第五讲函数的概念与表示讲义+练习-2025届高三数学一轮专题复习

第五讲·函数的概念与表示 【知识导学】 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 定义域 的取值范围 值域 与对应的的值的集合 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 【题型聚焦】 【题型一·函数的概念】 【例题1】★（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】函数概念：设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数.根据函数的概念可确定选项. 【详解】A.当时，，在集合没有对应值，不符合函数概念. B.当时，，在集合没有对应值，不符合函数概念. C.对于，按照对应关系，在集合中有唯一确定的和它对应，符合函数概念. D.对于，按照对应关系，在集合中有唯一确定的和它对应，符合函数概念.故选：CD． 【例题2】★（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） A．式子可表示y关于x的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．函数，则 D．与是同一函数 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等、求分段函数解析式或求函数的值、函数关系的判断 【分析】由函数的定义可判断ABD，由解析式代入求解可判断C； 【详解】对于A，由有意义可得，，所以， 又对于任意的，存在唯一的y与之对应，所以A正确； 对于B，由函数的定义，在定义域内的每一个x，有且只有一个y与之对应， 所以函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确； 对于C，， 故，故C错误； 对于D，函数与有相同的定义域与对应关系，故这两个函数是同一个函数，故D正确． 故选：ABD 【题型二·函数定义域的求法】 【例题3】★★（2024·长郡中学高一课时练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数型函数的真数大于0以及0次方和根式的要求限制即可列不等式求解. 【详解】因为，所以，解得且，所以函数的定义域为；故选：C 【例题4】★★（2024秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答. 【详解】函数的定义域为，则，因此在中，， 函数有意义，必有，解得， 所以函数的定义域为.故选：C 【例题5】★★（2024秋·湖南·益阳市第一中学校考期中）已知函数的定义域为R，则的取值范围是 【答案】 【分析】首先由条件转化为恒成立，再讨论求的取值范围. 【详解】由条件可知，恒成立， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可知，. 【例题6】★★★（24-25高三上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求含tanx的函数的定义域、由正切（型）函数的值域（最值）求参数、具体函数的定义域 【分析】分别考虑和对取值的要求，取它们的交集得到函数的定义域. 【详解】已知函数的定义域为，对于，则有. 解得. 因为函数的定义域为，所以对于，有. 正切函数的周期是，在上单调递增，且，. 所以，. 解不等式，可得，即。； 解不等式，可得. 当时，；当时，. 综合前面两步，取与和的公共部分. 与的公共部分为；与的公共部分为. 所以函数的定义域为. 故选：B. 【题型三·函数解析式的求法与应用】 【例题7】★（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【详解】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 【例题8】★★（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式 （1）已知，则 ． （2）已知是三次函数，且在处的极值为0，在处的极值为1，则 ． （3）已知的定义域为，满足，则函数 ． （4）已知函数是偶函数，且时，则时， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求抽象函数的解析式、已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式、根据极值求参数 【分析】（1）第一空可用换元法设，从而进一步代入即可求解；（2）第二空先设函数表达式并求导，进一步由题意可列出方程组，解方程组即可得解；（3）构造函数方程组即可求解； （4）由题意得，注意到时，则有，从而即可进一步求解. 【详解】（1）设，则， 代入原式有. 故. （2）设，则， 由题意得，即，解得， 所以，经检验，符合，. （3）用代替中的x，得， 由，消去，解得． （4）由函数是偶函数，可得图象关于直线对称， 所以. 设，则，所以=， 因为，所以. 故答案为：；；；. 【例题9】★★（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式、基本不等式求和的最小值 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值.故选：A 【例题10】★★（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数是定义在上的单调函数，且对都有，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数的单调性进行换元、列方程，从而求得的解析式. 【详解】因为函数是定义在上的单调函数，所以为一个常数. 令，则，且， 所以，即，解得：.故.故答案为： 【例题11】★★★（24-25高三上·湖南师大附中阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式、含参指数函数的最值 【分析】记，由，利用函数单调性知，结合，首先求出的解析式，可得函数，再利用配方法求最值即可求解. 【详解】记，用y替换 中的x得，且， ， 因为函数在定义域上单调递减，所以， 因为，所以 ， 或，又函数在定义域上单调递减 所以有满足题设条件. 所以，， 当即时，函数的最小值是故选：A 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是用y替换 中的x，然后利用函数的单调性求出函数的解析式. 【例题12】★★★（2024春·湖南岳阳·岳阳市第一中学高三校考）（多选）设都是定义域为的单调函数，且对于任意，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数性质以及题目所给条件等式可知，利用待定系数法分别求得的解析式，代入即可求得函数值并比较大小得出结论. 【详解】因为是上的单调函数，且对于任意， 所以，其中为常数，即，； 又因为，所以， 可得，即，解得，所以； 由可得，即； 所以，，即，所以A错误，B正确； 由可知，恒成立；即C正确； 由函数的值域为可知，不一定成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题题眼在于利用在 上单调且可求得（其中为常数），结合其他条件即可求得的解析式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五讲·函数的概念与表示 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（每小题5分，共计30分） 1．★（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求函数值 【分析】求出，得到方程，求出答案. 【详解】3，所以， 又，即，解得．故选：C 2．★（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为.故选：B 3．★★（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】分别令联立方程组，求得答案. 【详解】因为，分别令， 联立得，解得，故选：C. 4．★★（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是.故选：C 5．★★★（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数满足，若函数在上的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求零点的和、函数方程组法求解析式、正弦函数图象的应用、正切型三角函数图象的应用 【分析】用替换，结合三角函数性质可求，结合三角函数性质判断函数的奇偶性，结合奇偶性可得只需求函数在上的零点和，再结合图象求结论. 【详解】由，可得 ， 解得， 因为函数，为奇函数，所以为奇函数， 故的图象关于原点对称， 则函数在上的图象关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，零点和为， 在上的零点和即为上的零点和， 令，得， ，作出和在同一坐标系中的图象， 可知在内的零点有和两个， 故. 故选：B. 6．★★★★（22-23高一上·浙江衢州·期末）已知函数与，若存在使得，则不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】函数关系的判断、已知f（g（x））求解析式 【分析】结合函数的定义可以判断A选项，其余可将选项全部代入后，看是否能求解出来进行判断. 【详解】对于A选项，若，当时，，当时，， 相当于1个值对应两个，不符合函数定义，即A错误； 对于B选项，，令，则，当且仅当时成立，整理得 ，解得，即，即， 存在，所以选项B正确； 对于C选项，，令，得，则，即， 存在，所以选项C正确； 对于D选项，，可得出，存在所以选项D正确； 故选：A 二、多选题（每小题6分，共计12分） 7．★（24-25高一下·广西来宾·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数与函数的图象关于直线对称 C．函数与函数是同一函数 D．函数在上的值域为 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】反函数的性质应用、求二次函数的值域或最值、判断两个函数是否相等、抽象函数的定义域 【分析】根据复合函数的定义域求法判断A；根据对数函数以及指数函数的关系判断B；根据函数的三要素判断C；利用二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以，解得， 故的定义域为，故A正确. 对于B，函数与函数的图象关于直线对称，故B错误. 对于C，函数与函数定义域、对应关系、值域均相同，是同一函数，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增， 故，故值域为，故D错误. 故选：AC. 8．★★（24-25高一上·四川达州·阶段练习）给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．的定义域为 B．函数与是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若不等式的解集为或，则 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、由一元二次不等式的解确定参数、具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据分母不为且偶次方根的被开方数非负求函数的定义域，即可判断A；由定义域即可判断B；由题意可得，进而求定义域，即可判断C；利用韦达定理求出、，即可判断D. 【详解】对于A，对于，令，解得且， 所以的定义域为，故A正确； 对于B，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，故B错误； 对于C，由于的定义域为， 所以中令，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于D，依题意，关于的方程的两个解是或，并且， 由韦达定理：，解得，所以，故D正确； 故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共计10分） 9．★★（2024高三·全国·专题练习）任意时，恒成立，且函数单调，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据给定条件，求出函数解析式，再求出函数值. 【详解】依题意，令，则，且， 由函数单调，得为正常数，于是，解得， 因此，所以. 故答案为：2020 10．★★★★（24-25高三上·长郡中学）已知．若对任意恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、已知f（g（x））求解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】由条件，求函数的解析式，判断函数的奇偶性及单调性，结合函数性质化简不等式可得，分离变量，求函数的最小值，可得结论. 【详解】因为， 令，则，，所以，， 令， ， 函数的定义域关于原点对称， 又，故函数为奇函数， 又函数，都为R上增函数，所以函数为增函数， 不等式可化为 ，即， 所以，所以，所以，所以，又， 由已知对任意恒成立， 因为，故，因为， 由，当且仅当，即时等号成立， 所以，故.所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于求出函数的解析式，判断函数的解析式，结合函数性质化简不等式. 四、解答题（每小题13分，共计26分） 11．★★（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数m的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递减，证明如下： 任取，，且，则， ，，且， ，，，，即， 所以函数在上单调递减. （3）由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以m的最小值为. 12．★★（2025高三·全国·专题练习）已知满足下列条件，分别求的解析式． (1)； (2)是二次函数，方程有两个相等实根，且； (3)满足． 【答案】(1)(2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式、求二次函数的解析式、导数的运算法则 【分析】（1）法一：通过配方即可求解，法二：通过换元设即可求解； （2）设，结合求导列出等式求解即可； （3）构造方程组即可求解； 【详解】（1）方法一（配凑法）： ，． ． 方法二（换元法）：设，则， ，即． （2）设， 则， ．又方程有两个相等实根， ，故． （3）已知，①以代替①中的， 得，②，得． 故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五讲·函数的概念与表示 【知识导学】 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 定义域 的取值范围 值域 与对应的的值的集合 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 【题型聚焦】 【题型一·函数的概念】 【例题1】★（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】★（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） A．式子可表示y关于x的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．函数，则 D．与是同一函数 【题型二·函数定义域的求法】 【例题3】★★（2024·长郡中学高一课时练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【例题4】★★（2024秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例题5】★★（2024秋·湖南·益阳市第一中学校考期中）已知函数的定义域为R，则的取值范围是 【例题6】★★★（24-25高三上·湖北·期末）已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型三·函数解析式的求法与应用】 【例题7】★（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【例题8】★★（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式 （1）已知，则 ． （2）已知是三次函数，且在处的极值为0，在处的极值为1，则 ． （3）已知的定义域为，满足，则函数 ． （4）已知函数是偶函数，且时，则时， ． 【例题9】★★（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题10】★★（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数是定义在上的单调函数，且对都有，则 . 【例题11】★★★（24-25高三上·湖南师大附中阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 【例题12】★★★（2024春·湖南岳阳·岳阳市第一中学高三校考）（多选）设都是定义域为的单调函数，且对于任意，，则（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五讲·函数的概念与表示 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（每小题5分，共计30分） 1．★（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．★（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．★★（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 4．★★（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．★★★（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数满足，若函数在上的零点为，则（    ） A． B． C． D． 6．★★★★（22-23高一上·浙江衢州·期末）已知函数与，若存在使得，则不可能为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共计12分） 7．★（24-25高一下·广西来宾·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数与函数的图象关于直线对称 C．函数与函数是同一函数 D．函数在上的值域为 8．★★（24-25高一上·四川达州·阶段练习）给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．的定义域为 B．函数与是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若不等式的解集为或，则 三、填空题（每小题5分，共计10分） 9．★★（2024高三·全国·专题练习）任意时，恒成立，且函数单调，则 . 10．★★★★（24-25高三上·长郡中学）已知．若对任意恒成立，则的取值范围为 ． 四、解答题（每小题13分，共计26分） 11．★★（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数m的最小值. 12．★★（2025高三·全国·专题练习）已知满足下列条件，分别求的解析式． (1)； (2)是二次函数，方程有两个相等实根，且； (3)满足． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$