精品解析：山东省淄博市张店区2024-2025学年八年级上学期数学统考期末试卷

2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列代数式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．不是分式，故选项不符合题意； B．， 不是最简分式，故选项不符合题意； C．， 不是最简分式，故选项不符合题意； D．是最简分式，故本选项符合题意 故选：D． 3. 下面的多项式中，能因式分解的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，十字相乘法因式分解，熟练掌握其定义及方法是解题的关键．因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式．根据因式分解的定义可得答案． 【详解】解：,则A符合题意； 多项式不能分解因式，则B不符合题意； 多项式,不能分解因式，则C不符合题意； 多项式不能分解因式，则D不符合题意； 故选：A. 4. 对甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行分析，他们的方差分别是，，，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是乙． 故选：B． 5. 如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边的判定定理是解题的关键．根据平行四边的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先提公因式，将原式化为：，进一步整理为：，再将代入，即可得到答案． 【详解】, ， ， ∵， ∴， ， ， 故选：B 【点睛】本题主要考查利用整体代入法求多项式的值，理清题意，对所求多项式进行适当变形是解题的关键． 7. 如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得，，则，再由角平分线定义得，即可得出结论． 【详解】解：在中，， ． 平分交于点， ． 又四边形是平行四边形， ． 故选：C． 8. 如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．则下列数对为关于的分式方程的“关联数对”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键．先解分式方程，求出的关系，再根据“关联数对”定义逐项判断即可． 【详解】解： ， A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 9. 某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．则下列判断正确的是（ ） A. “什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B. “什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C. “什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D. 无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更便宜 【答案】A 【解析】 【分析】设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为元/千克，得出取质量为m的两种糖混合而成的“什锦糖”甲的单价为元/千克，取价格为n元的两种糖混合而成的“什锦糖”乙的单价为元/千克，然后再比较大小即可． 【详解】解：设A种糖的单价为x元/千克，B种糖的单价为元/千克，取质量为m的两种糖混合而成的“什锦糖”甲的单价为： （元/千克）， 取价格为n元的两种糖混合而成的“什锦糖”乙的单价为： （元/千克）， ∵， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴“什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，解决本题的关键是根据题意求出甲、乙两种“什锦糖”的单价． 10. 如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接并延长，使，连接，，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，根据中位线性质得出． 【详解】解：连接并延长，使，连接，，如图所示： ∵N为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵M为的中点，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，中位线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 要使式子有意义，则的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：式子有意义， ， 解得：． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求解即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13. 若关于的分式方程有增根，则的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．先求解方程，然后将分式方程的增根代入求解即可． 【详解】解：关于的分式方程有增根， 解得， 分式方程有增根， 故答案为：． 14. 如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙_______________度． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键．先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小． 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取，连接，过点D作于点E，证明，得出，结合垂线段最短可知当点P与点E重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，过点D作于点E，如图， ∵，， ∴． 由旋转可知，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴当最短时，最小． ∵垂线段最短， ∴当点P与点E重合时，最短，即为的长． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为2． 故答案为：2． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. （1）已知，求的值； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值及解分式方程，熟练掌握运算法则及解分式方程的步骤是解本题的关键． （1）原式先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，得到最简结果，把代入计算即可求出值． （2）先化为整式方程，再解方程即可． 【详解】（1） ． 当时，原式 （2） 解：方程两边都乘，得 ， 解得：， 检验：当时，， 所以，是原方程的解． 18. 如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，且，求两点之间的距离． 【答案】（1） 证明：连接交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证； （2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，两点之间的距离为． 19. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）已知是由旋转得到的，则旋转中心的坐标是______________，旋转角是___________度； （2）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （3）在轴下方添加一个点，使，，，四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点的坐标为________________（直接写出）． 【答案】（1）， （2） 解：如图，即为所作； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-利用旋转设计图案，利用中心对称设计图案，平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，中心对称变换，旋转变换的性质． （1）根据旋转的性质找出旋转中心及旋转角的度数即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点并顺次连接即可； （3）根据中心对称变换的性质作出点P，写出坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，分别连接，并作出的垂直平分线，其交点即为旋转中心， 旋转中心的坐标是，旋转角是， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，使，，，四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形， 点的坐标为， 故答案为：． 20. 为了解七、八年级学生对消防知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生成绩分为A、B、C、D四个等级．分别是A：；B：；C：；D：，其中，七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，88，82，89．下图为八年级学生成绩的扇形统计图： 八年级学生成绩扇形统计图 两组数据的平均数，中位数，众数，方差如下表： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 八年级 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____________，____________，______________． （2）根据以上数据，你认为在此次消防知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可） （3）若该校七年级有800名学生参加测试，八年级有760名学生参加测试，请估计两个年级参加测试的学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】（1）88；；35 （2） 解：八年级的成绩更好，理由如下： 七、八年级学生成绩的平均数都是分，而八年级学生成绩的中位数分高于七年级学生成绩的中位数86分（答案不唯一）． （3）544人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、平均数、中位数、方差，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数及方差的意义分析即可； （3）用七、八年级的学生数分别乘以样本中成绩优秀人数所占比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：由题意得，七年级学生的成绩众数； 八年级等级、的学生成绩共有（人）， 由题意得，八年级学生的成绩从小到大排列后第10位、第11位分别为87、88， 八年级学生的成绩中位数； 八年级等级C的学生成绩所占百分比为，即． 故答案为：88；；35． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级参加测试的学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有544人． 21. 根据以下素材，完成“问题解决”中的任务1和“问题拓广”中的任务2． 怎样知道某文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个 调查 活动 素材1 某校数学兴趣小组在学习了“分式与分式方程”的内容后进行“综合与实践”活动． 素材2 该数学兴趣小组成员小明同学收集到如下信息： ①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元； ②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同． 交流 质疑 小明同学把收集到的信息和组内同学交流后，小刚同学表达了自己的看法，他认为小明同学没有收集到“A、B两种商品具体的购进数量”这一重要信息，没法进行系统研究． 问题 解决 任务1 你对此有何看法？请你根据上述信息，就“该文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个”这一问题，提出一个解决该问题的方案，并写出解答的过程．（只写出解答的过程即可） 问题 拓广 任务2 该文具店计划购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20元/个．要使这批A、B两种商品全部售完后，该文具店获取的利润最大，应怎样安排A、B两种商品的购进数量？并求出最大利润是多少元？ 【答案】任务1：文具店A种商品的进价为20元/个，B种商品的进价为16元/个；任务2：购进A种商品105个，购进B种商品95个时，最大利润是1010元， 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出分式方程；任务2：找准关系，正确列出一元一次不等式组． 任务1：设文具店A种商品的进价为元/个，B种商品的进价为元/个，根据“①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元；②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同”，列出分式方程求解即可； 任务2：设购进A种商品个，购进B种商品个，根据“购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20元/个”，列出不等式组，再求解即可． 【详解】解：任务1：设文具店A种商品的进价为元/个，B种商品的进价为元/个， 依题意可得：， 解得 经检验是方程的解， ， 答：文具店A种商品的进价为20元/个，B种商品的进价为16元/个； 任务2：设购进A种商品个，购进B种商品个， 由题意得， 解得， ， 利润为：， ， 利润随着的增大而增大， 当时，利润的最大值为1010元， 答：购进A种商品105个，购进B种商品95个时，最大利润是1010元 22. 如图1，在中，，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）如图2，过点作于点，连接，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 解：， 证明：过点作交的延长线于点 为平行四边形 ，，， ， ， ， 又 ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质： （1）利用等边对等角结合三角形内角和定理分别求出，即可解答； （2）利用平行四边形的性质证明，进而推出，再证明，得到，，根据，，即可证明． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 略 23. 【综合与实践】 ◆问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为（），设线段交于点，线段分别交，于点，，如图2． ◆特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为______________； ◆探究规律：在绕点逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论． ●拓展延伸： （1）在绕点逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． （2）在图3中，作射线，交于点，问是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角的度数，及此时四边形的面积与的面积之间的数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】特例分析：55°； 探究规律：由旋转可知， ， 又，  ​， ， ． 拓展延伸： （1）或， （2） ， 【解析】 【分析】特例分析，已知等腰中，根据等腰三角形两底角相等得出，进而算出．当 时，根据等腰三角形三线合一，平分，此时，这个角度即旋转角 α． 探究规律，由旋转可知与全等，从而得出，又因为，根据角边角全等判定定理，可证与全等，进而得出． 拓展延伸，分三种情况（1）讨论旋转角的度数：当 时，利用三角形内角和以及等角关系解得；当 时，同样利用相关角度关系解得；当时，不合题意，舍去．所以旋转角 的度数为 或； （2）当时，四边形是平行四边形，此时算出旋转角，所以存在四边形 是平行四边形的情况，且． 【详解】解：特例分析： ， ，． 时， ，即旋转角， 故答案为：． 探究规律： 略 拓展延伸： （1）， ， 为等腰三角形，分情况讨论： 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得， ， 不合题意，舍去． 旋转角α的度数为或． （2）存在四边形是平行四边形，理由如下： ，， 当，即，时，， ， ， 四边形是平行四边形 ，， 令间的距离是， ， 存在四边形是平行四边形的情况，且． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质 ，解题的关键在于熟练掌握等腰三角形和旋转的性质，及分类讨论的思想，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列代数式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面的多项式中，能因式分解的是（） A. B. C. D. 4. 对甲、乙、丙3位同学的跳远成绩进行分析，他们的方差分别是，，，则这3位同学三次跳远成绩发挥最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 5. 如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”．则下列数对为关于的分式方程的“关联数对”的有（ ） A. B. C. D. 9. 某商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．则下列判断正确的是（ ） A. “什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价贵 B. “什锦糖”甲的单价比“什锦糖”乙的单价便宜 C. “什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价相同 D. 无法判断“什锦糖”甲的单价和“什锦糖”乙的单价谁更便宜 10. 如图，在中，，，，分别是边，上的点，且，连接．分别取，的中点，，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 要使式子有意义，则的取值范围是_______________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则点的坐标为_______________． 13. 若关于的分式方程有增根，则的值是_______________． 14. 如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙_______________度． 15. 如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为_______________． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 因式分解： （1） （2） 17. （1）已知，求的值； （2）解方程：． 18. 如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，且，求两点之间的距离． 19. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）已知是由旋转得到的，则旋转中心的坐标是______________，旋转角是___________度； （2）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （3）在轴下方添加一个点，使，，，四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点的坐标为________________（直接写出）． 20. 为了解七、八年级学生对消防知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生成绩分为A、B、C、D四个等级．分别是A：；B：；C：；D：，其中，七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，88，82，89．下图为八年级学生成绩的扇形统计图： 八年级学生成绩扇形统计图 两组数据的平均数，中位数，众数，方差如下表： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 86 八年级 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____________，____________，______________． （2）根据以上数据，你认为在此次消防知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可） （3）若该校七年级有800名学生参加测试，八年级有760名学生参加测试，请估计两个年级参加测试的学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 21. 根据以下素材，完成“问题解决”中的任务1和“问题拓广”中的任务2． 怎样知道某文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个 调查 活动 素材1 某校数学兴趣小组在学习了“分式与分式方程”的内容后进行“综合与实践”活动． 素材2 该数学兴趣小组成员小明同学收集到如下信息： ①每个A商品的进价比每个B商品的进价多4元； ②用300元购进A商品的数量与用240元购进B商品的数量相同． 交流 质疑 小明同学把收集到的信息和组内同学交流后，小刚同学表达了自己的看法，他认为小明同学没有收集到“A、B两种商品具体的购进数量”这一重要信息，没法进行系统研究． 问题 解决 任务1 你对此有何看法？请你根据上述信息，就“该文具店A、B两种商品的进价分别是多少元/个”这一问题，提出一个解决该问题的方案，并写出解答的过程．（只写出解答的过程即可） 问题 拓广 任务2 该文具店计划购进A、B两种商品共200个，总费用不超过3620元，其中A商品的数量不少于100个，若A商品的售价为26元/个，B商品的售价为20元/个．要使这批A、B两种商品全部售完后，该文具店获取的利润最大，应怎样安排A、B两种商品的购进数量？并求出最大利润是多少元？ 22. 如图1，在中，，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，． （1）求的度数； （2）如图2，过点作于点，连接，猜想线段与线段之间的数量关系，并证明． 23. 【综合与实践】 ◆问题情境：活动课上，小强同学以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为（），设线段交于点，线段分别交，于点，，如图2． ◆特例分析：当旋转到时，则旋转角的度数为______________； ◆探究规律：在绕点逆时针旋转的过程中，小强同学发现线段始终等于线段，请你帮小强同学证明这一结论． ●拓展延伸： （1）在绕点逆时针旋转的过程中，直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． （2）在图3中，作射线，交于点，问是否存在四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时旋转角的度数，及此时四边形的面积与的面积之间的数量关系；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $