第二十一章 一次函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（冀教版）

第二十一章 一次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．一次函数的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 3．一次函数图象与y轴交点是（    ） A． B． C． D． 4．一次函数的图象不经过第（  　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 5．下列说法正确的是（   ） A．函数的图象是过原点的射线 B．直线经过第一、二、三象限 C．函数，与y轴交于 D．函数，y随x增大而减小 6．已知一次函数，若随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 7．一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 8．将正比例函数的图像向上平移1个单位长度后得到一个新图像，则新图像所表示的函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 9．关于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与y轴交于点 D．当时， 10．已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 11．如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限 C．， D．当时， 12．如图，直线与直线相交于点，关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 13．已知一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（   ） A．B．C．D． 14．小华在画一次函数的图象时列出了如下表格： x … 0 1 2 y … 4 1 … 小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（   ） A．1 B． C． D． 15．直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 16．关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位长度后得到直线，则，； ③若点和均在该函数图象上，则； ④若该函数的图象与直线关于轴对称，则，． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．已知点在一次函数的图像上，则代数式的值为 ． 18．已知，边上的高为3，若边上的高增加x，则此新三角形的面积S关于x的函数表达式为 ，它是 函数． 19．定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．如图，已知点A的坐标为、点B的坐标为． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在直线上有一点P，满足点P到x轴的距离等于2，求点P的坐标． 21．已知在平面直角坐标系内，有两点，． (1)写出点P到x轴、y轴的距离； (2)求出直线的解析式； (3)试判断点是否在此直线上？ 22．已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)填空：______，______； (2)求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式； (3)在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案． 23．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点为轴负半轴上一点，且． (1)求直线的表达式； (2)直线（为常数，且）交直线于点，交直线于点，当时，求此时点的坐标． 24．某单位在创建“国家级卫生城市”期间，准备购买、两种新型的垃圾箱，通过市场调研发现：购买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需1700元；购买3个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需2700元． (1)求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？ (2)该单位现需要购买、两种型号的垃圾箱共30个，其中购买型垃圾箱不超过16个． ①求购买垃圾箱的总花费（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式； ②当购买型垃圾箱个数为多少时总费用最少，最少费用是多少？ 25．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． (1)若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． (2)连接，若，当最小时，求点的坐标． 26．如图，在矩形中，，是的中点，点沿着折线（从点开始运动到点结束）运动，当点的运动路程为时，记． (1)直接写出与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在直角坐标系内画出的图象，并写出此函数的一条性质； (3)当时，结合函数图象直接写出的取值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一次函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．一次函数的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数性质，将选项各点代入一次函数求解判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项A不符合题意； B、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项B不符合题意； C、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项C不符合题意； D、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项D符合题意； 故选：D． 2．下列函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A．自变量x的次数为，不是一次函数，不符合题意； B．是一次函数，符合题意； C． 不是一次函数，不符合题意； D．当时，（k、b是常数）是常数函数，不符合题意． 故选：B． 3．一次函数图象与y轴交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点．熟练掌握一次函数与轴的交点是解题的关键． 当时，，进而可求交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴一次函数图象与y轴交点是， 故选：D． 4．一次函数的图象不经过第（  　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．根据一次函数，当时，时，图象位于第一、二、三象限；当时，时，图象位于第一、三、四象限；当时，时，图象位于第二、三、四；当时，时，图象位于第一、二、四象限；当时，图象经过原点解答即可，这也是解题关键． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴，， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选B． 5．下列说法正确的是（   ） A．函数的图象是过原点的射线 B．直线经过第一、二、三象限 C．函数，与y轴交于 D．函数，y随x增大而减小 【答案】C 【知识点】正比例函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数和正比函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和正比函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数和正比函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、函数的图象是过原点的直线，故本选项错误，不符合题意； B、因为函数中，，所以直线经过第一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； C、令函数中，则，所以函数与y轴相交于点，故本选项正确，符合题意； D、因为函数中，，所以y随x增大而增大，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 6．已知一次函数，若随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据增减性可得，再确定答案即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴可以是， 故选：A 7．一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则点的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，将各点代入解析式，得出的选项，即可求解． 【详解】解：A.将代入，得，解得：， ∴的值随值的增大而增大，故该选项符合题意； B. 将代入，得，解得：， ∴的值随值的增大而减小，故该选项不符合题意；     C. 将代入，得，解得：， ∴的值随值的增大而减小，故该选项不符合题意；     D. 将代入，得，解得：， ∴的值随值的增大而减小，故该选项不符合题意； 故选：A． 8．将正比例函数的图像向上平移1个单位长度后得到一个新图像，则新图像所表示的函数的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图像向上平移1个单位长度， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得一次函数是， 故选：A． 9．关于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与y轴交于点 D．当时， 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的性质成为解题的关键． 根据一次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以函数值y随自变量x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； B、因为，，所以图象经过第一、三、四象限，故本选项正确，不符合题意； C、当时，，所以图象与y轴交于点，故本选项正确，不符合题意； D、当时，，所以当时，，故本选项错误，不符合题． 故选：D． 10．已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：， 随x的增大而减小， ， ， 故选：A 11．如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限 C．， D．当时， 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点坐标问题，根据一次函数的图象：从左往右逐渐下降，与y轴交于正半轴，再逐项判断即可得，能正确的识图是解本题的关键． 【详解】解：A、由图象可得：y随x增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、图象不经过第三象限，原说法错误，不符合题意； C、由图象可得y随x增大而减小，所以，函数图象与y轴的交点的纵坐标为b，则，原说法正确，符合题意； D、由图象可得，当时，，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 12．如图，直线与直线相交于点，关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，首先利用待定系数法求出a的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴， ∴关于x，y的方程组的解是为， 故选：D． 13．已知一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的性质．，图象过第一，三象限；，图象过第二，四象限．，图象与轴正半轴相交；，图象过原点；，图象与轴负半轴相交．利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：一次函数，随着的增大而减小， ， 又， ， 此一次函数图象过第一，二，四象限． 故选：C． 14．小华在画一次函数的图象时列出了如下表格： x … 0 1 2 y … 4 1 … 小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论． 【详解】解：设该一次函数的解析式为（）， 将，代入得，， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 当时，； 当时，； 当时，． 故选：B． 15．直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象与对称问题 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题．根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则， 解得：， 点的坐标为． 故选：D． 16．关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位长度后得到直线，则，； ③若点和均在该函数图象上，则； ④若该函数的图象与直线关于轴对称，则，． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，平移的性质，对称的性质；由及一次函数的增减性质即可判断①；由一次函数平移的性质知，，从而可确定a与b的值，进而可判定②；把两点坐标代入函数式中，消去m即可得a与b的关系，进而可判定③；由对称知，是两对称直线的公共点，则可求得b；再在直线上取点，其对称点在上，则可求得a的值，从而可判定④，最后可确定正确选项． 【详解】解：当时，则，y的值随着x值的增大而增大，故①正确； 将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则， ∴，故②错误； 若点和均在该函数图象上，则有， 两式相减消去m，并整理得：，故③错误； 若该函数的图象与直线关于y轴对称，显然是两对称直线的公共点，则；在直线上取点，则它关于y轴的对称点在直线上，即，∴，故，，即④正确； ∴正确的有①④； 故选：C． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．已知点在一次函数的图像上，则代数式的值为 ． 【答案】3 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．先把点代入一次函数，求出，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：点在一次函数的图像上， ，即， 故答案为：3． 18．已知，边上的高为3，若边上的高增加x，则此新三角形的面积S关于x的函数表达式为 ，它是 函数． 【答案】 一次 【知识点】求一次函数解析式、列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查的是列一次函数关系式，根据面积公式可得，再结合一次函数的定义可得答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． 19．定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，本题综合性强，有一定难度． （1）根据题意得出，消去t即可得到； （2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出． 【详解】（1）∵是“好点”， ∴， 消去t得到， 故答案为：； （2）∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得：， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．如图，已知点A的坐标为、点B的坐标为． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在直线上有一点P，满足点P到x轴的距离等于2，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为或． 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）先求出点P的纵坐标，再将其代入（1）中所求函数解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：令直线所对应的函数表达式为， 则， 解得， 所以直线所对应的函数表达式为； （2）解：因为点P到x轴的距离等于2， 所以． 将代入得，， 解得， 则点P坐标为； 将代入得，， 解得， 则点P坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 21．已知在平面直角坐标系内，有两点，． (1)写出点P到x轴、y轴的距离； (2)求出直线的解析式； (3)试判断点是否在此直线上？ 【答案】(1)点P到x轴的距离为2；点P到y轴的距离为3 (2) (3)当时，点在此直线上；当时，点不在此直线上 【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征： （1）根据点的坐标的意义求解； （2）利用待定系数法求直线的解析式； （3）计算自变量为时，函数值为，于是可判断当时，点B在此直线上，否则不在． 【详解】（1）解：∵P点坐标为， ∴点P到x轴的距离为2， 点P到y轴的距离为3； （2）解：设直线的解析式为， 把、分别代入得， 解得， ∴直线AP的解析式为； （3）解：当时，， 若，解得， ∴当时，点在此直线上；当时，点不在此直线上． 22．已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)填空：______，______； (2)求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式； (3)在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案． 【答案】(1)2，6 (2) (3)在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，速度、时间和路程的关系及待定系数法求一次函数的关系式． （1）根据两车相遇时，甲行驶的路程甲的速度列式计算出相遇的时间，即m的值，再由计算出n的值即可； （2）由直线经过和，利用待定系数法解答即可； （3）分别求出两车相遇前甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式及乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式；根据x不同的取值范围，当两车相距分别列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 故答案为：2，6； （2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）， 由题意得经过和， ∴， 解得， ∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为； （3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为， 乙车的速度为， ∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为， 当时，两车相距时，得， 解得， 当，两车相距时，得， 解得． 答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距． 23．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点为轴负半轴上一点，且． (1)求直线的表达式； (2)直线（为常数，且）交直线于点，交直线于点，当时，求此时点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)点的坐标为或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】（）先通过求出点、的坐标分别为、， 再由，从而求出点， 最后利用待定系数法求解析式即可； （）分当点位于轴的右侧时和当点位于轴的左侧时两种情况分析即可； 本题考查了一次函数的性质，一次函数与面积问题，熟练掌握一次函数性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由，令，解得，令，则， ∴点、的坐标分别为、， ∴，则， 解得， ∴点， 设直线的表达式为， ，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：设点的坐标为， 当点位于轴的右侧时，， 解得，此时， 将代入直线得， ， 解得：， 所以直线的表达式为， ∴，得， ∴； 当点位于轴的左侧时，， 解得，此时， 将代入直线得， ， 解得：， 所以直线的表达式为， 解，得， ∴， 综上：点的坐标为或． 24．某单位在创建“国家级卫生城市”期间，准备购买、两种新型的垃圾箱，通过市场调研发现：购买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需1700元；购买3个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需2700元． (1)求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？ (2)该单位现需要购买、两种型号的垃圾箱共30个，其中购买型垃圾箱不超过16个． ①求购买垃圾箱的总花费（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式； ②当购买型垃圾箱个数为多少时总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个型垃圾箱500元，每个型垃圾箱600元 (2)①（，且为整数）；②当购买型垃圾箱个数为16个时，总费用最少，最少费用是16400元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得； （2）①先求出购买型垃圾箱个，再根据总花费等于两种垃圾箱的费用之和建立函数关系式，然后根据购买型垃圾箱不超过16个求出的取值范围，由此即可得； ②利用一次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得：， 解得， 答：每个型垃圾箱500元，每个型垃圾箱600元． （2）解：①∵购买、两种型号的垃圾箱共30个，购买型垃圾箱个， ∴购买型垃圾箱个， 则， ∵购买型垃圾箱不超过16个， ∴， ∴与之间的函数关系式为（，且为整数）． ②由（2）①可知，（，且为整数）， ∵， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为， 答：当购买型垃圾箱个数为16个时，总费用最少，最少费用是16400元． 25．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． (1)若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． (2)连接，若，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1)①；②或或 (2) 【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合 【分析】（1）①分别令，求得，，勾股定理求得，进而根据，即可求解； ②设，则，则，勾股定理建立方程得出，进而分类讨论，即可求解； （2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，证明得出，进而可得当在上时，取得最小值；设，根据勾股定理求得，进而求得的解析式为，设，则，，根据得出，则，再求得的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ②如图所示，过点作轴于点， 设，则，则， 在中，， ∴ ， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设，则，， ∵是等腰三角形， 当时，则， 当时，则， 解得：（舍去）或 ， 当时，则， 解得：， ∴或或； （2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点， ∵，， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，取得最小值； 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 设的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设，则，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当最小时，点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短；熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．如图，在矩形中，，是的中点，点沿着折线（从点开始运动到点结束）运动，当点的运动路程为时，记． (1)直接写出与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在直角坐标系内画出的图象，并写出此函数的一条性质； (3)当时，结合函数图象直接写出的取值． 【答案】(1) (2)画图见解析，性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、利用图象法解一元一次方程、画一次函数图象、求一次函数解析式 【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，再分三种情况：，，，分别画出图形解答即可求解； （）根据（）所得函数解析式求出线段端点的坐标，进而由两点法画出函数图象即可； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，画一次函数图象，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，，， ∵是的中点， ∴， 当时，如图， ∵， ∴ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴ ； 综上，； （2）解：在中，当时，；当时，； 在中，当时，； 在中，当时，； 画函数图象如下： 由图象可得，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：由函数图象可得，当时，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$