精品解析：山东省济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高二下学期开学收心考试数学试题

2024—2025学年第二学期2月收心考 高二数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出抛物线的标准方程，求出准线方程. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为， 所以抛物线的准线方程为. 故选：A. 2. 在正数等比数列中，若，则该数列的前10项和（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出首项和公比，即可利用求和公式求出. 【详解】设等比数列的公比为， ∵，∴，∵，∴. ∵，∴，∴. 故选：B. 3. 已知直线，若，则实数 （ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行公式求出参数m的值，验证是否重合. 【详解】因为，所以， 解得：或， 当时，，，两直线平行，满足题意， 当时，，，两直线重合，舍， 所以. 故选：A 4. 已知点，则以为直径的圆的方程为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知圆心为，半径为，进而可得圆的方程. 【详解】因为，可知线段的中点为，且， 即圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为. 故选：D. 5. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程可得右焦点为，则，即可求得. 【详解】由椭圆的标准方程可知，，即，所以右焦点为， 又抛物线的焦点与重合， 所以，所以. 故选：D. 6. 已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， ,所以由垂径定理可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：B. 7. 已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，，然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率. 【详解】由已知，可根据条件做出下图： 因为，令， 所以，，由椭圆的定义可知， 所以，所以，，，， 由椭圆的定义可知， 在中，，所以, 在中， ，所以 所以. 所以的离心率是. 故选：D. 8. 在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由向量法表示线面角的正弦值，根据的范围求解即可. 【详解】 如图建立空间直角坐标系， 所以，，， ，，， ， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以, 因为，所以当时，正弦值最大，且最大值为. 故选：. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 已知直线，圆，则（    ） A. 经过定点 B. 圆与圆：外离 C. 当与圆相切时，. D. 圆心到直线距离的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，根据两圆位置关系判断B；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断C；求出圆心到动直线的最大距离即可判断D. 【详解】对于选项A：因为， 令，解得，所以l过定点，故A正确； 对于选项B：圆可化为，可知其圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 因为，即，可知两圆相交，故B错误； 对于选项C：若与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得，故C错误； 对于选项D：当时，圆心到直线距离的最大， 此时最大值为，故D正确. 故选：AD. 10. 记为等差数列的前项和.若，则以下结论一定正确的是（ ） A. B. 最大值为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式得到，借助通项公式、求和公式、等差中项性质依次分析，即得解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，则，故， 所以，所以，故A正确； 由于的正负不清楚，故可能为最大值或最小值，故B错误； 因为，则，故C正确； 因为，所以，即，故D错误． 故选：AC. 11. 抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（ ） A. 与圆相切 B. 当时， C. 的最小值为 D. 满足的点有且仅有2个 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，根据先算出的坐标，再借助切线的性质计算即可得；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，最小，计算即可得；D选项，直接设点坐标进行求解即可得. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 圆的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和圆相切，A选项正确； B选项，当时，，此时，故或， 当时，，则； 当时，，； 故或，B选项错误； C选项，， 当且仅当三点共线时，等号成立，故 的最小值为，C选项错误； D选项， 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，结合对立事件公式，即可求解. 【详解】设甲中靶为事件，乙中靶为事件， 则至少有一人中靶的对立事件为两人都没有中靶， 则至少有一人中靶的概率. 故答案为： 13. 在数列中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出通项公式. 【详解】在数列中，， 当时， ，而满足上式， 所以. 故答案为： 14. 已知正四面体ABCD棱长为6，P是空间一点，若，则点P到平面BCD的距离的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】若的中点分别为，且的中点为，应用向量加法的几何意义可得，进而确定的轨迹及的位置，结合已知求点P到平面BCD的距离的最大值. 【详解】由，即， 若的中点分别为，且的中点为，则， 所以，即在以为球心，为半径的球面上， 由题设，易知都在面内，则面， 又面，即面，即，同理， 而，，易知，故为正四面体外接球球心， 到面BCD的距离， 到面BCD的距离，则，所以， 综上，点P到平面BCD的距离的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可； （2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案. 【小问1详解】 设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件， . 【小问2详解】 设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”， 所以， 则， 由事件的独立性与互斥性，得 ， 故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为． 16. 已知圆C是以点为圆心，且过点的圆． （1）求圆C的标准方程； （2）若点A的坐标为，求过点A的圆C的切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由两点间的距离公式求出，即可写出圆C的标准方程； （2）根据点与圆的位置关系可知A在圆外，就切线斜率是否存在分类讨论，再根据点到直线的距离等于半径，列式即可解出． 【小问1详解】 因为，所以圆． 【小问2详解】 由已知得，A在圆外， 当斜率不存在时，直线方程为，与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为， ，解得， 所以切线方程为， 综上，切线方程为或． 17. 已知数列的前项和，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：是等差数列，并求的通项公式； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）证明见解析，； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用求出通项公式. （2）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理并求出通项公式. （3）由（1）（2）求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 在数列中，， 当时，， 而满足上式， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 数列中，，，显然，则， 所以是首项，公差为2的等差数列， 故，. 【小问3详解】 由（1）（2）得， ， 则， 两式相减得 ， 所以. 18. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，其中是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，则由三角形的中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知可证得，且，所以以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解； （3）利用空间向量中的距离公式可求点到平面的距离. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 则平面； 【小问2详解】 直线平面平面， 所以，且， 则以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系； ，， 所以， 设平面的法向量为， 由，得， 令，得，且， 所以， 直线与平面夹角的正弦值为； 【小问3详解】 因为， 且平面的法向量为， 则点到平面距离. 19. 已知椭圆，点，在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）求椭圆C上点到直线距离的最大值； （3）过椭圆C右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所过点得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用三角换元法，结合点线距离公式与三角函数恒等变化即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合题设条件得到关于的方程组，解之即可得解. 【小问1详解】 由题意得，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为点在椭圆上，不妨设， 则点到直线距离为 ，其中， 所以当，即时，取得最大值，为， 即椭圆C上点到直线距离的最大值为. 【小问3详解】 假设存在，由于， 当直线斜率为0时，l方程为，点P在x轴上任意点都符合题意， 当直线斜率不为0时，可设直线l方程为，，， 联立方程组，得， 易知，则，故， 则， 即， 则，即， 所以，因此， 此时，显然直线斜率为0时也符合题意， 即存在点使得． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期2月收心考 高二数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C D. 2. 在正数等比数列中，若，则该数列的前10项和（ ）． A. B. C. D. 3. 已知直线，若，则实数 （ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 0 4. 已知点，则以为直径的圆的方程为（     ） A. B. C. D. 5. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则（     ） A. B. C. D. 6. 已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A B. C. D. 7. 已知分别为椭圆左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 已知直线，圆，则（    ） A. 经过定点 B. 圆与圆：外离 C. 当与圆相切时，. D. 圆心到直线距离的最大值为 10. 记为等差数列的前项和.若，则以下结论一定正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 11. 抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（ ） A. 与圆相切 B. 当时， C. 的最小值为 D. 满足的点有且仅有2个 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为______． 13. 在数列中，，则______. 14. 已知正四面体ABCD的棱长为6，P是空间一点，若，则点P到平面BCD的距离的最大值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 16. 已知圆C是以点为圆心，且过点的圆． （1）求圆C的标准方程； （2）若点A的坐标为，求过点A的圆C的切线方程． 17. 已知数列的前项和，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：是等差数列，并求的通项公式； （3）设，求数列的前项和. 18. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，其中是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 19. 已知椭圆，点，在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）求椭圆C上点到直线距离的最大值； （3）过椭圆C右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $