精品解析：吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年高一下学期开学测试数学试题

长春外国语学校2024—2025学年第二学期高一年级开学测试 数学试卷 出题人：刘宇航 审题人：刘健豪 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据是奇函数，排除A，B，再取特殊值验证求解. 【详解】因， 所以是奇函数，故排除A，B， 又， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2. 命题：“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使 C. ，使 D. 以上选项均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得出答案. 【详解】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题：“，都有”的否定是“，使”. 故选：C. 3. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将看成，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案. 【详解】. 故选：D． 4. 下列选项正确的是 A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 【答案】B 【解析】 【分析】通过逐一判断ABCD选项，得到答案. 【详解】对于A选项，若，代入，，故A错误； 对于C选项，等价于，故C错误；对于D选项，若，则，故D错误，所以答案选B. 【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，难度不大. 5. 已知函数，且，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令函数，探讨函数的性质，再把不等式等价转化即可求解得答案. 【详解】函数的定义域为R，令函数，则 显然， 函数在R上都单调递增，因此在R上单调递增， 不等式化为， 即，于是，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 7. 当时,函数的最小值是 A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答 【详解】分子与分母同除以，得， 时，的最大值为 综上，的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题 8. 函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的性质，作出函数的图象，根据给定条件确定关于的一元二次方程根所在区间即可求解作答. 【详解】函数在上是增函数，且当时，恒有，恒成立， 函数的图象如图， 令，因方程有三个不同实数解， 观察图形得：关于t的方程有两个根，且一个在上，一个在上， 当有一个根为时，，即，此时另一根为，符合题意， 当没有根为时，则有，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二倍角公式可化简，进而根据正弦型函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】， 又，所以为奇函数，故A正确， 的最小正周期，故B错， 当时，取最小值为，故C正确. 令,解得， 所以的单调递增区间为， 令，得的其中一个单调递增区间为，故D错误， 故选：AC. 10. 下列各式正确的是（ ） A. 设，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：将根式化为分数指数幂，再结合指数幂运算求解；对于B：根据指数幂运算求解；对于C：将对数式化为指数式，再结合指数幂运算求解；根据对数运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：若，，则， 所以，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：ABC. 11. 设函数的定义域为，对于任意给定的正数m，定义函数，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 的单调递增区间为 D. 的图像关于原点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意先求出，再根据的性质及图像逐项判断即可． 【详解】解：由， 解得：， 故， A．，本选项符合题意； B．当时，； 当时，， 故值域为，本选项符合题意； C．当时，，图像开口向下，对称轴为， 故在上单调递增，本选项符合题意； D．，故函数为偶函数，本选项不符合题意． 故选：ABC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知满足，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意令，解得，再令即可得解. 【详解】因为，且， 令，可得，解得； 令，可得. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得的图象关于直线对称，且在上单调递增，结合函数性质化简不等式，求其解集. 【详解】为偶函数，其图象关于轴对称， 的图象关于直线对称. 又当时，， 在上单调递增， 故不等式可等价为， 即， 当时，不等式可化为，即，无解， 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得. 故答案：. 14. 已知函数，，函数，，对于，，使得成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析得到在上的值域是在上的值域的子集，再根据集合间的关系进行求解. 【详解】因为， 所以且， 则的值域为； 因为对于，使得成立， 所以的值域是在上的值域的子集，显然， 当时，在上单调递增， 所以，即， 所以，解得； 当时，在上单调递减， 所以，即， 所以，解得； 综上所述，实数a的取值范围是或. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，满分77分，要求写出必要的解题过程.） 15. 求值：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】根据指数以及对数的运算法则即可就得结果 【详解】（1）原式=； （2）原式. 【点睛】本题考查实数的指对幂及其运算，属于基础题. 16. 已知是二次函数，且满足，， （1）求的解析式 （2）当，其中，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法可求函数的解析式； （2）分类讨论二次函数的对称轴在区间的左侧，中间，右侧，结合二次函数的性质求解函数的最值即可． 【小问1详解】 设 ，因为，所以 又， ∴，即， ∴，解得， ∴. 【小问2详解】 ∵，对称轴，开口向上， 故函数在区间单调递减，在区间单调递增，故 当时，即，此时函数在区间上单调递减，； 当时，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，； 当时，此时函数在区间上单调递增，； 所以的最小值为 17. 已知函数 （1）当时，求函数的定义域； （2）当时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数式中的真数大于零列不等式，结合指数函数的性质，求解即可； （2）分离参数，将能成立问题转化为函数的最值问题，利用函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 当时，， 则，得，解得， 因此，函数的定义域为； 【小问2详解】 由题意知，， 由，得，即， 设，， 令，， 因为函数在上单调递增，对数函数是增函数， 所以函数在上单调递增， 所以，即. 因为存在使得不等式成立， 所以，即， 因此，实数的取值范围是. 18. 已知函数，其中为第三象限角，且 （1）求的值： （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简，根据为第三象限角得到，再将弦化切，代入计算可得. （2）根据同角三角函数关系化简原式为，代入数据计算得到答案. 小问1详解】 因 ， 又为第三象限角，，所以， 所以. 【小问2详解】 . 19. 已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，． （1）证明：为奇函数； （2）证明在上单调递增； （3）若，对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）先令求，然后再令即可证明； （2）令，结合增函数定义可证； （3）经过迭代求出，然后利用化简不等式，再根据单调性去掉函数符号，然后参变分离，由二次函数性质可解. 【小问1详解】 的定义域为， 令，则，得， 再令，则，即， 所以函数为奇函数. 【小问2详解】 ，且， 在中，令，则， 又，所以，所以， 所以，故在上单调递增. 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以 ， 又因为在上单调递增，所以， 因为，所以，所以， 又，所以当时，， 所以，， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长春外国语学校2024—2025学年第二学期高一年级开学测试 数学试卷 出题人：刘宇航 审题人：刘健豪 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 2. 命题：“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使 C. ，使 D. 以上选项均不正确 3. 计算（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项正确的是 A. 若,则 B. 若,则 C. 若则 D. 若,则 5. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 当时,函数的最小值是 A. B. C. D. 4 8. 函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上单调递增 10. 下列各式正确的是（ ） A. 设，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 11. 设函数的定义域为，对于任意给定的正数m，定义函数，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 的单调递增区间为 D. 的图像关于原点对称 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12 已知满足，且，则__________． 13. 已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为__________.（用区间表示） 14. 已知函数，，函数，，对于，，使得成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，满分77分，要求写出必要的解题过程.） 15 求值：（1）； （2）. 16. 已知是二次函数，且满足，， （1）求解析式 （2）当，其中，求的最小值. 17. 已知函数 （1）当时，求函数的定义域； （2）当时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，其中为第三象限角，且 （1）求的值： （2）求的值． 19. 已知函数定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，． （1）证明：为奇函数； （2）证明在上单调递增； （3）若，对任意的恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$