第七章 概念、命题与证明（单元复习 5大压轴+3大拐点）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（北京版2024）

第七章 概念、命题与证明 01 思维导图 目录 【压轴题型】 1 题型一　由平行线的判定与性质进行计算 1 题型二　由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 4 题型三　由平行线的判定与性质确定角度定值问题 12 题型四　由平行线的判定与性质解决三角尺问题 18 题型五　由平行线的判定与性质解决旋转问题 23 【拐点题型】 27 题型一　平行线中含一个拐点问题 27 题型二　平行线中含两个拐点问题 33 题型三　平行线中含多个拐点问题 40 【压轴题型】02 压轴题型 题型一　由平行线的判定与性质进行计算 例题：（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线分别与直线相交，，． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，则______． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 题型二　由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合）、，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (4)当点运动到使时，的度数是多少？为什么？ 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． (1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． (2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． (3)若，的平分线交于点Q，且，则______． 题型三　由平行线的判定与性质确定角度定值问题 例题：（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且． (1)______°（用含t的式子表示）； (2)当时，求的度数； (3)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 题型四　由平行线的判定与性质解决三角尺问题 例题：（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．    (1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______； (2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数； (3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数． 巩固训练 1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 题型五　由平行线的判定与性质解决旋转问题 例题：（23-24七年级下·河南许昌·期末）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）将一副三角板如图放置（其中，且），在保持不动的前提下，绕点A旋转，当时，的度数为 ． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 【拐点题型】03 拐点题型 题型一　平行线中含一个拐点问题 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为 °． 巩固训练 1.（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 3.（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 题型二　平行线中含两个拐点问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 巩固训练 1.①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____． 2.（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 3.（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 题型三　平行线中含多个拐点问题 例题：（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    巩固训练 1.（2024七年级下·全国·专题练习）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ． 2.（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 概念、命题与证明 01 思维导图 目录 【压轴题型】 1 题型一　由平行线的判定与性质进行计算 1 题型二　由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 4 题型三　由平行线的判定与性质确定角度定值问题 12 题型四　由平行线的判定与性质解决三角尺问题 18 题型五　由平行线的判定与性质解决旋转问题 23 【拐点题型】 27 题型一　平行线中含一个拐点问题 27 题型二　平行线中含两个拐点问题 33 题型三　平行线中含多个拐点问题 40 【压轴题型】02 压轴题型 题型一　由平行线的判定与性质进行计算 例题：（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线分别与直线相交，，． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，则______． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法及平行线的性质得到角的关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等，得到，结合平行线的判定方法进行说明即可； （2）根据平行性的性质，即可求解． 【详解】（1）解：直线与平行； 如图所示 ， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同旁内角互补两直线平行、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】（1）解：证明：， ， ． （2）， ． 又， ， ， ． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得出，再由平行线的性质得出，进而求出的度数； （2）根据，得出，得，再由，得出，由此可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴． 即． （2）证明：∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型二　由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②或或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，再过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，，从而可得，然后根据求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，（Ⅱ）当点在直线之间，且和均为钝角时，（Ⅲ）当点在直线之间，且和均为锐角时，（Ⅳ）当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 综上，的度数为或或． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合）、，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (4)当点运动到使时，的度数是多少？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)不变，，理由见解析 (4)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得； （3）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得； （4）先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ， 所以的度数为． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． （3）解：不变，，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （4）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． (1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． (2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． (3)若，的平分线交于点Q，且，则______． 【答案】(1)，证明见详解 (2) (3)或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行性的性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识． （1）作，证明，即可得到，，根据等量代换即可证明； （2）作，证明，即可得到，，从而证明； （3）分点P在线段左侧和点P在线段右侧两种情况，分别画出图形，结合（1）、（2）结论，根据角平分线的定义进行角的代换即可求解． 【详解】（1）解：如图①，作，             图① ∵ ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图②，作，              图② ∵ ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （3）解：如图③，当点P在线段左侧时，            图③ 由（2）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 如图④，当点P在线段右侧时，                图④ 由（1）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 故答案为：或． 题型三　由平行线的判定与性质确定角度定值问题 例题：（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，为定值，此时定值为． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可得： ，，， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴，， ∴； ②，定值为，理由如下： 当时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且． (1)______°（用含t的式子表示）； (2)当时，求的度数； (3)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值； 【知识点】实际问题中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、求一个角的补角 【分析】本题主要考查平行线的性质和余补角和， （1）根据题意得，则， （2）过点C作，则，当时，，则，利用角度和差有即可； （3）设A灯转动时间为t秒，则，，根据平行线的性质得，结合垂直得，则有即可． 【详解】（1）解：根据题意得，则， 故答案为：； （2）解：过点C作，如图， 则， 当时， ∴， ∵， ∴； （3）解：设A灯转动时间为t秒，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即的比值是一个定值，这个定值为． 题型四　由平行线的判定与性质解决三角尺问题 例题：（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．    (1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______； (2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数； (3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算； （1）先求解，，即可得结论； （2）由平行线的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； （3）如图，当点在直线的上方时，证明，如图，当点在直线的下方时，证明，再进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，当点在直线的上方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在直线的下方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上：为或. 巩固训练 1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)3秒 (2)当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； (3)15或24或27或33 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是3秒； （2）解：当旋转至的内部时， 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 综上，当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； （3）解：分四种情况： ①当时，如图，， ； ②当时，如图，则， ， ； ③当时，如图，则，此时，， ， ； ④当时，如图，则， ， ； 综上，的值是15秒或24秒或27秒或33秒． 故答案为：15或24或27或33． 题型五　由平行线的判定与性质解决旋转问题 例题：（23-24七年级下·河南许昌·期末）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为 ． 【答案】12或48或84 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握一元一次方程，注意分类讨论是解题的关键． 分情况讨论： ①，在直线l上方，得； ②在直线l下方，直线l上方，得； ③，都在直线l下方，得； ④，在直线l上方和下方，得，分别解方程即可． 【详解】解：分情况讨论： ①当，在直线l上方时，如图： 当时，则， ， ； ②当在直线l下方，直线l上方时，如图： 当时，则， ， ； ③当，都在直线l下方时，如图： 当时，则， ， ； ④当在直线l上方，直线l下方时，如图： 当时，则， ， （舍去）， 为12或48或84， 故答案为：12或48或84． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）将一副三角板如图放置（其中，且），在保持不动的前提下，绕点A旋转，当时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算；分两种情况：当在点A和之间时，延长交于点F；当在点A上方时，延长交于点F， 利用平行线的性质即可求解． 【详解】当在点A和之间时， 延长交于点F， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 延长交于点F， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 故答案为：或． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 【答案】3或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，正确计算相应的旋转角度数是解题的关键； 分旋转小于时和大于两种情况，根据平行线的性质表示出数据，列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转的时间为秒， 当旋转小于时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ∵按每秒的速度顺时针旋转，以每秒的速度顺时针旋转， ∴，， ∴， 解得：； 当旋转大于回转时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ，， 解得：； 综上所述：旋转时间为3秒或秒， 故答案为：3或． 【拐点题型】03 拐点题型 题型一　平行线中含一个拐点问题 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为 °． 【答案】40 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点C作，则，由，，得到，从而，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：过点C作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 巩固训练 1.（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解:①过点P作， ， ， ， ， ； ②过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 3.（23-24七年级下·全国·期末）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 题型二　平行线中含两个拐点问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，作，可得；进而得，，；结合可推出 ，即可求解． 【详解】解：作，，如图所示： ∵， ∴ ∴，，， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴ 由①得： ∴ ∵比大， ∴, 解得：， 故答案为：． 巩固训练 1.①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____． 【答案】②③④ 【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC； ④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC． 【详解】解：①如图1，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°， ∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误； ②如图2，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF， ∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G， ∵ABEF， ∴ABEFCD， ∴∠DCF=∠EFC， 由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC， 又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC， ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC， ∴，故③正确； ④如图4，过点P作PFAB， ∵ABCD， ∴ABPFCD， ∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF， ∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2.（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过P作，利用平行线的判定与性质证明即可； （2）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质即可求解； （3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过P作，如图，      ∴， ∵（已知）， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：；    （3）过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键． 3.（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.      (1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（    ）内填写依据. 证明：过点P作直线， （已作）， （______）， 又，（已知） ______，（______） ， ______. (2)如图2，若的平分线与的平分线交于点. ①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由； ②【结论运用】若，求的度数. (3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______. 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行； (2)①，理由见解析；② (3) 【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案； （2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案； （3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作直线， （已作）， （两直线平行，内错角相等） 又，（已知）， ，（平行于同一直线的两直线平行）， ， ； （2）解：①. 理由：如图1，分别过点P，Q作，. 的平分线与的平分线交于点， ，. . 同（1）可证得， ②，， . 又，    （3）过点P、H作， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：    【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键． 题型三　平行线中含多个拐点问题 例题：（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．    【答案】/32度 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是根据题意，过点，，作，，，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，，，；根据角平分线的性质，则，推出，则，根据平行线的性质，等量代换，则，即可． 【详解】过点，，作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和分别是，的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴．    巩固训练 1.（2024七年级下·全国·专题练习）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则： ①； ②； ③若，则； ④若，则； 以上说法正确的是 ． 【答案】①②④ 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，辅助线的应用是解题关键．由平行线的性质可判断①正确，同样根据平行线的性质可判断②正确，根据平行的性质已知可求出的度数不等于，故③不正确，根据和的关系及，可判断④正确． 【详解】解：如图，作， ， ， ，， ，即，故①正确； 如图，作， ， ， ，， ， 即，故②正确； 若，则， 平分，平分， ， ，故③不正确； 同理可证：， 若， 则， ，， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 2.（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】解：过作， ， ， ， ， 和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； ； 以此类推，， 当∠度时，等于． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$