第七章 概念、命题与证明（单元复习 6个知识点+9类题型突破）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第七章 概念、命题与证明 01 思维导图 02 知识速记 【知识点1】命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 要点提醒：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 要点提醒： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 【知识点2】余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点3】对顶角 1.两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 2.对顶角的性质：对顶角相等. 【知识点4】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点5】平行线的定义、画法、公理 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3. 公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点6】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 03 题型归纳 题型一　命题的判定与逆命题 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 2．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 题型二　求一个角的余角、补角 例题：（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）度，则它的余角等于 度，它的补角等于 度． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）的角的余角等于 ．的角的补角等于 ． ． 2．（24-25七年级上·广东东莞·期末）已知，则的余角的度数是 ． 3．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）若，则其补角是 ． 题型三　对顶角的定义 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A．B．C．D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）在下列图中，与属于对顶角的是（   ） A．B．C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与互为对顶角的是（   ） A．B．C． D． 题型四　余角、补角、对顶角综合求角 例题：（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线，相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)与互补的角有______ 巩固训练 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线相交于点，，． (1)写出图中的余角为：_____； (2)如果，求的度数． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点O，，． (1)写出图中的余角 ； (2)如果，求的度数． 3．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，直线相与相交于O，分别是，平分线．   (1)写出的两个补角； (2)若．求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 题型五　同位角、内错角、同旁内角的辨别 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，则的同位角的大小是 ，的内错角的大小是 ，的同旁内角的大小是 ． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 题型六　添加一条件使两条直线平行 例题：（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·结论开放性试题  如图，已知，请你添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断，你添加的条件是 ． 题型七　平行线的判定 例题：（24-25八年级上·吉林·开学考试）把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（        ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 2．（23-24七年级下·河南安阳·期中）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ） ∵平分（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） ∵（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） 3．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 4．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接相交于点O，，平分，． (1)试说明； (2)与的位置关系如何？为什么？ 题型八　根据平行线的性质与判定综合问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 巩固训练 1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型九　平行线的性质在生活中的应用 例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 概念、命题与证明 01 思维导图 02 知识速记 【知识点1】命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 要点提醒：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 要点提醒： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 【知识点2】余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点3】对顶角 1.两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 2.对顶角的性质：对顶角相等. 【知识点4】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点5】平行线的定义、画法、公理 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3. 公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点6】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 03 题型归纳 题型一　命题的判定与逆命题 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【知识点】判断命题真假、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．利用平行线的性质对命题进行判断即可确定答案． 【详解】解：∵两直线平行，同旁内角互补， ∴命题“两直线平行，同旁内角相等”错误，是假命题， 故答案为：假． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 【答案】① 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的定义，熟练掌握它们的概念是解题的关键 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先根据互逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等，它的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等，它的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题． 所以，逆命题成立的是① ； 故答案为：① 2．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【知识点】平行公理的应用、判断命题真假 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 题型二　求一个角的余角、补角 例题：（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）度，则它的余角等于 度，它的补角等于 度． 【答案】 45 135 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查余角定义，补角定义．根据题意利用余角和补角定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵度， ∴余角为：， ∴补角为：， 故答案为：45，135． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）的角的余角等于 ．的角的补角等于 ． ． 【答案】 /171度 【知识点】角的单位与角度制、求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查了余角、补角和角度单位之间的进率，“若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和为，则这两个角互补；，”．根据定义求解即可． 【详解】解：的角的余角， 的角的补角， ， 故答案为：、、． 2．（24-25七年级上·广东东莞·期末）已知，则的余角的度数是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题主要考查余角，熟练掌握求一个锐角的余角的方法是解决问题的关键．根据互为余角的定义用减去的度数，求出的结果就是余角的度数． 【详解】解：∵， ∴的余角． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）若，则其补角是 ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的补角 【分析】本题考查了补角，角度四则运算，根据补角的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴其补角是， 故答案为：． 题型三　对顶角的定义 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此求解即可． 【详解】解；根据对顶角的定义可知，四个选项中只有C选项中的与互为对顶角， 故选：C． 巩固训练 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）在下列图中，与属于对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角是解答此题的关键．运用对顶角的定义逐一判断即可得解． 【详解】在选项A中，与的两边都不互为反向延长线，B，C选项中，与没有公共点，所以都不是对顶角，是对顶角的只有选项D． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与互为对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查对顶角，根据有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，进行判断即可． 【详解】解：通过观察与的位置特征，只有B中与同时满足有公共顶点，且的两边是的两边的反向延长线，故B选项，符合题意． 故选：B． 题型四　余角、补角、对顶角综合求角 例题：（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线，相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)与互补的角有______ 【答案】(1) (2)与互补的角有、、 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、求一个角的补角 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟记对顶角相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，再根据对顶角相等解答； （2）根据补角的定义判断即可． 【详解】（1）解： 平分，， ， ， ； （2）解：与互补的角有、、． 故答案为：、、． 巩固训练 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线相交于点，，． (1)写出图中的余角为：_____； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求一个角的余角、同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】（）由垂直可得，即得，再根据余角的定义即可求解； （）利用余角性质可得，进而得，再根据平角定义可得，据此即可求解； 本题考查了余角的定义和性质，垂直的定义，掌握余角的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴图中的余角为，，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点O，，． (1)写出图中的余角 ； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题主要考查的是垂线、余角的定义、对顶角、邻补角的定义，掌握相关性质是解题的关键． （1）由垂直的定义可知，，从而可知与是的余角，由对顶角的性质从而的得到是的余角； （2）依据同角的余角相等可知，，从而得到平角． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴与是的余角． ∵由对顶角相等可知：， ∴． ∴与互为余角． ∴的余角为，，； 故答案为：，，． （2）解：∵，°，， ∴． ∴． 3．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，直线相与相交于O，分别是，平分线．   (1)写出的两个补角； (2)若．求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1)（三选二即可） (2) (3)射线与互相垂直．理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、求一个角的补角、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了补角，角平分线，垂线等知识．熟练掌握补角，角平分线，垂线是解题的关键． （1）由是平分线，可得，则，由，，，作答即可； （2）由是平分线，可得，则，，由是的平分线，可得，计算求解即可； （3）由（2）可知，，，则，即，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵是平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴是的补角； （2）解：∵是平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）解：射线与互相垂直．理由如下： 由（2）可知，，， ∴，即． ∴射线与互相垂直． 题型五　同位角、内错角、同旁内角的辨别 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，则的同位角的大小是 ，的内错角的大小是 ，的同旁内角的大小是 ． 【答案】 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查内错角、同位角以及同旁内角，观察图形易得的同位角、内错角都为的邻补角，接下来结合的度数计算即可；同样由图可得的同旁内角为的对顶角，与为对顶角，据此解答． 【详解】解：由图可得的同位角、内错角都为的邻补角， 又， 则其同位角大小为； 的内错角大小为； 的同旁内角为的对顶角，则大小为； 故答案为：；；． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线上有一点和是直线被直线 所截形成的 角；和是直线和被直线 所截形成的 角；和是直线 和 被直线 所截形成的 角． 【答案】 同位 内错 同旁内 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：直线上有一点和是直线被直线所截形成的同位角；和是直线和被直线所截形成的内错角；和是直线和被直线所截形成的同旁内角． 故答案为：，同位；，内错；，，，同旁内． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 【答案】(1)与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 (2)与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 (3)，和互补，理由见解析 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义． （1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，在被切直线同一侧， 而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案； （2）根据图形中和的位置关系，可知和不在一条直线的两侧，即可判断答案； （3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到再根据平行线的性质，即可得到答案． 【详解】（1）∵与两个角都在两直线的中间， 截线的两侧， ∴与是内错角， ∵与两个角都在两直线的中间， 截线的同旁， ∴与是同旁内角， ∵与两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置， ∴与是同位角． 故答案为：与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 （2）∵内错角必须在两条被截直线之间， ∴与不是内错角． 故答案为：与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 （3）理由: ∵，而， ， ∵和互补，， ∴和也互补． 故答案为：，和互补 题型六　添加一条件使两条直线平行 例题：（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 【详解】解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：(答案不唯一)· 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【答案】 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行解答（答案不唯一）． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为或或或．（答案不唯一） 2．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·结论开放性试题  如图，已知，请你添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断，你添加的条件是 ． 【答案】平分（答案不唯一） 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据内错角相等，两直线平行，当时， ，由于，易得要平分． 【详解】解∶当时，， ， 所以需平分， 即添加的条件是平分， 故答案为：平分（答案不唯一）． 题型七　平行线的判定 例题：（24-25八年级上·吉林·开学考试）把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（        ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 【答案】垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，对顶角相等，由，得，从而有，通过等量代换求出即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， 又∵（已知）， ∴， ∴（对顶角相等）． 又∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【详解】解：∵（已知）， （邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 2．（23-24七年级下·河南安阳·期中）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ） ∵平分（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） ∵（已知）， ∴_________（    ） ∴（    ） 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义） ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义） ∴（等量代换） ∵（已知）， ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行） 3．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）根据可得，则，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角相等，两直线平行． 4．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接相交于点O，，平分，． (1)试说明； (2)与的位置关系如何？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义： （1）根据平角的定义和已知条件证明，即可证明； （2）由角平分线的定义和已知条件证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型八　根据平行线的性质与判定综合问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 【答案】，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键； 根据平行线性质推出，根据平行线判定推出，根据平行线判定推出，求出即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等） 又， ， （内错角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同旁内角互补） ， ； 故答案为：，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 巩固训练 1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解 【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得到，可求得，即可判定； （2）结合（1）可得，，从而可求的度数． 本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ． 由（1）可得：，， ，， ． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，再结合得出，即可得证； （2）由平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，推出，即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ∴； （2）解：， 平分，平分 ， ， ， ． 题型九　平行线的性质在生活中的应用 例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 【答案】/122度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出，再由两直线平行同旁内角互补即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵水中的两条光线平行，， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ∴， ∵， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 【答案】150 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．过点B作，可得，进而得到，由即可得出答案． 【详解】解：过点B作，如图， ∵平行地面， ∴， ∵， ∴ ∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：150． 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是 ，的度数为 ． 【答案】 /36度 /72度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$