17.2 勾股定理的逆定理 选择题常考题型分类训练（6大题型44题）2024-2025学年人教版数学八年级下册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第17章 17.2 勾股定理的逆定理 选择题常考题型分类训练（6大题型44题）（原卷版） 题型1：判断三边能否构成直角三角形（8题） 题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点（4题） 题型3：在网格中判断直角三角形（8题） 题型4：利用勾股定理的逆定理求解（13题） 题型5：勾股定理逆定理的实际应用（8题） 题型6：勾股定理逆定理的拓展问题（3题） 题型1：判断三边能否构成直角三角形（8题） 1．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（   ） A．12，13，5 B．，， C．60，80，100 D．，， 2．若的三边长，，满足，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3．在中，，，的对边分别为a，b，c．能判断是直角三角形的是（    ） A．，， B．，，， C． D．， 4．若的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 5．关于 △ABC 有下列条件：① ；②；③ ；④；⑤ ．其中能确定是直角三角形的有（        ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 6．下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5；③如果一个三角形的三边是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么．其中正确的是（     ） A．①④ B．①③ C．①② D．②④ 7．在由边长为1的小正方形组成的大正方形网格中各有一个三角形，下列四个三角形中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 8．五根小木棒，其长度分别为，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点（4题） 9．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 10．在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 11．下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 12．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 题型3：在网格中判断直角三角形（8题） 13．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． 15．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，都在格点上，与相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 17．如图是由6个边长相等的正方形组成的网格，则（　　）    A． B． C． D． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、P均在格点上，则（    ）    A． B． C． D． 19．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则（    ） A． B． C． D． 20．如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4：利用勾股定理的逆定理求解（13题） 21．如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．如图，四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 23．如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 24．如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 25．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 26．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 27．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 28．如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（    ） A．3.5 B．2.5 C．2 D．3 29．若a，b，c为的三条边，满足，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 30．如图在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 31．如图，在四边形中，，，，，且，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．② B．①② C．①④ D．①③④ 32．如图，点都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（    ）    A． B． C． D． 33．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5：勾股定理逆定理的实际应用（8题） 34．小明向东走后，沿另一个方向又走了，再沿第三个方向走回到原地．小明向东走后走的方向是（    ） A．向北 B．向西或向东 C．向南 D．向北或向南 35．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 36．如图，四边形中，E为中点，于点E，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D．无法求解 37．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 38．已知是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 39．甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 40．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 41．已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 题型6：勾股定理逆定理的拓展问题（3题） 42．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 43．若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（   ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 44．△ABC中，∠A＞90°，AB＝6，AC＝8，则BC的长度可能是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 第17章 17.2 勾股定理的逆定理 选择题常考题型分类训练（6大题型44题）（解析版） 题型1：判断三边能否构成直角三角形（8题） 题型2：图形上与已知两点构成直角三角形的点（4题） 题型3：在网格中判断直角三角形（8题） 题型4：利用勾股定理的逆定理求解（13题） 题型5：勾股定理逆定理的实际应用（8题） 题型6：勾股定理逆定理的拓展问题（3题） 1．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（   ） A．12，13，5 B．，， C．60，80，100 D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，如果较小的两个数的平方的和等于最大的数的平方，则能作为直角三角形三边长，逐项判断即可． 【详解】解：A，，12，13，5能作为直角三角形三边长，不合题意； B，，，，能作为直角三角形三边长，不合题意； C，，60，80，100能作为直角三角形三边长，不合题意； D，，，，不能作为直角三角形三边长，符合题意； 故选D． 2．若的三边长，，满足，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由已知可得，据此即可判断求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵为的三边长， ∴， ∵， ∴， 即， ∴一定是直角三角形， 故选：． 3．在中，，，的对边分别为a，b，c．能判断是直角三角形的是（    ） A．，， B．，，， C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理逆定理及等腰三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理、三角形内角和及等腰三角形的性质可进行排除选项． 【详解】解：A、由，，可知：，故不是直角三角形； B、由，，可知：，故是直角三角形； C、由可设，则有，解得，所以，故不是直角三角形； D、由，可知：，故不是直角三角形； 故选B． 4．若的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 5．关于 △ABC 有下列条件：① ；②；③ ；④；⑤ ．其中能确定是直角三角形的有（        ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答． 【详解】解：①， ， 是直角三角形； ②，， ， 是直角三角形； ③， 设，则，， ∵， ∴， ∴不是直角三角形； ④，即：， ∴是直角三角形； ⑤时，， ∴是锐角三角形； 故能确定是直角三角形的有①②④． 故选：B． 6．下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5；③如果一个三角形的三边是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么．其中正确的是（     ） A．①④ B．①③ C．①② D．②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数和直角三角形的性质，正确掌握勾股数的定义和直角三角形的性质是解题的关键． 根据勾股数的定义和直角三角形的性质，依次分析①②③④，选出正确的命题的序号，即可得到答案． 【详解】解：①如果为一组勾股数，则设， 则， 而、、一定是正整数，所以、、仍是勾股数，故①正确，符合题意； ②如果直角三角形的两边是3，4，则另一边的长可能为，且符合三角形的两边之和大于第三边，故②不正确，不符合题意； ③， ③错误，不符合题意； ④一个等腰直角三角形的三边，（）， ， 即， 故①④正确，符合题意； 故选：A． 7．在由边长为1的小正方形组成的大正方形网格中各有一个三角形，下列四个三角形中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长是1． A、三角形各边长为、、5，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； B、三角形各边长为、、，，故该三角形不是直角三角形，符合题意； C、三角形各边长为、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； D、三角形各边长为2、4、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意． 故选：B． 8．五根小木棒，其长度分别为，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．要求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A．，，，故A不正确，不符合题意； B．，，故B不正确，不符合题意； C．，，故C正确，符合题意； D．，，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 9．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 10．在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    11．下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 【答案】B 【分析】根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解． 【详解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误； ∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确； ∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误； ∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键． 12．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 13．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法计算，利用勾股定理即可判断①；利用勾股定理分别求出，，进而得到，则由勾股定理的逆定理即可判断②；根据三角形面积计算公式即可判断③；根据等面积法即可判断④． 【详解】解：①由勾股定理得，故①正确； ②由勾股定理得，， ∴， ∴，故②正确； ③，故③错误； ④点A到直线的距离是，故④正确； ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 14．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，二次根式的运算，利用勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，面积公式求出的面积，过点作，等积法求出的长，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理，得：，，，故选项C正确； ∴， ∴为直角三角形，，故选项B正确； ∴，故选项D错误； 过点A作于点D， 则， ∴， 即点A到直线的距离是2，故选项A正确； 故选：D． 15．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E分别是网格线交点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．取格点F，连接，，证明是等腰直角三角形，则，证明，则，则. 【详解】解；如图，取格点F，连接，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 16．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，都在格点上，与相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查构造直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，根据勾股定理，求出． 【详解】解：如图，过点作， ， 过格点， 连接， ， ， ， ， ， 故选：C． 17．如图是由6个边长相等的正方形组成的网格，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理逆定理得到，再由三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，设小正方形的边长为1，    则，，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、P均在格点上，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，取格点，连接和，证明得到，再由平行线的性质得到，则可得，再证明是等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：如图所示，取格点，连接和 由网格的特点可知， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选B．    【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键． 19．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出点关于的对称点，连接、，根据轴对称的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据网格的特点，结合勾股定理，得出，，再根据，再根据勾股定理的逆定理，得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而即可得出的度数． 【详解】解：如图，找出点关于的对称点，连接、， ∵点关于的对称点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了轴对称、网格的特点、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，得出是解本题的关键． 20．如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由勾股定理求出线段、、、、、的平方，由勾股定理的逆定理即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理得：，，，，， ，， 、是直角三角形， ∴任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理得出直角三角形是解决问题的关键． 21．如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 22．如图，四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积； 故选B． 23．如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积． 【详解】解： ，， ，， ，， ， 为直角三角形，， ， 阴影部分的面积为． 故选：D． 24．如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形， ∴，且正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选： C． 25．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 26．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：A． 27．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 28．如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（    ） A．3.5 B．2.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查垂线段的性质勾股定理的逆定理，解题的关键是学会由面积法求高．根据垂线段最短可知，当P与D重合时取最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 过点B作于点D， 则， ∴， 故选C． 29．若a，b，c为的三条边，满足，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式，非负数的性质：偶次幂的非负性，以及勾股定理的逆定理，是一道综合性较强的试题．将已知等式适当变形是解本题的关键． 利用完全平方公式化简，根据非负数之和为0，每个加数分别为0得到，及值，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴，，， 解得：，，， ∵，， ∴ ∴是直角三角形． 故选：D． 30．如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 31．如图，在四边形中，，，，，且，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．② B．①② C．①④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形内角和定理，先根据勾股定理得到，进而证明，推出是直角三角形，且，由四边形内角和定理得到，再由得到，据此可判断①②④；根据现有条件无法得到，即可判断③． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且，故①正确； ∴，故②正确； ，故④错误； 根据现有条件无法得到，故③错误； 故选B． 32．如图，点都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，为旋转角，可利用的三边关系解答． 【详解】解：如图，    设小方格的边长为1，得 ， ∵ ∴ 由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形． ∴ 即旋转的角度为． 故选：C． 【点睛】本题考查了几何图形的旋转，涉及勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键利用勾股定理的逆定理求得． 33．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA， ∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4， PA=QC=3，∠BPA=∠BQC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， 所以A正确，不符合题意； PQ=PB=4， PQ2+QC2=42+32=25， PC2=52=25， ∴PQ2+QC2=PC2， ∴∠PQC=90°， 所以B正确，不符合题意； ∵PB=QB=4，∠PBQ=60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴∠BPQ=60°， ∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°， 所以D正确，不符合题意； ∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC， ∵PC=5，QC=PA=3, ∴PC≠2QC， ∵∠PQC=90°， ∴∠QPC≠30°， ∴∠APC≠120°． 所以C不正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识． 34．小明向东走后，沿另一个方向又走了，再沿第三个方向走回到原地．小明向东走后走的方向是（    ） A．向北 B．向西或向东 C．向南 D．向北或向南 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，解题关键是观察三边的关系．根据小红走的路线正好是一个直角三角形三边，即可解答． 【详解】解：， 小明行走的路线为一个直角三角形， 小明向东走后走的方向是向北或向南， 故选：D． 35．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到海里，海里，海里，则可得，由勾股定理的逆定理得到，进而求出，则智能号轮船的航行方向是北偏东． 【详解】解：由题意得，海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵胜利号轮船沿北偏西方向航行， ∴， ∴， ∴智能号轮船的航行方向是北偏东， 故选：A． 36．如图，四边形中，E为中点，于点E，，，，，则四边形 的面积为（　　）    A． B． C． D．无法求解 【答案】C 【分析】连接，先求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：连接 ，    为 的中点，， 是的垂直平分线，， ， ， ， ， ，， ， 是直角三角形，， ∴四边形的面积， 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形． 37．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 38．已知是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键． 根据非负数的性质可得关于的等式，继而可得，根据均大于零，且，继而可得，综合两种情况，可判断出的形状． 【详解】解：∵均大于零， ∴且， 又∵，即 故第一种情况，即， ∴是等腰三角形， 第二种情况， ∴是直角三角形 ∴等腰三角形或直角三角形 故选：． 39．甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题意可得，，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，，， ，， ， ， 分两种情况： 如图1， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东， 如图2， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西 ， 综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东或北偏西， 故选：A． 40．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【详解】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 41．已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据完全平方公式利用a+b=10，ab=18求出，即可得到三角形的形状. 【详解】∵a+b=10，ab=18， ∴=（a+b）2-2ab=100-36=64， ∵,c=8， ∴=64， ∴=， ∴该三角形是直角三角形， 故选：B. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能够利用完全平方公式由已知条件求出是解题的关键. 42．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1） 这个三角形是锐角三角形；（2） 这个三角形是直角三角形；（3） 这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 43．若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（   ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【答案】B 【分析】因为a、b、c为一个三角形的三边长，化简，可得a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形． 【详解】∵， ∴a2+b2=c2， ∴该三角形为直角三角形. 故选B. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 44．△ABC中，∠A＞90°，AB＝6，AC＝8，则BC的长度可能是【　　】 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】∵当∠A=90°时，由勾股定理可知：BC=， ∴当∠A>90°时，BC>10， 又∵当BC=14时，AB+AC=BC了，此时不能围成三角形， ∴BC=12. 故选C. 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$