质量指标值在的芯片件数为件，故可能取的值为、、、， 所以，，， ，， 随机变量的分布列为： 所以的数学期望． 【小问3详解】 由（1）可知：，则，， 由题可知：． 所以：，即. 17. 已知：数列的前项和为，，当时． （1）求证：数列为等差数列； （2）记表示不超过的最大整数，设，求数列前2025项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合整理可得，即可证等差数列； （2）由（1）可得：，分和两种情况，结合取整函数的定义求数列的通项公式，进而求和. 【小问1详解】 当时，且， 可得，整理得， 即，且， 所以数列为以1为首项，1为公差的等差数列． 【小问2详解】 由（1）可得：，即， 由定义可得：， 当时，，即， 所以； 当且时，不是整数， 可设，则， 则，可得； 综上所述：. 在上，，， 所以. 18. 已知抛物线的焦点为，为上的动点，到点的距离与到的准线的距离之和的最小值为． （1）求抛物线的方程； （2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点处的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （ⅰ）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ⅱ）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为、．证明：直线、 的斜率之积为常数． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义、焦半径公式可求出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）（i）当抛物线上处的切线斜率存在时设其方程为，其中，将该直线方程与抛物线的方程联立，由可求出，代入切线方程可证得结论成立；当切线斜率不存在时，直接验证即可； （ii）设、、，根据（i）中的结论成立写出直线、的方程，将点的坐标分别代入两切线方程，可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 抛物线的焦点，准线方程为， 设动点，动点到其准线的距离为， 由抛物线定义得，则， 当且仅当时取等号， 依题意，，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）当抛物线上处的切线斜率存在时,设其方程为，其中， 由得①， 由题意可得，可得， 即，所以，解得， 所以切线方程为，即， 即，即②； 即为上处的切线斜率存在时的方程； 当上处的切线斜率不存在时，即时处切线方程为，符合②式． 所以上处的切线方程为. （ⅱ）设、， 由（ⅰ）知点处的切线方程为④， 点处的切线方程为⑤， 将分别代入上面两式得． 所以点、的坐标均满足方程， 所以直线方程为， 由④⑤知直线、斜率分别为，，则⑥， 由得，则，可得， 由韦达定理可得，则， 所以直线、斜率之积为常数． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求的范围； （3）若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， 【小问2详解】 因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 因函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数上单调递增，所以，，故原不等式得证． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $