精品解析：河南省驻马店市汝南县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年度上期期末素质测试题 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4 5. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 7. 如图，的半径为，直角三角板的角的顶点 落在上，两边与圆交于点 、 ；则弦的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，点 是的黄金分割点，即 点满足，若 ，则的长为（ ） A. B. C. D. 0.618 9. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使 是正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，矩形的顶点 为坐标原点，，对角线 在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点 以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点 的对应坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数中,当x＞1时,y随x的增大而 ___．（填“增大”或“减小”） 12. 杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力 关于动力臂 的函数表达式为__________． 13. 如图，正方形的边长为2，对角线相交于点 ，以点 为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点 ，则图中阴影部分的面积为________． 14. 如图，在 中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ___________． 15. 在矩形中，，点 为的中点，点 在边上，且．连接，和，若为直角三角形，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）已知，求的值． 17. 如图，在中，，．求的长． 18. 如图，是由绕点A逆时针方向旋转得到的，且点B的对应点D恰好落在的延长线上，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 19. 在矩形中， （1）P是边上一点，且，请用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）任意选取一点P，证明：． 20. 如图，直线 与相切于点 ，为的直径，过点 作于点 ，延长交直线 于点 ． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 22. 排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． （1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由． （2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 23. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上期期末素质测试题 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的特征进行判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形不是中心对称图形； B选项是中心对称图形，也不是轴对称图形； C选项是轴对称图形，不是中心对称图形； D选项既是轴对称图形又是中心对称图形; 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题关键是抓住对称图形的特征，进行准确判断． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（　　） A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解； 【详解】解：抛物线经过和两点， 可知函数的对称轴， ， ； ， 将点代入函数解析式，可得； 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 5. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 6. 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.2附近，故摸到白球的频率会接近0.2， ∵袋中白球的个数为4， ∴估计袋子中共有个球， 则可估计袋子中黑球的个数为个， 故选A． 7. 如图，的半径为，直角三角板的角的顶点 落在上，两边与圆交于点 、 ；则弦的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得出，继而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 8. 如图，点是的黄金分割点，即点满足，若 ，则的长为（ ） A. B. C. D. 0.618 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．根据黄金比的值为求解即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即点满足， ∴为较长线段， 由， 得， 故选：A． 9. 如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使 是正方形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键． 根据从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可． 【详解】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形． ∴ ，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使 是正方形的概率为． 故选：A． 10. 如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线 在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点 的对应坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点 的变化特点，利用数形结合的思想解答，每秒旋转，则8次一个循环，，第2025秒时，点 的对应点落在轴正半轴上，由此可得到点 的坐标． 【详解】解： 四边形是矩形， ， 每秒旋转，8次一个循环，， 第2025秒时，点 的对应点落在轴正半轴上， 点的坐标为． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在函数中,当x＞1时,y随x的增大而 ___．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】根据其顶点式函数可知，抛物线开口向上，对称轴为 ，在对称轴右侧y随x的增大而增大，可得到答案． 【详解】由题意可知: 函数,开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，又∵对称轴为 ， ∴当 时，y随的增大而增大， 故答案为：增大． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键． 12. 杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力 关于动力臂 的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴，即， 故答案为：． 13. 如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点 为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点 ，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形， ∴，， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴ ∴阴影部分的面积为扇形的面积，即， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键． 14. 如图，在 中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ___________． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，延长交 的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】解：如图，延长交 的延长线于点G． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：20． 15. 在矩形中，，点 为的中点，点 在边上，且．连接，和，若为直角三角形，则的长为______． 【答案】12或##或12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定定理．分情况讨论：当时，当时，根据同角的余角相等推出两个相似的三角形，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：，点 为的中点， ， 在矩形中，，， ， ， ①当时，如图1所示． ∴，， ． ， ． ， 即， 解得． ． ②当时，如图2所示， 同理可得，． ， 即， 解得． ． ③， 不可能为直角． 综上所述，的长为12或． 故答案为：12或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）已知，求的值． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知数的值； （1）可得，，，求出利用公式法求解即可； （2）化简得 ，代入分式，即可求解； 掌握一元二次方程的解法，能用解一元一次方程的方法求两未知数的关系是解题的关键． 【详解】解：（1），，， ， ， ，； （2）， ， 解得： ， ． 17. 如图，在中，，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，是由绕点A逆时针方向旋转得到的，且点B的对应点D恰好落在的延长线上，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了图形旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，即可得到答案； （2）根据旋转的性质得到，则，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵是由绕点A逆时针方向旋转得到的，且点B的对应点D恰好落在的延长线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 ∵是由绕点A逆时针方向旋转得到的，且点B的对应点D恰好落在的延长线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 在矩形中， （1）P是边上一点，且，请用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）任意选取一点P，证明：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线和圆的尺规作图，圆周角定理，矩形的性质，相似三角形的判定； （1）作线段的垂直平分线交于，以为圆心， 为半径画圆，由圆周角定理得与的交点为所求作，即可求解； （2）由矩形的性质得，由直角三角形的特征及平角定义得，即可得证； 掌握线段垂直平分线和圆的尺规作法，圆周角定理，相似三角形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， 、为所求作； 【小问2详解】 证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，直线 与相切于点 ，为的直径，过点 作于点 ，延长交直线 于点 ． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵直线 与相切于点 ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出， ， 的值，最后根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 22. 排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． （1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 11 12 竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由． （2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 【答案】（1）①； ②能， 当时，则， ∴能； （2）没有， 令，则， 解得（舍），， ∵， ∴没有出界． 【解析】 【分析】（1）①由表中数据可得抛物线顶点，则设，再把表格中其它任意一组数据代入即可求出a值， ②当时，求得，再与球网高度比较即可得出答案． （2）令，求出抛物线与x轴的交点，再比较即可． 【小问1详解】 解：①由表中数据可得抛物线顶点， 设 ， 把代入得， ∴所求函数关系为， ②略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键． 23. 综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求， 90 （2） 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当M在线段上时，如图，延长、 相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交 于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $