精品解析：河北省保定市清苑区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

河北省保定市清苑区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求解即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2. 剪纸是中国古老的民间艺术之一，下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形．熟练掌握定义是解答的关键．沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，绕着一点旋转180°能与原图形重合的图形是中心对称图形． 根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A、图形沿着一条直线折叠后不重合， ∴不是轴对称图形； 绕着一点旋转180°后重合， ∴是中心对称图形． 故此选项不正确． B、图形沿着一条直线折叠后重合， ∴是轴对称图形； 绕着一点旋转180°后不重合， ∴不是中心对称图形． 故此选项不正确． C、图形沿一条直线对折后能够完全重合， ∴此图形是轴对称图形； 绕着一点旋转180°能与原图形重合， ∴是中心对称图形． 故此选项正确． D、图形沿一条直线对折后能够完全重合， ∴此图形是轴对称图形； 绕着一点旋转180°能与原图形不重合， ∴不是中心对称图形． 故此选项不正确． 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． 【详解】∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 4. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 把代入关于x的方程，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， 解得． 故选：D． 5. 如图，量角器外缘边上有A，B，C三两点，它们所表示的读数分别是，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，， ∴， 故选：C． 6. 已知和是反比例函数图象上的两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由，得到双曲线分布在第一、三象限，在每一支曲线上，随的增大而减小，根据即可判断求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴双曲线分布在第一、三象限，在每一支曲线上，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 7. 如图，在菱形中，对角线、交于点F，E是的中点，若，则菱形的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，斜边上的中线，根据菱形的性质，得到，再根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、交于点F， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴． 即：菱形的边长是4； 故选B． 8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值，下列选项中正确的是（ ） A. 这个函数的开口向下 B. 这个函数的图象与x轴无交点 C. 当时，的值随的增大而减小 D. 这个函数的最小值小于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格可得抛物线对称轴为直线，进而根据抛物线经过点可知当时，随的增大而减小，可得抛物线开口向上，且跟轴有交点，即可判断；再根据增减性可判断；由对称轴和开口方向可知当时，函数有最小值，最小值小于，即可判断，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴当时，随的增大而减小， ∴抛物线开口向上，且跟轴有交点，故选项错误，不符合题意； ∵当时，随的增大而增大， ∴当时，的值随的增大而增大，故选项错误，不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值，最小值小于，故选项正确，符合题意； 故选：． 9. 如图，是的弦，是上的一个动点，且，若M，N分别是，的中点，则的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定，勾股定理，圆周角定理等知识点，解题的关键是了解当什么时候的值最大，根据中位线定理得到的长最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：点，分别是，的中点， ， 当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大， 如图，连接并延长交于点，连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， 由勾股定理得，， ， 故选：． 10. 如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，将每个台阶拐角的顶点叫作拐点，记作（m为1~7的整数），函数 的图象为曲线L． 当曲线L同时经过的拐点最多时， k的值为 （ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，先由题意得到各拐点的坐标，再根据点的坐标满足函数解析式求解即可，利用点的坐标分布情况确定k值是解答的关键． 【详解】由题意可知，，，，，，， ∵曲线L的函数表达式为， ∴当时，曲线L同时经过2个拐点、； 当时，曲线L同时经过3个拐点 、、； 当时，曲线L同时经过2个拐点、； ∴当时，曲线L经过的拐点最多， 故选：B． 11. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，进而求得，进而等面积法即可求解． 【详解】解：在中， ，， ， ， 设到的距离为， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 12. 如图，二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点作直线轴．将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先求出点B和L的顶点坐标，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，顶点坐标为， ∵直线l过点， ∴点B到直线l距离2个单位长度，L的顶点距离直线l1个单位长度， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在平面直角坐标系中，．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键． 的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点坐标． 【详解】解：， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得， 故答案为：. 14. 已知是一元二次方程的两个根，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程（为常数，且）的两个根为，则，． 根据一元二次方程根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， ， 故答案为： ． 15. 如图，在中，点E在上，与相交于点F，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，得到，证明，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 16. 下图1是某地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，当时，双翼边缘端点C与D之间的距离为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识．作直线，交双翼闸机于点E、F，由轴对称图形的性质得．在中，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，同理求出，即可求出的长． 【详解】解：如图，作直线，交双翼闸机于点E、F，由轴对称图形的性质得，， 由题意可得，， 在中，∵， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， ， ． 18. 嘉嘉新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位；）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请你直接写出该台灯的电阻的取值范围． 【答案】（1） （2）的值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入解析式，求出R的值即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 【小问1详解】 解：设，由图象可知， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：当时，, 解得； 【小问3详解】 解：当，， 当，， 该台灯的电阻的取值范围为． 19. 红色研学作为一种独特的教育实践活动，其意义深远而重大，不仅是一次历史的追溯，更是一次心灵的洗礼和精神的传承．向阳中学利用假期时间带领学生进行山西革命圣地红色研学活动，七年级统一安排去晋察冀军区司令部旧址纪念馆研学，八年级和九年级由年级主任随机从下列三个红色景点中抽取一个进行研学． （1）九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为 ． （2）若八年级主任先从三个景点中随机抽取一个，接着九年级主任再从剩余的两个景点中机抽取一个，求至少有一个年级抽到景点C一太原解放纪念馆的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画树状图或列表，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：∵八年级和九年级由年级主任随机从三个红色景点中抽取一个进行研学， ∴九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的情况，其中至少有一个年级抽到景点C太原解放纪念馆的结果有4种， ∴至少有一个年级抽到景点C太原解放纪念馆的概率为． 20. 某市在地铁施工期间，相关部门在施工路段设立了矩形安全警示牌（如图所示），小东同学在距离安全警示牌8米（的长）远的建筑物上的窗口P处，测得安全警示牌顶端A点和底端B点的俯角分别是和，求安全警示牌宽的值．（结果保留根号） 【答案】安全警示牌宽的值为米． 【解析】 【分析】如图，过点P作，交延长线于点H，在中求出的值，在中求出的值，然后根据求解即可． 【详解】解∶如图，过点P作，交延长线于点H，则米， ∵， ，， ∴米，米， ∴米． 答∶安全警示牌宽的值为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 21. 如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2） 证明：∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略． 22. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【答案】（1）该圆的半径为5米 （2）水面上涨的高度为1米 【解析】 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过O作于点C，交于点D，根据垂径定理有米，设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）设水面升到如图，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，从而可求出水面上涨的高度． 【小问1详解】 解：过O作于点C，交于点D，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； 【小问2详解】 设水面升到如图，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面上涨的高度为（米）． 23. 综合与实践 问题情境：元旦晚会舞台布置中需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接A，B两点，点C位于点B正下方的地面处，以点A正下方的地面处的点O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线解析式的二次项系数为，米，米，但实际实施方案后发现最低点过低． 方案修改：莉莉将方案进行修改，如图2，将图1中灯链的最低点固定在距地面2.7米的点N处，点N两侧的灯链形成了两个对称的新抛物线． （1）求图1中抛物线的解析式． （2）若图1中抛物线的最低点为M，求点M到的距离． （3）若图2中两个最低点的距离为4米，修改方案后最低点提高了多少米？ 【答案】（1） （2）点M到的距离为2.25米 （3）米 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用． （1）设抛物线的解析式为．由抛物线的对称轴为直线即可解得，得到答案； （2）将代入即可求出答案； （3）求出左边的新抛物线的对称轴为直线．设左边的新抛物线的解析式为，利用待定系数法求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 将代入， 得（米）． 答：点M到的距离为米． 【小问3详解】 ∵图2中两个新抛物线对称，且最低点之间的水平距离为4米， ∴左边的新抛物线的对称轴为直线． 设左边的新抛物线的解析式为． 将点代入， 得 解得 ∴灯链最低点提高了（米）． 24. 已知矩形中， （1）的一条直角边经过点，另一条直角边与交于点． ①如图1，当直角顶点落在的中点时，的长为_______________； ②如图2，当直角顶点在线段上移动时，直角边与始终交于点．设长为x，长为，请你求出与之间的关系式，并直接写出的最小值； （2）如图3，是矩形的外接圆，点是弧的中点，点是上任意一点（与不重合），连接，过点作的垂线交直线于点．请直接写出的度数及的最大值． 【答案】（1）①3；②y与x的关系式为：；PD的最小值为1 （2）的度数为；PH的最大值为16 【解析】 【分析】（1）①可证，故，进一步即可求出答案．②设长为x，长为，则，故，进一步得到的最大值和的最小值． （2）连接，求出，，点是弧的中点，所以，因为，则，故，故，当为圆直径时最大，最大值为． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴ ∴ ∴； 故答案为：3 ②设长为x，长为，则， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值，即的最大值为， ∵ ∴的最小值为． 【小问2详解】 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当为圆直径时最大，最大值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质求最值，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省保定市清苑区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸是中国古老的民间艺术之一，下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（　　） A. B. C. 2 D. 5. 如图，量角器外缘边上有A，B，C三两点，它们所表示的读数分别是，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 6. 已知和是反比例函数图象上的两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，在菱形中，对角线、交于点F，E是的中点，若，则菱形的边长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值，下列选项中正确的是（ ） A. 这个函数的开口向下 B. 这个函数的图象与x轴无交点 C. 当时，的值随的增大而减小 D. 这个函数的最小值小于 9. 如图，是的弦，是上的一个动点，且，若M，N分别是，的中点，则的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 10. 如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，将每个台阶拐角的顶点叫作拐点，记作（m为1~7的整数），函数 的图象为曲线L． 当曲线L同时经过的拐点最多时， k的值为 （ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 11. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 12. 如图，二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，设二次函数图象上点A，B之间的部分（含点A，B）为曲线L，过点作直线轴．将曲线L向上平移m个单位长度，若曲线L与直线l有两个交点，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在平面直角坐标系中，．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_________________． 14. 已知是一元二次方程的两个根，则_____________． 15. 如图，在中，点E在上，与相交于点F，若，则的值为_____． 16. 下图1是某地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，当时，双翼边缘端点C与D之间的距离为___________ 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 嘉嘉新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位；）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，请你直接写出该台灯的电阻的取值范围． 19. 红色研学作为一种独特的教育实践活动，其意义深远而重大，不仅是一次历史的追溯，更是一次心灵的洗礼和精神的传承．向阳中学利用假期时间带领学生进行山西革命圣地红色研学活动，七年级统一安排去晋察冀军区司令部旧址纪念馆研学，八年级和九年级由年级主任随机从下列三个红色景点中抽取一个进行研学． （1）九年级抽到A一平型关大捷遗址的概率为 ． （2）若八年级主任先从三个景点中随机抽取一个，接着九年级主任再从剩余的两个景点中机抽取一个，求至少有一个年级抽到景点C一太原解放纪念馆的概率． 20. 某市在地铁施工期间，相关部门在施工路段设立了矩形安全警示牌（如图所示），小东同学在距离安全警示牌8米（的长）远的建筑物上的窗口P处，测得安全警示牌顶端A点和底端B点的俯角分别是和，求安全警示牌宽的值．（结果保留根号） 21. 如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： （1）； （2）． 22. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 23. 综合与实践 问题情境：元旦晚会舞台布置中需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接A，B两点，点C位于点B正下方的地面处，以点A正下方的地面处的点O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线解析式的二次项系数为，米，米，但实际实施方案后发现最低点过低． 方案修改：莉莉将方案进行修改，如图2，将图1中灯链的最低点固定在距地面2.7米的点N处，点N两侧的灯链形成了两个对称的新抛物线． （1）求图1中抛物线的解析式． （2）若图1中抛物线的最低点为M，求点M到的距离． （3）若图2中两个最低点的距离为4米，修改方案后最低点提高了多少米？ 24. 已知矩形中， （1）的一条直角边经过点，另一条直角边与交于点． ①如图1，当直角顶点落在的中点时，的长为_______________； ②如图2，当直角顶点在线段上移动时，直角边与始终交于点．设长为x，长为，请你求出与之间的关系式，并直接写出的最小值； （2）如图3，是矩形的外接圆，点是弧的中点，点是上任意一点（与不重合），连接，过点作的垂线交直线于点．请直接写出的度数及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $