精品解析：河南省部分学校2024-2025学年高三下学期2月开学收心考试数学试题

2024-2025学年第二学期高三年级2月收心考 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合和集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别解一元二次不等式和分式不等式，再求交集即得. 【详解】由可得，即， 由，解得：，即， 故. 故选：C. 2. 已知为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用指数幂的运算及虚数单位的运算，即可求解. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：D. 3. 已知点是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的终边经过某点的三角函数值及二倍角公式即可求解. 【详解】依题意可得， 所以. 故选：A. 4. 已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出的坐标，再根据投影向量的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，两式相减可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为， 故选：A. 5. 某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】先求出英文单词“”中字母所有排列，即可求解. 【详解】因为“”中字母共有种排法，所以该同学写错的情况有种， 故选：D. 6. 已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则（ ） A. 54 B. C. 或54 D. 或27 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列、等比数列定义列式计算得解. 【详解】由，，，成等差数列，得公差， 由，，，，成等比数列，得， 而，解得， 所以. 故选：B 7. 已加直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，P为弦MN的中点，若直线OP（O为坐标原点）的方程为，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与渐近线方程求得坐标，再由中点坐标公式得到坐标，即可求解； 【详解】 由双曲线方程易得渐近线方程：，联立， 解得：，即 解得：，即 所以点 由题意可知， 解得： 故选：B 8. 已知函数，，当时，函数的图象始终在函数图象的上方，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知不等式变形为，可得出，令，利用导数求出的取值范围，可得出，然后分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二、三种情况下，结合参变量分离法可求出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，，即，即， 因为，故，故， 令，其中，则， 由可得，由可得，所以， 由题意可得恒成立， 当时，显然该不等式成立，此时，； 当时，则，令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，； 当时，则，令，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则. 综上所述，，即实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，体积为56，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台高为3 B. 该四棱台的侧棱长为 C. 该四棱台的侧面积为 D. 该四棱台不存在内切球 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式可求高判断选项A；做辅助线构造直角梯形结合已知条件可求该直角梯形的腰线即四棱台的侧棱，判断选项B；进一步做辅助线构造直角梯形求侧面梯形的高进一步求侧面积来判断选项C；由正四棱台与球的对称性确定球心，求出球心到各个面的距离不是全部相等所以不存在内切球来判断选项D. 【详解】选项A：设正四棱台的高为，则，（台体的体积公式：，其中为台体的体积，为台体的高，分别为台体的上、下底面面积） 解得，故A错误． 选项B：如图，连接，设分别为的中点， 连接，因为正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4， 所以，，则，故B正确． 选项C：取中点，过作的垂线，垂足为，则，所以该四棱台的侧面积为，故C正确． 选项D：如图，设为的中点，易知为的中点，连接， 作于，若该四棱台存在内切球，则，（点拨：注意正四棱台与球对称性） 而，故该四棱台不存在内切球，故D正确． 故选：BCD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上的值域为 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的图象关于y轴对称 D. 若方程在上恰好有一个根，则m的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换化简函数，再结合正弦函数图象与性质逐项求解判断. 【详解】函数 ， 对于A，函数的最小正周期为，A错误； 对于B，当时，，，则，B正确； 对于C，，是偶函数，C正确； 对于D，当时，，函数在上递增，函数值从1增大到， 在上递减，函数值从减小到，程在上恰好有一个根， 即直线与函数在上的图象只有一个交点，或，即或，D错误. 故选：BC 11. 已知为抛物线的焦点，，为抛物线上两动点，分别过作抛物线的切线，两切线交于点，则（ ） A. B. 若直线的倾斜角为，则 C. 直线的方程为 D. 点的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用抛物线标准方程的形式，结合条件，即可求解；对于B，由选项条件，设直线方程为，联立抛物线方程，利用根与系数间的关系，即可求解；对于C，设过点的抛物线的切线方程为，联立抛物线方和，消得到，利用，得到，即可求解；对于D，利用选项C的中结果，可得两切线方程，联立求出交点，即可求解. 【详解】对于选项A，因为为抛物线的焦点，则，解得，所以选项A正确， 对于选项B，由选项A知，，又直线的倾斜角为，设直线方程为， 由，消得，则，，所以选项B错误， 对于选项C，由题可设在点的抛物线的切线方程为， 由，消得到，则， 又，则，解得， 所以在点的抛物线的切线方程为，即，所以选项C正确， 对于选项D，由选项C知，在点的抛物线的切线方程为， 同理可得在的切线方程为， 由， 解得，，所以点，故选项D正确， 故选：ACD. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于选项C，设出在的抛物线的切线方程，联立抛物线方程，利用直线与抛物的位置关系，得出斜率与间的关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象经过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，代入求出参数值即可. 【详解】依题意，设，由函数的图象经过点，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知100个样本数据的平均数为14，标准差为4，其中，，则这40个数据的方差为__________. 【答案】17.56 【解析】 【分析】由平均值和方差的公式计算. 【详解】由题意得的平均数是，方差为； 设这40个数据的平均数为，方差为， 则，解得； 故，解得. 故答案为：17.56 14. 若为正项数列的前项和，且满足，则数列为__________数列（从“等差”和“等比”二者中选一个填到横线上）；若数列满足：，（），则数列的通项公式为__________. 【答案】 ①. 等差 ②. 【解析】 【分析】根据条件，解得，利用等差数列的定义，即可求解；由条件得到，利用累加法得到当时，，令，利用错位相减法，即可求解. 【详解】由，即， 解得或（舍），所以为常数， 又，故数列为以为首项，公差为等差数列， 则，得到， 当时，， 令①，则②， 由①②得到， 所以，得到时，， 又时，，满足，所以， 故答案为：等差，. 【点晴】方法点晴，数列求和常用的方法技巧： （1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和； （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和； （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，过且斜率为的直线与椭圆分别交于M，N两点. （1）当时，求的面积； （2）若直线OM的斜率与直线ON的斜率满足，求椭圆C的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积. （2）设椭圆右焦点坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式列式求解. 【小问1详解】 当时，椭圆的焦点，直线， 由消去得，设， 则，， 所以的面积为. 【小问2详解】 设，右焦点，则直线， 由消去得， 则， ，由，得， 即，因此，解得， 所以椭圆C的方程是. 16. 如图，圆锥的底面直径和母线长度均为2，是底面圆上的一条弦. （1）当时，证明：； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据边长关系可证，，进而可知线面垂直，进而可得线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用空间向量求解空间角即可. 【小问1详解】 易知，， 是等腰直角三角形， 为中点，， 又 ，平面，平面 平面平面 ． 【小问2详解】 当时，， 过点D作z轴平行于，建立如图所示的空间直角坐标系, 则 设平面的一个法向量为 则，令，则， 设平面的一个法向量为 则，令，则， 设平面与平面的夹角为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知中，角的对边分别是，. （1）证明：成等差数列； （2）若，内切圆半径为r，求r的最大值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把已知条件化为角的关系，再由诱导公式得，由两角和的正弦公式化简后可得的正切值，从而得B角大小，进而得证； （2）利用余弦定理及基本不等式可得的范围，利用面积相等可得，变形后再次利用基本不等式即可求解的范围. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， ，，即， ，， ，， 成等差数列； 【小问2详解】 由余弦定理可得，即， ，当且仅当时等号成立， 因为， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 即 ， 的取大值为 ． 18. 一颗质地均匀的正四面体骰子，四个面分别印有数字1，2，3，4，记投掷完后，与地面接触面上的数字为该次投掷的点数，连续随机投掷三次，得到的点数分别是x，y，z. （1）求为偶数的概率： （2）记随机变量，求X分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）利用列举法求出基本事件总数，两次数字之和为偶数包含的基本事件个数为8，利用古典概型求概率． （2）可取的值为，然后求出相应的概率列出分布列，求出期望，从而可求解. 【小问1详解】 由题意知，样本空间，，共16个样本点. 设事件“为偶数”，则 ，共8个样本点，所以，即“为偶数”的概率为. 【小问2详解】 连续随机投掷三次，得到的点数共有种情况， 由题意可知的所有可能取值为， 当时，有4种情况，概率为； 当时，，点数共有 18种情况，概率为； 当时，点数共有， 24种情况，概率为； 当时，点数共有 18种情况， 概率为； 所以的分布列是 0 2 4 6 所以数学期望. 19. 已知函数在单调递增. （1）求a的值； （2）解不等式（为函数的导函数）； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究其单调性后可得其最小值，再令，利用导数研究其单调性即可得解； （2）构造函数，利用导数研究其单调性即可得解； （3）由（2）可得在上恒成立，令，结合对数运算可得，由（1）可得在上恒成立，令，可得，即可得证. 【小问1详解】 ， 由函数在单调递增，则在上恒成立， 令，即在上恒成立， 若，则当时，，不符； 故，， 当，，当，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则有， 令，则， 当，，当，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 故当且仅当时，恒成立，即； 【小问2详解】 由，则， ，则， 令， 则， 故在上单调递减，又， 故当时，， 即不等式的解集为； 【小问3详解】 由（2）知，在上恒成立，故， 令，则， 则， 有，，， 故， 由（1）知，在单调递增， 又，故在上恒成立， 即有在上恒成立， 令，即有， 化简得，即，即， 则，又， 故，即. 【点睛】关键点点睛：利用（1）、（2）中所得结论，将所要证明的问题进行转化，利用对数的运算性质特点找突破口. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高三年级2月收心考 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合和集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则（ ） A. 54 B. C. 或54 D. 或27 7. 已加直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，P为弦MN的中点，若直线OP（O为坐标原点）的方程为，则（ ） A. B. 4 C. D. 8. 已知函数，，当时，函数的图象始终在函数图象的上方，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，体积为56，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台的高为3 B. 该四棱台的侧棱长为 C. 该四棱台的侧面积为 D. 该四棱台不存内切球 10. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上的值域为 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的图象关于y轴对称 D. 若方程在上恰好有一个根，则m的取值范围为 11. 已知为抛物线的焦点，，为抛物线上两动点，分别过作抛物线的切线，两切线交于点，则（ ） A. B. 若直线的倾斜角为，则 C. 直线的方程为 D. 点的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象经过点，则__________. 13. 已知100个样本数据平均数为14，标准差为4，其中，，则这40个数据的方差为__________. 14. 若为正项数列的前项和，且满足，则数列为__________数列（从“等差”和“等比”二者中选一个填到横线上）；若数列满足：，（），则数列的通项公式为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，过且斜率为的直线与椭圆分别交于M，N两点. （1）当时，求的面积； （2）若直线OM的斜率与直线ON的斜率满足，求椭圆C的方程. 16. 如图，圆锥的底面直径和母线长度均为2，是底面圆上的一条弦. （1）当时，证明：； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知中，角的对边分别是，. （1）证明：成等差数列； （2）若，内切圆半径为r，求r的最大值. 18. 一颗质地均匀正四面体骰子，四个面分别印有数字1，2，3，4，记投掷完后，与地面接触面上的数字为该次投掷的点数，连续随机投掷三次，得到的点数分别是x，y，z. （1）求为偶数的概率： （2）记随机变量，求X的分布列和数学期望. 19. 已知函数单调递增. （1）求a的值； （2）解不等式（为函数的导函数）； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $