17.2勾股定理的逆定理【6大题型】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

17.2勾股定理的逆定理 【考点梳理】 · 考点一：判断三边是否构成直角三角形 · 考点二：在网格中判断直角三角形 · 考点三：利用勾股定理的逆定理求解 · 考点四：勾股定理的逆定理的实际应用 · 考点五：勾股定理的逆定理的拓展问题 · 考点六：勾股定理逆应用的综合 【知识梳理】 知识点一：互逆命题和互逆定理 ①如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一 个叫做它的逆命题. ②如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称这个定理为逆定理. ③一个命题一定有逆命题，一个定理不一定有逆定理. 知识点二：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 几何语言：如图,△ABC中，a2+b2=c2，△ABC为直角三角形，且∠C=90°。 知识点三：勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别 联系：(1)两者都与三角形的三边有关，且都包合等式a2+b2=c2 (2)两者都与直角三角形有关; (3)两者互为逆定理。 区别：勾股定理是以“一个直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”的数量关系为条件，进而得到这个三角形是直角三角形。两者的条件和结论相反，前者是直角三角形的性质，而后者是直角三角形的判定。 考点四：勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长,且满两条较小边的 平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。具体方法步骤如下： (1)先确定最长边，算出最长边的平方; (2)计算另两边的平方和; (3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等则此三角形为直角三角形。 【题型探究】 题型一：判断三边是否构成直角三角形 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B． C．，， D．1，， 3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，1， B．4，5，6 C．6，8，11 D．5，12，23 题型二：在网格中判断直角三角形 4．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． 6．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 题型三：利用勾股定理的逆定理求解 7．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则．②当时，则． ③当时，则．④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 8．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型四：勾股定理的逆定理的实际应用 10．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 12．（23-24八年级下·天津南开·阶段练习）如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（    ）． A．24 B．30 C．48 D．60 题型五：勾股定理的逆定理的拓展问题 13．（20-21八年级上·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 14．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 15．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．    （1）下列四边形是勾股四边形的有　 　．（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________ （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形． 题型六：勾股定理逆应用的综合 16．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，为三条走廊（点E和点F分别在边和上），米，米，米，米，．随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点H，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 17．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，D为边上的点，将沿折叠，得到，恰好，连接，． (1)设，，求的长； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在中，． (1)若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； (2)点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 【高分演练】 一、单选题 19．（24-25八年级下·吉林长春）下列线段不能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 20．（24-25八年级上·河南郑州·期末）的三边分别为a，b，c，下列选项中不能判定是直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 21．（24-25八年级上·江西上饶·期末）三角形的三条边分别为，，且满足，，则三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 22．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·四川达州·期中）关于 △ABC 有下列条件：① ；②；③ ；④；⑤ ．其中能确定是直角三角形的有（        ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 24．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 二、填空题 26．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为 ． 27．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 ． 28．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 29．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为 ． 30．（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 31．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是x轴正半轴上一动点给出下列结论： ①线段的长为5； ②当点P坐标为时，是直角三角形； ③在中，若，则的面积是； ④设点P的坐标为，则的最小值为． 反其中正确的有 （填序号）    三、解答题 32．（24-25八年级下·广东深圳）如图，点，，在同一条直线上，，，，，． (1)求证：； (2)连接，求点到的距离． 33．（24-25九年级上·重庆·期末）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 34．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，为上一点，，在上截取，连接并延长交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)当时，请直接写出的长． 35．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，已知． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长． 36．（24-25八年级上·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 37．（2024八年级下·全国）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.2勾股定理的逆定理 【考点梳理】 · 考点一：判断三边是否构成直角三角形 · 考点二：在网格中判断直角三角形 · 考点三：利用勾股定理的逆定理求解 · 考点四：勾股定理的逆定理的实际应用 · 考点五：勾股定理的逆定理的拓展问题 · 考点六：勾股定理逆应用的综合 【知识梳理】 知识点一：互逆命题和互逆定理 ①如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一 个叫做它的逆命题. ②如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称这个定理为逆定理. ③一个命题一定有逆命题，一个定理不一定有逆定理. 知识点二：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 几何语言：如图,△ABC中，a2+b2=c2，△ABC为直角三角形，且∠C=90°。 知识点三：勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别 联系：(1)两者都与三角形的三边有关，且都包合等式a2+b2=c2 (2)两者都与直角三角形有关; (3)两者互为逆定理。 区别：勾股定理是以“一个直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”的数量关系为条件，进而得到这个三角形是直角三角形。两者的条件和结论相反，前者是直角三角形的性质，而后者是直角三角形的判定。 考点四：勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长,且满两条较小边的 平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。具体方法步骤如下： (1)先确定最长边，算出最长边的平方; (2)计算另两边的平方和; (3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等则此三角形为直角三角形。 【题型探究】 题型一：判断三边是否构成直角三角形 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B． C．，， D．1，， 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形是解题的关键． 只要验证较小两边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ） A．1，1， B．4，5，6 C．6，8，11 D．5，12，23 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据两小边的平方和等于最长边的平方逐项判断即可，熟练掌握勾股定理逆定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴1，1，能构成直角三角形，符合题意； B、∵，∴4，5，6 不能构成直角三角形，不合题意； C、∵，∴，，不能构成直角三角形，不合题意； D、∵，∴，，不能构成直角三角形，不合题意； 故选：A． 题型二：在网格中判断直角三角形 4．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后利用邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，连接， 由题意可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 5．（24-25八年级上·全国·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，二次根式的运算，利用勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，面积公式求出的面积，过点作，等积法求出的长，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理，得：，，，故选项C正确； ∴， ∴为直角三角形，，故选项B正确； ∴，故选项D错误； 过点A作于点D， 则， ∴， 即点A到直线的距离是2，故选项A正确； 故选：D． 6．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点．取格点，连接，利用证明，推出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，再利用等量代换即可解答． 【详解】解：如图：取格点，连接，    ∵，，， ∴， ∴， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型三：利用勾股定理的逆定理求解 7．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 8．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 9．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 题型四：勾股定理的逆定理的实际应用 10．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 11．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到海里，海里，海里，则可得，由勾股定理的逆定理得到，进而求出，则智能号轮船的航行方向是北偏东． 【详解】解：由题意得，海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵胜利号轮船沿北偏西方向航行， ∴， ∴， ∴智能号轮船的航行方向是北偏东， 故选：A． 12．（23-24八年级下·天津南开·阶段练习）如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（    ）． A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大；连接，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这块地的面积为：， 故选：A． 题型五：勾股定理的逆定理的拓展问题 13．（20-21八年级上·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 14．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 15．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．    （1）下列四边形是勾股四边形的有　 　．（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________ （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）①③；（2）（3，4）或（4，3）；（3）见解析 【分析】（1）根据定义和勾股四边形的性质，有矩形或正方形或直角梯形满足题意； （2）OM＝AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案； （3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形． 【详解】（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：矩形，正方形 故答案为：①③； （2）如图1所示：M（3，4）或（4，3）； 故答案为（3，4）或（4，3）；    （3）证明：如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE， ∴AC＝DE，BC＝BE， ∵∠CBE＝60， ∴△CBE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝30°+60°＝90°， ∴DC2+EC2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．    题型六：勾股定理逆应用的综合 16．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，为三条走廊（点E和点F分别在边和上），米，米，米，米，．随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点H，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 【答案】（1）；（2）18米或25米或30米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质： （1）利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可； （2）利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，再利用勾股定理求出的，最后分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴米， 当米时，则米， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴米； 当时，过点E作于M，则， ∵， ∴米， ∴米， ∴米； 综上所述，的长为18米或25米或30米． 17．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，D为边上的点，将沿折叠，得到，恰好，连接，． (1)设，，求的长； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)直角三角形，见解析 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理及逆定理等知识． （1）由翻折性质可得，根据勾股定理得，然后根据，得，再整体代入计算即可解决问题； （2）根据勾股定理逆定理即可判断是直角三角形． 【详解】（1）解：由翻折可知：， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由翻折可知：， ， ，， ， ， 是直角三角形． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在中，． (1)若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； (2)点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）如图1，过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，设，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图2，过作于，根据等腰三角形的性质得到，设，，，得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】（1）如图1，过作于， ，， ， ， 将沿折叠，使得点与点重合， ，， 设， ， ， ， 解得：， ； （2）如图2，过作于， ， ， ， 设，，， ， ，， ，， 联立方程组解得，（负值舍去）， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【高分演练】 一、单选题 19．（24-25八年级下·吉林长春）下列线段不能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查判断三边能否构成直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，，，能组成直角三角形，不合题意； B、，，，能组成直角三角形，不合题意； C、，，，不能组成直角三角形，符合题意； D、，，，能组成直角三角形，不合题意； 故选：C． 20．（24-25八年级上·河南郑州·期末）的三边分别为a，b，c，下列选项中不能判定是直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理判断即可． 【详解】解：A、， 三边分别为a，b，c的不是直角三角形，符合题意； B、，， ， 是直角三角形，不符合题意； C、， ∴， 三边分别为a，b，c的△ABC是直角三角形，不符合题意； D、， ， 三边分别为a，b，c的是直角三角形，不符合题意； 故答案选：A． 21．（24-25八年级上·江西上饶·期末）三角形的三条边分别为，，且满足，，则三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题涉及因式分解和勾股定理逆定理．先对已知等式进行因式分解，再根据判断三角形的形状． 先对等式进行因式分解：即或者（舍去）；再判断三角形形状： ，，，根据勾股定理逆定理，三角形是直角三角形． 【详解】解： ， 或 ，（舍去）， ， ， ， 三角形是直角三角形， 故选：B． 22．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 23．（24-25八年级上·四川达州·期中）关于 △ABC 有下列条件：① ；②；③ ；④；⑤ ．其中能确定是直角三角形的有（        ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答． 【详解】解：①， ， 是直角三角形； ②，， ， 是直角三角形； ③， 设，则，， ∵， ∴， ∴不是直角三角形； ④，即：， ∴是直角三角形； ⑤时，， ∴是锐角三角形； 故能确定是直角三角形的有①②④． 故选：B． 24．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法计算，利用勾股定理即可判断①；利用勾股定理分别求出，，进而得到，则由勾股定理的逆定理即可判断②；根据三角形面积计算公式即可判断③；根据等面积法即可判断④． 【详解】解：①由勾股定理得，故①正确； ②由勾股定理得，， ∴， ∴，故②正确； ③，故③错误； ④点A到直线的距离是，故④正确； ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 25．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 26．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为 ． 【答案】96 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式． 连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后由三角形面积即可得出结论．． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， 又，， ， 是直角三角形，， 这块地的面积的面积的面积． 故答案为：96． 27．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，如果将沿翻折后，点的对应点为点，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可求，由折叠的性质可得，，可得是的中垂线，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， ， 点是的中点， ， 将沿翻折后， ，， 是的中垂线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，由勾股定理列出方程可求解． 28．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，   ， ， 当为直角三角形时，， 即， 解得，； 同理可得：当时， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时， 由得：， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 29．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． 先用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且.再由勾股定理求出的长，得到的长，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且. 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积为 故答案为： 30．（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理的逆定理即勾股定理的应用，连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中， ， , ， 故答案为：． 31．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是x轴正半轴上一动点给出下列结论： ①线段的长为5； ②当点P坐标为时，是直角三角形； ③在中，若，则的面积是； ④设点P的坐标为，则的最小值为． 反其中正确的有 （填序号）    【答案】②④ 【分析】①利用两点距离公式可以计算的长； ②根据两点距离公式表示三边，再根据勾股定理逆定理进行计算即可； ③如图作辅助线，利用面积差可得的面积； ④如图，先作垂线段，由勾股定理可知：就是的长，就是的长，所以的最小值就是的最小值，根据轴对称的最短路径问题可得结论． 【详解】解：①∵点，点， ∴， 故①结论不正确； ②，，由上知， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故②正确； ③如图，在中，，，   ， 过B作轴于D， ，， ， ， ， ， ， 故③错误； ④如图，过B作轴于D， ， ，， 由勾股定理得：，， 作A关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，    ∴， 此时的值最小， 过B作于C， 则，， 由勾股定理得：， 的最小值是， 即设点P的坐标为，则的最小值为． 故④正确， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题、图形与坐标特点、勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握并能灵活运用轴对称的最短路径问题是关键． 三、解答题 32．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图，点，，在同一条直线上，，，，，． (1)求证：； (2)连接，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点到的距离为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可求，由等积法即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设点到的距离为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 33．（24-25九年级上·重庆·期末）已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架，，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由： (2)若的长度为，，求购物车把手到的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：） 【答案】(1)两支架与为垂直的位置关系，理由见解析 (2)购物车把手到的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在中． ∵，，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）解：如图所所示，过点作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手到的距离为． 34．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，为上一点，，在上截取，连接并延长交于点． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)求证：； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质． 利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，又因为，所以可以判断是等腰直角三角形； 利用判断； 根据全等三角形对应角相等可证，从而可证是边上的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 理由如下： ，， ，， ∴， ， 是等腰直角三角形； （2）证明：如下图所示， 在和中，， ； （3）解: 当时，是边上的垂直平分线， 35．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，已知． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)为直角三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法、线段垂直平分线的性质定理、勾股定理及其逆定理， （1）由题意知，是线段的垂直平分线，由垂直平分线的性质定理可得，则由及勾股定理逆定理即可得，从而可得是直角三角形； （2）由已知设，，则由勾股定理建立方程可求得x的值，从而可得的长，再由勾股定理可求得的长，则最后可求得的周长． 【详解】（1）解：是直角三角形． 由作图知，为线段的垂直平分线，点在上， ∴， ∵， ∴，即， 根据勾股定理的逆定理知， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：由，设，， 由（1）知，在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去负值）， ∴，，， 在中，， ∴的周长为：． 36．（24-25八年级上·河南郑州·期中）探究一：如图，均为正方形． 问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________； （）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形． 探究二：图形变化： （）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由； （）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由． 【答案】（）；（）直角；（）；（） 【分析】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和； （）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解； （）设直角三角形的三边分别为，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积； （）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得，， ∴， 故答案为：； （）∵的面积为，的面积为，同时的面积为， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （），理由如下： 设直角三角形的三边分别为， 则，，， ∵， ∴； （）由图②可得，． 37．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【详解】（1）解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$