第二十一章 一次函数（单元复习 8个知识点+13类题型突破）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（冀教版）

第二十一章 一次函数 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 一次函数的定义 1.正比例函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 2.一次函数的概念： 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 知识点02 一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 知识点03 用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 知识点04 一次函数的图象与方程 1.一次函数与一元一次方程： x为何值时函数y= ax+b的值为0． 从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解， 从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标 2.一次函数与二元一次方程： 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 03 题型归纳 题型一　正比例函数的识别 例题：（24-25八年级上·福建宁德·期中）下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义 【分析】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数． 根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，y不是x的正比例函数，故A不符合题意； B、，y不是x的正比例函数，故B不符合题意； C、，y是x的正比例函数，故C符合题意； D、，y不是x的正比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据形如的函数是正比例函数直接逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 是正比例函数，不是正比例函数，是一次函数，不是函数，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 2．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的识别，根据形如的是正比例函数，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 是正比例函数，故该选项正确，符合题意；     B. 不是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     C. 不是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     D. 不是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键； 根据正比例函数的定义：形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】A． ，是正比例函数，故该选项符合题意； B． ，不符合正比例函数特征，故该选项不符合题意； C． ，不符合正比例函数特征，故该选项不符合题意； D．，y不是x的函数，故该选项不符合题意． 故选：A． 题型二　一次函数的识别 例题：（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（k、b为常数，）的函数叫做一次函数，由此判断即可． 【详解】解：①当，才是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数； 故是一次函数的有②④，共2个． 故选：B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）下列关于的函数是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义，根据形如的函数叫做一次函数进行逐项判断即可． 【详解】解：A、函数不是一次函数，该选项不符合题意； B、函数不是一次函数，该选项不符合题意； C、函数是一次函数，该选项符合题意； D、函数不是一次函数，该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）下列选项不是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】识别一次函数 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题的关键．一般地，形如的函数叫做一次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．，不是一次函数，故A符合题意； B．，是一次函数，故B不符合题意； C．，是一次函数，故C不符合题意； D．，是一次函数，故D不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）在①，②，③，④，⑤中，一次函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义“形如（为常数，且）的函数称y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量”判断即可，熟练掌握一次函数的定义是解决此题的关键． 【详解】解：根据一次函数的定义，①，③，⑤中均是一次函数， ∴一次函数有3个，分别是①③⑤， 故选：C． 题型三　正比例函数的图象和性质 例题：（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 巩固训练 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（   ） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【知识点】正比例函数的性质 【分析】此题主要考查了正比例函数的性质，分别应用正比例函数的性质分析即可选择． 【详解】解：A．当时，，所以点在这个图象上，故A选项不符合题意； B．由知，函数值y随自变量x的增大而增大，故B选项符合题意； C．正比例函数图象都经过原点，故C选项不符合题意； D．由知，图象经过一、三象限，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）下列关于直线的说法不正确的是（   ） A．一定经过点 B．图象必过原点 C．y随x的增大而减小 D．图象过二、四象限 【答案】A 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，故图象经过点，选项A不正确，符合题意； 当时，，故图象必过原点，选项B正确，不符合题意； ∵， ∴图象过二，四象限，随的增大而减小，选项CD正确，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）对于函数（k是常数，）的图象，下列说法不正确的是（    ） A．是一条直线 B．过点 C．y随x的增大而增大 D．经过一、三象限或二、四象限 【答案】D 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数（）的图象是直线，当，经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，经过第二、四象限，y随x的增大而减小．根据正比例函数的性质求解． 【详解】解：对于函数（k是常数，）的图象， A、是一条直线，说法正确，故本选项不合题意； B、∵当时，， ∴直线经过点，故本选项不合题意； C、∵， ∴y随x的增大而增大，故本选项不合题意； D、∵， ∴直线经过第一、三象限，不经过二、四象限，故本选项符合题意． 故选：D． 题型四　一次函数的图象和性质 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限 C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断． 【详解】解：A、∵，∴函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，是真命题，不符合题意； B、∵，，∴函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，是真命题，不符合题意； C、函数的图象向左平移2个单位后得，不经过原点，故C结论不正确，是假命题，符合题意； D、当时，，则函数图象与y轴交于点，故D结论正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知一次函数，则下列描述正确的是（   ） A．图象是经过原点的直线 B．图象经过点 C．图象与x轴的交点坐标为 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数与坐标轴的交点． 根据一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴图象经过一、三、四象限，不经过原点，故本选项不符合题意； B．当时，，则图象经过点，故本选项不符合题意； C．当时，，解得， ∴图象与x轴的交点坐标为，故本选项符合题意； D．∴，， ∴图象经过一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南·期末）下列关于直线的说法不正确的是（    ） A．一定经过点 B．与轴交于点 C．随的增大而增大 D．图像过一，三，四象限 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，理解并掌握一次函数的图像与性质是解题关键．对于直线，当，可得，易知直线一定经过点，即可判断选项A； 当，可得，，可知该直线与轴交于点，即可判断选项B；因为，易知随的增大而增大，即可判断选项C；结合，，可知该函数图像过一，三，四象限，即可判断选项D． 【详解】解：A. 对于直线，当，可得，即该直线一定经过点，本选项正确，不符合题意； B. 对于直线，当，可得，，即该直线与轴交于点，本选项不正确，符合题意； C. 对于直线，因为，所以随的增大而增大，本选项正确，不符合题意； D. 因为，，所以该函数图像过一，三，四象限，本选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，下列关于函数的描述正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第三象限 C．必过定点 D．与轴的交点坐标为 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据函数的图象经过第二、三、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：因为函数的图象经过第二、三、四象限， 所以， 所以函数，随的增大而减小，图象不经过第一象限，必过定点，与轴的交点坐标为， 故选项C符合题意． 故选：C 4.（23-24八年级下·辽宁营口·期末）一次函数（k、b为常数，且）的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A．y随x的增大而增大 B．当时，y的值为6 C．图象不经过第三象限 D．图象与x轴的交点在x轴负半轴上 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，先利用待定系数法求出函数解析式为，据此可得y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，再求出当时，y的值，当，x的值即可得到答案． 【详解】解：把，代入中得： ， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴y随x的增大而减小，一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，C说法正确； 当时，，故B说法错误； 当，， ∴图象与x轴的交点坐标为， ∴图象与x轴的交点在x轴负正轴上，故D说法错误， 故选：C． 题型五　根据一次函数解析式判断其经过的象限 例题：（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据，直线经过一，三，四象限，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴直线经过一，三，四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 巩固训练 1．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）在平面直角坐标系中，直线不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定不经过的象限即可． 【详解】解：， 直线经过第一、三、四象限， 直线不经过第二象限， 故答案为：二． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的性质，先一次函数的图象过第一，三，四象限得到，然后根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一，三，四象限， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键，据此求解即可． 【详解】解；∵直线经过第二、三、四象限， ∴， ∴， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 题型六　已知一次函数经过的象限求参数的范围 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知：一次函数中，该函数的图象不过第四象限，则的范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）函数的图像不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记的图象不经过第一象限是解题的关键．由函数的图像不经过第一象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围． 【详解】解：函数的图像不经过第一象限， 解得：， 的取值范围是． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）直线不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的性质得，解此不等式组，即可求解；掌握“当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限．”是解题的关键． 【详解】解： ， 不经过第一象限， ， 解得：， 故答案：． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在二、四象限；的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 分两种情况考虑，当一次函数的图象经过第二、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k值；当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：分两种情况考虑： 当一次函数的图象经过第二、四象限时，得 解得：； 当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，得 ， 解得：． ∴k的取值范围是． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数（k为常数，）的图象经过点，但不经过第三象限，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据图象经过点得到，再根据不经过第三象限即可得到． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，）的图象经过点， ∴， 解得， ∵不经过第三象限， ∴ ∴， 故答案为： 题型七　一次函数图象与坐标轴的交点问题 例题：（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知关于的一次函数与． （1）当时，这两个函数图象的交点坐标是 ； （2）若这两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则 ． 【答案】 或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，，则，求出两直线的交点坐标，即可； （2）根据题意分别求出一次函数与轴交点为：，与轴交点为：，再根据两个函数，求出交点坐标，最后根据两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则，解出，即可． 【详解】解：（1）当时，， ∴， 解得：， ∴， 这两个函数图象的交点坐标为：； （2）一次函数与轴交点为：，与轴交点为：， ∵一次函数与相交， ∴， ， ∴， ∴， ∴一次函数与的交点坐标为， ∵两个函数图象与轴围成的三角形的面积是， ∴， 解得：或， 故答案为：（1）；（2）或． 巩固训练 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）直线在y轴上的截距是 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，代入求出与之对应的值，即可得解，熟练掌握截距的定义是解决此题的关键． 【详解】解：当时，， 直线的截距为， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如果直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图形与与坐标轴围城的三角形的面积，求出直线与坐标轴的交点，把求线段的长的问题转化为求函数的交点的问题．求出求出直线与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即为可求． 【详解】解：当时，， 当时， 两坐标轴围成的三角形的面积为：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，则的周长为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，掌握求解一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 先令求出x的值，令求出y的值，得出A、B两点的坐标，再分别求出、、的长，将它们相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，，则A的坐标， 当时，，则B的坐标， ∴，，， ∴的周长． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，设一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B．若在x轴上找一点P，使得为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或或或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形，正确分类讨论是解答的关键．先求出点A、B坐标，再根据等腰三角形的性质分情况求解即可． 【详解】解：当时，，当时，由得， ∴，， ∴，，则， ∵为等腰三角形，点P在x轴上， ∴当时，点P坐标为或，即或； 当时，∵，∴，则点P的坐标为； 当时，如图，点P在线段上，设，则， 在中，由得， 解得，即， ∴点P坐标为， 综上，满足条件的点P坐标为或或或． 题型八　利用一次函数的增减性比较函数值的大小 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知点，都在直线上，则、大小关系是 ． 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据已知函数的解析式得出y随x的增大而减小，再比较即可． 【详解】解：∵， ∴随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24八年级下·山东日照·期末）已知点，都在直线上，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了比较一次函数函数值的大小，正确判断出一次函数的增减性是解题的关键． 先根据一次函数解析式判断一次函数的增减性，据此即可解答． 【详解】解：∵直线中，， ∴对于，y随x增大而减小， ∵点，都在直线上，且， ∴． 故答案为：． 2.（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线 经过三点， 则的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性求参数，根据得出随的增大而增大，结合，即可作答． 【详解】解：∵ ∴随的增大而增大 ∵经过三点，且 ∴ 故答案为： 3.（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据的图象经第二、四象限，判断出，可知的图象中，y随x值的增大而减小，由此可解．解题的关键是根据经过的象限判断出k值的正负． 【详解】解：∵（）的图象经第二、四象限， ∴， ∴的图象中，y随x值的增大而减小， 若，则， ∴，， ∴． 反之，也成立，即， 故答案为：． 题型九　根据一次函数的增减性求参数 例题：（24-25九年级上·福建南平·期中）已知一次函数，随着的增大而增大，则的值可以是 ．（请写出一个符合题意的的值） 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】此题考查了一次函数的性质：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小． 根据一次函数的性质解答． 【详解】解：∵一次函数（为常数，），随的增大而增大， ， ∴（答案不唯一）， 故答案为：1． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一，） 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据，得到随着的增大而减小，进而得到，得到，进而作答即可． 【详解】解：∵点、点在一次函数的图象上，且， ∴， ∴， ∴的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一） 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据当时，有，可得，即可求解． 【详解】解：当时，有， 随的增大而减小， ， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 【答案】1或2 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得：， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1或2． 故答案为：1或2． 4．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为 【答案】6或/或6 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键．结合一次函数的性质，对m分类讨论，当时，一次函数y随x增大而增大，此时，；当时，一次函数y随x增大而减小，此时，；据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：当时，一次函数y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得， 当时，一次函数y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得，符合题意． 综上可知，m的值为6或． 故答案为：6或． 题型十　画一次函数的图象 例题：（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格： … 1 2 … … 4 3 3 0 … (1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】画一次函数图象、求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】（1）根据当时，或1，得到和有一个点不在该函数图象上，再根据待定系数法求出一次函数的解析式，求出当时x的值，即可得到答案； （2）根据描点法进行画图即可； （3）根据斜率相同，两直线平行，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，或1， ∴和有一个点不在该函数图象上，和在该函数图象上， 设一次函数的解析式为， 则， 解得：，， ∴一次函数的解析式为， 当时，，解得， ∴点不在该图象上， 故答案为：； （2）解：一次函数的图象如下所示， （3）解：∵当一次函数斜率相同时，两直线平行，一次函数的解析式为 ∴正比例函数的解析式为：． 【点睛】本题考查求一次函数的解析、描点法画一次函数的图象和一次函数图象的性质，解题的关键是求出一次函数的解析式． 巩固训练 1.（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数的图象不经过第四象限． (1)求的取值范围； (2)当时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的情况下，当时，根据图象求出的取值范围． 【答案】(1)的取值范围是 (2)图见详解 (3)的取值范围是 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知函数经过的象限求参数范围、画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意不等式组即可求解； （2）根据，求出一次函数解析式，然后画函数图像即可． （3）将和分别代入中，分别求出的值，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得， ∴的取值范围是． （2）解：当时，一次函数解析式为 即， 在图上画上该函数的图象如下： （3）解：将和分别代入中， 可分别得出和， ∴当时，的取值范围． 2.（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象如图： 令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． 3.（23-24八年级下·河北承德·期末）一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． (1)确定一次函数解析式，在坐标系中画出一次函数的图象； (2)结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； (3)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (4)这个函数的图象上有两个点：，，请比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)，图象见解析 (2)①；②． (3)， (4)，理由见解析 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，比较函数值大小，无理数的估算等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，根据两点法作直线即可得到一次函数的图象； （2）根据函数图象中的信息即可得到结论； （3）把点Q的坐标代入函数解析式，解方程即可得到a的值，即可得到点Q的坐标； （4）先由无理数估算得到，再根据一次函数的增减性得到答案即可 【详解】（1）∵一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． ∴一次函数经过点， ∴ 解得， ∴一次函数解析式为 根据题意可得直线与x轴和y轴的交点分别为和， 函数图像如图所示： （2）①当时，y的取值范围是； ②当时，x的取值范围是； 故答案为：①；②； （3）把点代入得到， ， 解得， ∴ ∴点Q的坐标是； （4），理由如下： ∵， ∴， ∵中， ， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴． 题型十一　一次函数的平移问题 例题：（24-25八年级上·上海·期末）将直线沿y轴向下平移2个单位，得到的直线解析式是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移特征解题：左加右减，上加下减即可解答． 【详解】解：将直线沿y轴向下平移2个单位，得到的直线解析式是，即． 故答案为： 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·期末）一次函数向上平移个单位后，经过点，则平移后的解析式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．利用“上加下减"的平移规律求解即可． 【详解】解：直线向上平移个单位后，则平移后直线解析式为， ∵平移后直线经过点 ∴， 解得：， ∴平移后直线解析式为． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·广西贺州·期末）把函数的图象向 平移 个单位，可以得到函数的图象． 【答案】 下 3 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象的几何变换，平移后相当于x不变y减少了3个单位，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得：x值不变y减少3个单位， ∴函数的图象应沿y轴向下平移3个单位得到函数的图象． 故答案为：下；3． 3．（24-25八年级上·陕西安康·期末）将直线向下平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的解析式为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，先根据平移的性质，得到直线的解析式为，再将点代入，得到，进而求出，即可得到直线l的解析式． 【详解】解：设直线向下平移m个单位后得到直线l， ∴直线l的解析式为， ∵直线l经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线l的解析式为． 故答案为：． 题型十二　求一次函数的表达式 例题：（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知，是一次函数图象上的两点． (1)若，两点的坐标分别是，，求这个一次函数的表达式； (2)若，两点的坐标分别是，，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题主要考查求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2），两点的坐标分别代入（1）中所求解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：将，代入，得 ， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：将，代入，得 ， 解得． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若这个图象还经过点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的值或函数值、求一次函数解析式 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）把点坐标代入（）所得函数解析式解答即可； 本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个正比例函数的表达式为， ∵正比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴正比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， ∴点的坐标是． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数的图像经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点也在这个函数的图像上，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】此题考查了一次函数图象上点的性质，求一次函数函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数图象上点的性质． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：∵点在函数的图像上， ∴， 解得． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数y的值； (3)求当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)时， (3) 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质． （1）设，根据点的坐标利用待定系数法求解即可； （2）将代入一次函数解析式，即可求解； （3）根据的值，可知随的增大而减小，分别求出和对应的的取值，即可求解． 【详解】（1）解：设，将点，代入得： ，解得， 函数解析式为； （2）解：将代入得，； （3）解：∵， ∴随的增大而减小， 将和代入得，， 解得，， ∴当时，， 自变量x的取值范围为． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（为常数，且）． (1)若此一次函数的图象经过，两点，求的值． (2)若，点在该一次函数图象上，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】不等式的性质、求一次函数解析式、根据一次函数的定义求参数 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把点代入函数解析式得，又由已知条件得，由即可求证； 本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入函数表达式得， ， 得，； （2）证明：∵点在该一次函数图象上， ∴ ③， ∵， ∴④， 得，． 5．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）已知一次函数（k，b是常数，且）． (1)若，此函数的图象过下列哪个点 ； A．   B．     C．     D． (2)若该函数的图象经过，两点， ①当时，求函数值y的取值范围． ②当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，则t的取值范围为 【答案】(1)D (2)①；② 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）把代入得，即可判断此函数的图象过点； （2）①先用待定系数法求出一次函数解析式，由，y随x的增大而减小，即可求解； ②根据①的结论，结合函数的值都大于函数的值，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：若，即当时，， ∴此函数的图象过点， 故答案为：D； （2）解：将，两点，代入得 ， 解得， 所以一次函数为， ①∵，，y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，， 即当时，y的取值范围为； ②当时，， ∵函数的值都大于函数的值， ∴， 解得， 故答案为：． 题型十三　一次函数与方程的关系 例题：（24-25八年级上·江苏南京·期末）若一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系，两直线的交点即是二元一次方程组的解．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可得． 【详解】解：∵两直线的交点， ∴关于、的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项正确，不符合题意； ∴不等式的解集为， 不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项正确，不符合题意； ∴不等式的解集是，故C选项正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项符合题意． 故选D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键．根据两条直线的交点坐标即可解题． 【详解】解：把代入得， ∴点P的坐标为， ∴方程组的解是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解决问题的关键．先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解． 【详解】解：将代入得，解得：， 所以A点坐标为， 所以方程组的解是， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接． (1)方程组的解是________； (2)求的面积； (3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)10 (3) 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据直线与直线的交点坐标即可得； （2）设直线与轴的交点为点，先利用待定系数法求出，再分别求出点的坐标，然后根据的面积等于求解即可得； （3）设直线与轴的交点为点，先求出点的坐标，从而可得，再根据的面积等于建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：方程组可转化为， 所以这个方程组的解为直线与直线的交点的横坐标、纵坐标， 即方程组的解是， 故答案为：． （2）解：如图，设直线与轴的交点为点， 将点代入得：，解得， ∴， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∴的面积为． （3）解：如图，设直线与轴的交点为点， 由（2）已得：， 当时，，解得，即， 设点的坐标为，则， ∵，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∵的面积与的面积相等，且的面积为10， ∴， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 所以点得坐标为． 5.（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据一次函数的图象与轴交于点，利用函数图象分析即可解题； （2）①利用待定系数法求得一次函数的解析式，再根据不等式的解集是，将代入中求解，即可得到点B的坐标； ②根据、以及点B的坐标，结合函数图象分析，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①一次函数的图象与轴交于点， ， 一次函数的图象与x轴交于点， ， 解得， ， 不等式的解集是， 当时，， 点B的坐标为； ②由图知，不等式组的解集是， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一次函数 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 一次函数的定义 1.正比例函数的概念： 一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。 2.一次函数的概念： 一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数. 当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例. 知识点02 一次函数的图象和性质 1.正比例函数的图象与性质： （1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。 (2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； 当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。 2.一次函数的图象与性质： 一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ] 概念 如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数 .当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数. 图像 一条直线 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 知识点03 用待定系数法求一次函数的表达式 1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定； 2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可. 知识点04 一次函数的图象与方程 1.一次函数与一元一次方程： x为何值时函数y= ax+b的值为0． 从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解， 从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标 2.一次函数与二元一次方程： 1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 03 题型归纳 题型一　正比例函数的识别 例题：（24-25八年级上·福建宁德·期中）下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 题型二　一次函数的识别 例题：（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）下列关于的函数是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）下列选项不是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）在①，②，③，④，⑤中，一次函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三　正比例函数的图象和性质 例题：（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 巩固训练 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（   ） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限 2．（24-25八年级上·重庆·期中）下列关于直线的说法不正确的是（   ） A．一定经过点 B．图象必过原点 C．y随x的增大而减小 D．图象过二、四象限 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）对于函数（k是常数，）的图象，下列说法不正确的是（    ） A．是一条直线 B．过点 C．y随x的增大而增大 D．经过一、三象限或二、四象限 题型四　一次函数的图象和性质 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限 C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点 巩固训练 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知一次函数，则下列描述正确的是（   ） A．图象是经过原点的直线 B．图象经过点 C．图象与x轴的交点坐标为 D．图象经过第二、三、四象限 2．（24-25八年级上·河南·期末）下列关于直线的说法不正确的是（    ） A．一定经过点 B．与轴交于点 C．随的增大而增大 D．图像过一，三，四象限 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，下列关于函数的描述正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．图象不经过第三象限 C．必过定点 D．与轴的交点坐标为 4.（23-24八年级下·辽宁营口·期末）一次函数（k、b为常数，且）的x与y的部分对应值如下表所示，则下列关于该一次函数的说法，正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … 4 1 … A．y随x的增大而增大 B．当时，y的值为6 C．图象不经过第三象限 D．图象与x轴的交点在x轴负半轴上 题型五　根据一次函数解析式判断其经过的象限 例题：（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第 象限． 巩固训练 1．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）在平面直角坐标系中，直线不经过第 象限． 2．（24-25八年级上·全国·期末）已知直线过第一，三，四象限，则直线不经过第 象限． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 题型六　已知一次函数经过的象限求参数的范围 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知：一次函数中，该函数的图象不过第四象限，则的范围是 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）函数的图像不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）直线不经过第一象限，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数（k为常数，）的图象经过点，但不经过第三象限，则k的值为 ． 题型七　一次函数图象与坐标轴的交点问题 例题：（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知关于的一次函数与． （1）当时，这两个函数图象的交点坐标是 ； （2）若这两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）直线在y轴上的截距是 2．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如果直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，则的周长为 ． 4．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，设一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B．若在x轴上找一点P，使得为等腰三角形，则点P的坐标为 ． 题型八　利用一次函数的增减性比较函数值的大小 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知点，都在直线上，则、大小关系是 ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·山东日照·期末）已知点，都在直线上，则 （填“”、“”或“”）． 2.（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线 经过三点， 则的大小关系是 ． 3.（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知正比例函数（）的图象经过第二、四象限，不同的两点均在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则 0．（填“”“”或“”） 题型九　根据一次函数的增减性求参数 例题：（24-25九年级上·福建南平·期中）已知一次函数，随着的增大而增大，则的值可以是 ．（请写出一个符合题意的的值） 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·北京·期中）若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 4．（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数（m为常数），当时，y有最大值6，则m的值为 题型十　画一次函数的图象 例题：（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在研究一次函数图象的性质时，小聪想通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象．下面是小聪列出的表格： … 1 2 … … 4 3 3 0 … (1)小聪在作图时发现表格中有一个点不在该函数图象上，这个点的坐标是______； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数图象； (3)写出一个正比例函数关系式，使得这个正比例函数图象与该一次函数图象平行． 巩固训练 1.（23-24八年级下·广东广州·期末）已知一次函数的图象不经过第四象限． (1)求的取值范围； (2)当时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的情况下，当时，根据图象求出的取值范围． 2.（23-24八年级下·福建厦门·期末）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 3.（23-24八年级下·河北承德·期末）一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． (1)确定一次函数解析式，在坐标系中画出一次函数的图象； (2)结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； (3)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (4)这个函数的图象上有两个点：，，请比较和的大小，并说明理由． 题型十一　一次函数的平移问题 例题：（24-25八年级上·上海·期末）将直线沿y轴向下平移2个单位，得到的直线解析式是 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·期末）一次函数向上平移个单位后，经过点，则平移后的解析式为 ． 2．（24-25八年级上·广西贺州·期末）把函数的图象向 平移 个单位，可以得到函数的图象． 3．（24-25八年级上·陕西安康·期末）将直线向下平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的解析式为 ． 题型十二　求一次函数的表达式 例题：（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）已知，是一次函数图象上的两点． (1)若，两点的坐标分别是，，求这个一次函数的表达式； (2)若，两点的坐标分别是，，求的值． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若这个图象还经过点，求点的坐标． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数的图像经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点也在这个函数的图像上，求的值． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数y的值； (3)求当时，自变量x的取值范围． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）已知一次函数（为常数，且）． (1)若此一次函数的图象经过，两点，求的值． (2)若，点在该一次函数图象上，求证：． 5．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）已知一次函数（k，b是常数，且）． (1)若，此函数的图象过下列哪个点 ； A．   B．     C．     D． (2)若该函数的图象经过，两点， ①当时，求函数值y的取值范围． ②当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，则t的取值范围为 题型十三　一次函数与方程的关系 例题：（24-25八年级上·江苏南京·期末）若一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式的解集是 D．方程组的解是 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，连接． (1)方程组的解是________； (2)求的面积； (3)若在轴上存在点（点与点不重合），使得的面积与的面积相等，请直接写出点的坐标． 5.（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，    (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$