精品解析：山东省烟台市蓬莱区（五四制）2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题

蓬莱区2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 初二数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 4. 如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（　　） A. B. 9 C. 3 D. 5. 若点在第三象限，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 5 6 一次函数经过原点，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 7. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点．连接，作关于直线的对称图形，得到交轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 点在直线上，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于、的正比例函数与一次函数，则它们在同一坐标系中的图象大致应为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，这个条件可以______． 12. 如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为_____． 13. 如图，在长方形中进行如下作图，依据尺规作图的痕迹，则的余角等于______． 14. 如图，小明在平面直角坐标系中先作边长为1的正方形OABC，再用圆规以A为圆心，AC为半径画弧交x轴正半轴于点P，则点P的坐标为_． 15. 如图所示，在中，，平分为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是_____． 16. 已知，，，，，则_____，_____． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 已知实数满足：，是的平方根，，是的整数部分． （1）求的值； （2）解关于的方程． 19. 在如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限且到轴的距离为3，到轴的距离为2． （1）请在图中标出点A、点B、点的位置； （2）将点A、点B、点的横坐标不变，纵坐标分别乘以，得到点，请在图中画出； （3）请在图中画使它与（2）中得到的关于轴对称； （4）若点是线段上的任意一点，则在线段上的对称点的坐标为 ． 20. 如图，，，水平边，为边上一点． （1）只用圆规在的正上方作一点，使（说明作法，不需要证明）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求的长度． 21. 综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？ 请结合一次函数学习经验探究函数的图象． （1）列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中________，________； （2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：________； 结论2：________ 22. 在体育中考跑步训练中，体育老师安排男女生两人一组进行100米赛跑．男生一般比女生跑得快，所以把女生的起跑线往前划了10米，但同时发令起跑，男生甲和女生乙所跑的路程与时间的关系如图所示． （1）反映男生甲所跑路程s与时间t之间的关系的图象是______（填“”或“”）． （2）求的函数表达式． （3）男生甲和女生乙谁将赢得这场比赛，请说明理由． （4）男生甲出发______s时，两人相距． 23. 如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，求的值． 24. [理解探究]“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形， （1）[问题解决]如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，问：、、三条线段之间有何数量关系？并证明． （2）[问题探究]如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长． （3）[拓展延伸]如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点坐标为，点是第一、第三象限的角平分线上的一个点，请直接写出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区2024-2025学年度第一学期期末学业水平检测 初二数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故错误； C、是轴对称图形，故正确； D、不是轴对称图形，故错误． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的定义．由，再根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：B． 3. 如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①边上的中线：如图1，使点、重合，中点为点，连接，此时即为边上的中线； ②平分线：如图2，沿直线折叠，使与重叠，此时即为边上的角平分线； ③边上的高：如图3，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高． 综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键． 4. 如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（　　） A. B. 9 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，理解题意，按照数值转换器规定的运算计算是解题的关键．根据数值转换器输入x的值，直到输出y的值不是有理数为止． 【详解】解：第一次输入，则，是有理数； 第二次输入，则，是有理数； 第三次输入，则不是有理数，所以输出， 故选：A． 5. 若点在第三象限，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查已知点所在象限求参数的值，根据点在第三象限，得到，进而求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 故选C． 6. 一次函数经过原点，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的定义等知识点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 把代入函数求出k的值，再结合一次函数的定义即可解答即可． 【详解】解：∵函数经过原点， ∴，解得， ∵，即， ∴． 故选A． 7. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点．连接，作关于直线的对称图形，得到交轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-对称，平行线的判定，勾股定理，过点作轴于点，根据题意得，得到，得出，根据勾股定理求出的值，即可得到点的坐标. 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由题可知， 点的坐标为，轴， ，，， ， ， ， ， 在中， ， ∴， 点的坐标为， 故选：B. 8. 点在直线上，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的增减性（当时，随的增大而减小）． 先判断一次函数的增减性，再比较自变量的大小，进而得出函数值的大小关系． 【详解】解：对于直线，其中，根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小． ，则三个自变量的大小关系为． 因为随的增大而减小，所以对应的函数值的大小关系为（自变量越大，函数值越小）． 故选：A． 9. 已知关于、的正比例函数与一次函数，则它们在同一坐标系中的图象大致应为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的图象，算术平方根的非负性，可先根据正比例的图象判断的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】解： A．由正比例函数可得，一次函数可得，故此选项符合题意； B．由正比例函数可得，一次函数可得，故此选项不符合题意； C． 由正比例函数可得，一次函数可得不符合题意，故此选项不符合题意； D．该选项中的两个函数图象都是一次函数的图象，与条件不符，故此选项不符合题意． 故选：A． 10. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面展开图像的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用，根据不同侧棱展开，分别求得对应的边，利用勾股定理求得对应路径，再结合实数大小比较即可． 【详解】解：将长方体展开成平面图形如图1，2，3所示∶ 在图1中AB的长为∶ 在图2中AB的长为∶ 在图3中AB的长为： ∵ ∴蚂蚁需要爬行的最短路径是25厘米． 故选A． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，这个条件可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据已知得，，再根据全等三角形的判定合理添加即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 当，； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图是蜡烛平面镜成像原理图（物体与像关于平面镜对称），若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，负整数指数幂的含义，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图和题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在长方形中进行如下作图，依据尺规作图的痕迹，则的余角等于______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，根据尺规作图得出是的平分线，是线段的垂直平分线，然后求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴， 根据作图可知，是的平分线， ∴， 根据作图可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴, ∴， ∴的余角等于． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，尺规作角平分线和垂直平分线，余角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的作法． 14. 如图，小明在平面直角坐标系中先作边长为1的正方形OABC，再用圆规以A为圆心，AC为半径画弧交x轴正半轴于点P，则点P的坐标为_． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得AC的长度，再由OP＝OA+AP＝OA+AC求得其值，从而得到点P的坐标. 【详解】∵AC=,AC=AP,OA=1, ∴OP=OA+AP＝OA+AC=1+. ∴点P的坐标（1+，0）. 故答案是：（1+，0）. 【点睛】考查了勾股定理、坐标与图形性质，根据题意利用勾股定理求出AC的长是解答此题的关键． 15. 如图所示，在中，，平分为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 16. 已知，，，，，则_____，_____． 【答案】 ①. 1.285 ②. 2.342 【解析】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值． 【详解】解：， 故答案为：1.285；2.342 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根的定义． （1）根据乘方的意义、绝对值的性质和算术平方根的定义进行计算即可； （2）先根据立方根与算术平方根的定义进行开方运算，再算加减即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， 18. 已知实数满足：，是的平方根，，是的整数部分． （1）求的值； （2）解关于的方程． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】（）根据立方根的性质、平方根的定义、无理数的估算即可求解； （）把（）所得的的值代入方程，解方程即可求解； 本题考查了立方根的性质、平方根的定义、无理数的估算，利用平方根解方程，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是的平方根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴方程为， ∴， ∴， ∴． 19. 在如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限且到轴的距离为3，到轴的距离为2． （1）请在图中标出点A、点B、点的位置； （2）将点A、点B、点的横坐标不变，纵坐标分别乘以，得到点，请在图中画出； （3）请在图中画使它与（2）中得到的关于轴对称； （4）若点是线段上的任意一点，则在线段上的对称点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形，坐标与图形，轴对称的性质； （1）根据题意在坐标系中描点，即可求解； （2）根据题意得出的坐标，在直角坐标系中找到点，顺次连接，即可得到答案； （3）根据轴对称的性质，找到关于轴对称的对应点，顺次连接，即可得到答案； （4）根据关于轴对称纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得到答案； 【小问1详解】 如图点A、点B、点即为所求． 【小问2详解】 如图即所求． 【小问3详解】 如图即为所求． 【小问4详解】 ∵与关于轴对称 ∴点是线段上的任意一点，则在线段上的对称点的坐标为 故答案为：． 20. 如图，，，为水平边，为边上一点． （1）只用圆规在的正上方作一点，使（说明作法，不需要证明）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为边在右侧作，即可得到答案； （2）利用（1）的全等，证明，即可得解； 【小问1详解】 解：以C为圆心，长为半径作圆，再以B为圆心，长为半径画弧，两弧的交点即为所求； 理由：，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 结合（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了基本作图，已知三边作三角形，同时考查了三角形全等、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，熟练作图是解本题的关键． 21. 综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？ 请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． （1）列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中________，________； （2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：________； 结论2：________ 【答案】（1）1；1 （2）见解析 （3）函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象，画一次函数图象是解决问题的关键； （1）将，代入解析式求出、值即可； （2）画出函数图象即可； （3）根据图像，写出两个性质即可． 【小问1详解】 解：将，分别代入得： ，， 解得：，． 故答案为：1；1； 【小问2详解】 解：如图， 【小问3详解】 解：根据题意得：（答案不唯一） 结论1：函数有最小值，最小值为； 结论2：函数的图象关于直线对称． 22. 在体育中考跑步训练中，体育老师安排男女生两人一组进行100米赛跑．男生一般比女生跑得快，所以把女生的起跑线往前划了10米，但同时发令起跑，男生甲和女生乙所跑的路程与时间的关系如图所示． （1）反映男生甲所跑路程s与时间t之间的关系的图象是______（填“”或“”）． （2）求的函数表达式． （3）男生甲和女生乙谁将赢得这场比赛，请说明理由． （4）男生甲出发______s时，两人相距． 【答案】（1） （2） （3）男生将赢得这场比赛，理由见解析 （4）9或11 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，用待定系数法求解函数表达式，一次函数的实际应用． （1）由图可知，领先10米，即可得出反映小明所跑路程与时间之间关系的图象是； （2）设的函数表达式为，把，代入，求出k和b的值，即可得出函数表达式； （3）用待定系数法求出表达式是，再求出当，，的自变量的值，再比较即可； （4）进行分类讨论：当女生在男生前时，当女生在男生后时，两人相距，分别 求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，领先10米， 反映男生所跑路程与时间之间关系的图象是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 设的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴表达式是， 当，， 解得， ∵， ∴男生将赢得这场比赛； 【小问4详解】 解：当女生在男生前时，则， 即， 解得：， 当女生在男生后时，则， ， 解得：， 综上，男生甲出发或时，两人相距． 故答案为：9或11． 23. 如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，求的值． 【答案】当t的值为3秒或秒时，为直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了角直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 先表示出，，，然后分类讨论，利用角直角三角形的性质建立方程求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 为直角三角形，， 当时，则， ∴， ， 解得：， 当时，则， ∴， ， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形． 24. [理解探究]“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形， （1）[问题解决]如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，问：、、三条线段之间有何数量关系？并证明． （2）[问题探究]如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长． （3）[拓展延伸]如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点坐标为，点是第一、第三象限的角平分线上的一个点，请直接写出点坐标． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键； （1）根据“AAS”证明得，进而可证； （2）由“AAS”可，可得，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求，，即可求解． 【小问1详解】 ，， ， ， ， 在和中 ， ， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ，， ， ， ， 在和中 ， ， 【小问3详解】 如图，当点B在第一象限角平分线上时过点A作直线于D，过点B作直线于E， ， ， ， ∵ ， ， 点A坐标， ，， ， ， 点； 如图，当点B在第三象限角平分线上时，过点A作直线于D，过点B作直线于E， 同理可求：， ， 点A坐标为， ，， ， ， ， 点 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $