第二十一章 一次函数（单元复习 4大易错+5大压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（冀教版）

第二十一章 一次函数 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用一次函数的定义求参数 1 易错题型二　根据一次函数的图象和性质求参数 3 易错题型三　含参数的一次函数的图象和性质 6 易错题型四　一次函数图象的共存问题 9 【压轴题型】 12 压轴题型一　利用一次函数的性质解决分配方案问题 12 压轴题型二　利用一函数的性质解决最大利润问题 17 压轴题型三　利用一次函数的性质解决行程问题 22 压轴题型四　利用一次函数的性质解决几何问题 26 压轴题型五　利用一次函数的性质解决折叠的综合问题 30 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用一次函数的定义求参数 例题：（24-25九年级上·全国·期末）是一次函数，则m的值是 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】此题考查了一次函数的定义，形如的函数叫做一次函数．据此进行解答即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴且 ， 解得：， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查正比例函数及一次函数的定义，根据正比例函数定义“形如的函数”及一次函数的定义“形如的函数”求解即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：已知函数， 若该函数为正比例函数，则，且， 解得，且， 当，则符合题意； 若该函数为一次函数，则， 即； 故答案为：，． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查的是一次函数的定义，熟记定义是解本题的关键．由定义可得，，从而可得答案． 【详解】解：函数是关于x的一次函数， 则，， 解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如（其中k、b是常数且）的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如果是一次函数，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】此题考查了一次函数的定义，形如的函数叫做一次函数．据此进行解答即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴ ， 解得：， 故答案为：. 易错题型二　根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 根据“，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限”解题即可． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为： ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广西百色·期末）已知一次函数，当 时，函数值随的增大而减小． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查的是一次函数的图象性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．先根据一次函数的性质得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：一次函数中，函数值随自变量的增大而减小， ， 解得． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数，且）的函数值y随自变量x的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】一 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此可得k的符号，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，且）的函数值y随自变量x的增大而减小， ∴， ∴一次函数图象经过第二、三、四，不经过第一象限， 故答案为：一． 3．（24-25八年级上·安徽·期末）已知一次函数．若当时，函数有最小值，则k的值为 ． 【答案】7或/或7 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得：； ∴k的值为7或． 故答案为：7或． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数（k为常数，），当时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为 ． 【答案】2或 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先求出和时，的值，再分两种情况：①和②，根据一次函数的性质建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：对于一次函数， 当时，， 当时，． ①当时，在内，随的增大而增大， ∴， ∵在内，有3个整数值， ∴， 解得，符合题设， ∴此时整数； ②当时，在内，随的增大而减小， ∴， ∵在内，有3个整数值， ∴， 解得，符合题设， ∴此时整数； 综上，符合条件的整数的值为2或， 故答案为：2或． 易错题型三　含参数的一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了求一次函数值、判断一次函数图像的增减性、比较函数值大小、判断一次函数图像经过的象限等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．将代入函数解析式并计算的值，即可判断选项A；结合，易得该一次函数图像的增减性，再进行比较即可判断选项B；根据该函数的的值，即可确定该函数图象经过的象限，即可判断选项C；计算当时的函数值，即可判断选项D． 【详解】解：A、对于函数，当时，，即图象与轴的交于点，故选项正确，不符合题意； B、对于函数，因为，所以随着的增大而减小，点、在图象上，且，则，故本选项正确，不符合题意； C、当时，则函数的图象经过第二、三、四象限，但是当时，则函数的图象经过第一、二、三象限，本选项错误，符合题意； D、 对于函数，当时，，即图象经过定点，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围、识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点，确定函数与系数之间的关系，进而求解． ①根据一次函数定义即可求解；②根据即可求解；③图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，即可求解；④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解 【详解】①时，，因自变量x前面的系数不为0，则函数为一次函数，故①正确； ②无论k取什么值，时，总有，故函数过，故②正确； ③图像不经过第一象限，即图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，解得：，故③错误； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故④正确． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【答案】D 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． A、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断； B、根据一次函数的性质即可判断； C、求得一次函数的图象过定点，再根据一次函数的图象不经过第四象限即可判断； D、由题意可知两直线平行，当时，则，当时，一定成立，解不等式即可求得的取值，即可判断． 【详解】解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 易错题型四　一次函数图象的共存问题 例题：（24-25八年级上·上海·期末）如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的图像，分和两种情况，讨论两个函数图像的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，直线经过第一、三、四象限，直线经过第一、三象限， 大致为： 当时，直线经过第一、二、三象限，直线经过第二、四象限，大致为： 综上，B选项符合题意． 故选：B 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知点所在的象限求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查判断一次函数经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，进一步得到，即可得出结果． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，四象限， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题主要考查了一次函数图像的识别，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据题目中各函数图像，分析函数解析式中一次项系数和常数项的正负情况，然后结合函数解析式分析判断即可． 【详解】解：A.由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； B. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意； C. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合题意； D. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数中：，随增大而增大；，随增大而减小；，函数图像与轴交于正半轴；，函数图像与轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、： ； ： ； 故此选项不符合题意； B、：；： ； 故此选项符合题意； C、：；： ； 故此选项不符合题意； D、：；： ； 故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知直线与直线中为常数且，则两条直线在同一平面直角坐标系中的大致位置合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查的是一次函数图像的性质，能够根据图像分析出的大小是解题的关键，根据一次函数的性质进行选择即可． 【详解】解：A.由的图像可知，由的图像可知，与矛盾，故不符合题意； B. 由的图像可知，由的图像可知，且与矛盾，故不符合题意； C. 由的图像可知，由的图像可知，且与矛盾，故不符合题意； D. 由的图像可知，由的图像可知，且，故符合题意； 故选：D． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　利用一次函数的性质解决分配方案问题 例题：（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）现从A村，B村向甲、乙两地运送蔬菜，A村，B村两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A村到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B村到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨．设A村往甲地运送蔬菜x吨． (1)设A村运费为元，请写出与的函数关系式，并说明x为何值时，最小？ (2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．并求出当时，怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【答案】(1)，当时，最小 (2)A村往甲地运送蔬菜1吨、往乙地运送蔬菜13吨，B村将14吨蔬菜全部运往甲地可使运费最少 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总运费等于从A村到甲地的总运费加上从A村到乙地的总运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可； （2）根据总运费等于两村的运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）根据题意，A村往乙地运送蔬菜吨， 则， ∵， ∴随x的减小而减小， ∵， ∴当时，最小． （2）根据题意，B村往甲地运送蔬菜吨，B村往乙地运送蔬菜吨， 则， ∵， ∴W随x的减小而减小， ∵， ∴当时，W的值最小， ∴A村往甲地运送蔬菜1吨、往乙地运送蔬菜13吨，B村将14吨蔬菜全部运往甲地可使运费最少． 巩固训练 1．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生级地震．一方有难，八方支援，某市一货车公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，该公司甲、乙两种车型的货车两次满载的运输情况如表所示： 次数 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 (1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送多少吨物资？ (2)若该公司计划安排甲、乙两种货车共10辆运送爱心物资（均满载），其中甲种货车（辆，当甲种货车安排多少辆时，运送物资的总吨数能取得最大值？最大是多少吨？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送4吨、6吨物资 (2)当甲种货车安排2辆时，运送物资的总吨数w能取得最大值，最大是56吨 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是列出方程组和函数解析式． （1）设甲种货车每次满载能运送x吨物资，乙种货车每次满载能运送y吨物资，根据题意列方程组求解即可； （2）先列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种货车每次满载能运送x吨物资，乙种货车每次满载能运送y吨物资． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种货车每次满载分别能运送4吨、6吨物资． （2）解：根据题意，得． ∵，， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为． 故当甲种货车安排2辆时，运送物资的总吨数w能取得最大值，最大是56吨． 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1) (2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、不等式组的分配问题 【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可； （2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可； 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用 整理得： ∵， 解得， 即总运费y关于x的函数关系式为； （2）∵ ， ∴ y随x的增大而减小 ∵， ∴当时，最低运费为：， 此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨． 答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元． 3．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）六月是离别的季节；三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购南外特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表： 根据以上信息解答下列问题： 班级 购买数量（件） 购买总费用（元） 钢笔 笔记本 九（1）班 40 20 1100 九（2）班 20 60 1300 (1)求钢笔和笔记本的单价； (2)若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元 (2)最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本，理由见解答 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设钢笔的单价是元，笔记本的单价是元，利用总价=单价数量，结合九（1）班、九（2）班购买两种商品的数量及总费用，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设九（3）班购买支钢笔，则购买本笔记本，根据购买钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设九（3）班购买这两种商品共花费元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设钢笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：钢管的单价是20元，笔记本的单价是15元； （2）解：最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本，理由如下： 设九（3）班购买支钢笔，则购买本笔记本， 根据题意得：， 解得：， 设九（3）班购买这两种商品共花费元， 则， 即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，此时， ∴最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本． 压轴题型二　利用一函数的性质解决最大利润问题 例题：（24-25八年级上·四川德阳·期末）“灯笼翠干从高揭，火繖流苏直下垂”，春节将至，家家户户都要贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某商超计划购进型灯笼和型灯笼年前进行销售，已知700元购买型灯笼的个数是315元购买型灯笼个数的2倍，一个型灯笼的进价比一个型灯笼的进价高1元．销售时，两种灯笼的售价均为15元/个． (1)求一个型灯笼和一个型灯笼的进价分别是多少元？ (2)该商超计划购进这两种灯笼共200个，其中购进型灯笼的数量不少于型灯笼数量的，且不超过150个．当商超进货时，若一次性购进型灯笼超过80个，则型灯笼超过的部分可按进价打7折．问该商超应购进型灯笼和型灯笼各多少个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大？同时最大利润是多少元？ 【答案】(1)一个型灯笼的进价是元，一个型灯笼进价是元 (2)该商超应购进型灯笼个，型灯笼个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大，最大利润是元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应； （1）等量关系式：700元购买型灯笼的个数315元购买型灯笼个数，据此列方程，解方程，即可求解； （2）设购进一个型灯笼个，则购进型灯笼（）个，总利润为元，由不等关系求出的取值范围，总利润售卖型灯笼获得的利润售卖型灯笼获得的利润，据此列出一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可； 能找出等量关系式列方程求解，并能根据利润、售价、成本之间的关系列出一次函数，利用一次函数的性质求最值是解题的关键． 【详解】（1）解：设一个型灯笼进价是元，则一个型灯笼的进价是元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （元）， 答：一个型灯笼的进价是元，一个型灯笼进价是元； （2）解：设购进一个型灯笼个，则购进型灯笼个，总利润为元，由题意得 ， 解得：； ， 当时， （元）， （个）， 故该商超应购进型灯笼个，型灯笼个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大，最大利润是元． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期末）某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元 (2)该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元， 由题意得，， 解得， 答：中级型汽车进货单价为元和紧凑型汽车进货单价为元． （2）解：由题可得，， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为， 该经销商应购进中级型汽车辆，紧凑型汽车辆时，最大为万元． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元／辆，紧凑型汽车的售价为20万元／辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元； (2)该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识： （1）设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为y万元，根据3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽辆，根据购中级型汽车的数量不低于25辆，得，再求出W关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）设中级型汽车的进货单价为x万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元； （2）设购进中级型汽车a辆，则购进紧凑型汽辆， 由题意得：， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使W最大，W最大为350万元． 3．（24-25九年级上·四川广安·期中）为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元． (1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润元，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进A种纪念品每件需要元，B种纪念品每件需要元 (2)当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识． （1）设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元．据此列出方程组，解方程即可； （2）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，据此列出不等式组，解不等式组得到，由一次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为n元， 根据题意可知：， 解得：． 答：购进A种纪念品每件需要100元，B种纪念品每件需要50元． （2）解：设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件， 根据题意可得： 解得：． 销售总利润为． 由由一次函数性质可知，y随x的增大而减小， 当时，获得利润最大，最大利润（元）． 答：当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 【答案】(1)；，且x为正整数； (2)购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元； (3)100 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式，根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，”列出不等式，即可求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围为，且x为正整数； （2）解： ∵， ∴当y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意得： ， 当时，恒成立， 即当时，无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变． 压轴题型三　利用一次函数的性质解决行程问题 例题：（23-24八年级上·陕西榆林·期末）碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？ 【答案】(1)； (2)小时 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入（）中所求的函数解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为， ∵图象经过、两点， ∴， 解得， ∴图中段y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴玥玥一家行驶小时，离家的距离为110千米． 巩固训练 1．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示： (1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______； (2)当时，求y关于x的函数表达式； (3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）从函数图象获取信息，利用速度等于路程除以时间进行计算即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，小明家离体育场的距离为，跑步的平均速度为：； 故答案为：； （2）当时，设， 把代入函数解析式，得： ，解得：， ∴； （3）当时，； 当时，，解得：； 答：当小明离家时，他离开家所用的时间为或． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 【答案】(1)； (2)3小时 (3)或4 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）根据两车相遇是相等，列方程解答即可； （3）根据（2）中相遇时间，分，两种情况计算即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，经过点，经过点， ， ，， ， 故答案为：，． （2）解：当时，两车相遇 解得： 答：两车同时出发后3小时相遇． （3）解：根据题意，当时， 解得： 当时， 解得： 即当或4时，两车相距． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，实际问题与一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并从图像获取准确信息是解题的关键． 压轴题型四　利用一次函数的性质解决几何问题 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与轴、轴交于点，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值是2或6 【知识点】一次函数与几何综合、求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）由一次函数图象与性质，令，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到点的纵坐标，在网格中表示出，代值求解即可得到答案； （3）设点的纵坐标为，由题中，先求出、，得到面积，从而得到，解出，由点在直线上，点的横坐标为，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，，即； （2）解：点在直线上，点的横坐标为， 当时，， 由（1）知， ∴； （3）解：设点的纵坐标为， 直线与轴、轴交于点， 、， ∵， ∴， ∴，， 点在直线上，点的横坐标为， 当时，，； 当时，，； 综上满足条件的的值是2或6． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、求直线与坐标轴的交点、已知自变量求函数值、平面直角坐标系中三角形面积的求法、解绝对值方程及解一元一次方程等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，直线与直线交于点，与坐标轴交于点B、C两点．点C的坐标是． (1)求n的值及的解析式． (2)如图2，已知点P是直线上的一个动点，且点P的横坐标为a，过P作轴的垂线，与相交于点Q，当时，求a的值． 【答案】(1)，的解析式为： (2)或 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、坐标与图形 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，求一次函数解析式，坐标与图形． （1）将代入，即可求出n的值，在利用待定系数法即可求出的解析式； （2）根据题意得，，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，则， ， 将，代入，则， 解得：， 的解析式为：； （2）解：∵点为直线上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∵轴，在直线上， ∴， ∵， ∴ 解得：或． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点、、的坐标分别为：、、，，则，即可求解； （3）关于直线的对称点为，当点落在直线上时，则，解得：；当落在上时，同理可解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入得：， 解得：，即点， 将点、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：由题意得，点、、的坐标分别为：、、， ， 则， 解得：或； （3）解：关于直线的对称点为， 当点落在直线上时， 则， 解得：； 当落在上时， 则， 解得：， 故． 压轴题型五　利用一次函数的性质解决折叠的综合问题 例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)P为直线上一点，，求点P的坐标； (3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点Q的坐标为或或或 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出，设，根据，求出或，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：； （2）解：由题意可知：，， 在中，， 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，， ∴， ∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得，或， ①当时，， ②当时，， ∴或； （3）解：设， ∵点，， ∴，， ， ①当时， 则， 解得（舍去）或， ∴点Q的坐标为； ②当时， 则，即或18， ∴点Q的坐标为或； ③当时， 则， 解得：， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，求一次函数解析式，等腰三角形的定义，折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 巩固训练 1．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)折叠后纸片重叠部分的面积为10 (3) 【知识点】求一次函数解析式、勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键． （1）根据得出，根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求出，根据，即可解答； （3）由（2）可得，设，则，在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出，则，在用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为长方形， ∴， ， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴折叠后纸片重叠部分的面积为10； （3）解：由（2）可得， ∴， 由折叠可得：， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴所在直线的函数表达式为． 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是的上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处．求： (1)求A、B两点坐标； (2)求M坐标； (3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标； (4)在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得，请直接写出N点坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或． (4) 【知识点】一次函数与几何综合、勾股定理与折叠问题、坐标与图形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题属于一次函数的综合题，主要待定系数法求函数解析式、勾股定理的折叠问题、等腰三角形的性质和判定等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可； （4）如图：作，作垂足为K，根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及已知条件可得；设，则、、，然后运用勾股定理列方程求得x，进而求得的长即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴令，则；令，则, ． （2）解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，解得：， ∴． （3）解：由（2）知，可得， ①以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ∴， ∴； ②以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ∴或1， ∴或； ③如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时， 设，则， 根据勾股定理得，解得∶， ∴． 综合上述，点P的坐标为或或或． （4）解：如图：作，作垂足为K， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：或（不合题意舍弃）， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，点在边上，点的坐标为，过点且平行于轴的直线与交于点．现将纸片折叠，使顶点落在上的点处，折痕为． (1)求点G的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出的取值范围； (4)设点为轴上一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据折叠的性质求出，根据勾股定理计算求出，得到点G的坐标； （2）设，根据勾股定理求出x，求出点E的坐标，利用待定系数法求出所在直线的解析式； （3）根据平行的性质求出m，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出n，得到答案； （4）按点P在x轴的正半轴、负半轴，及进行分类讨论，求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 又 由勾股定理得，， ∴点G的坐标为， 故答案为：； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为：， 则， 解得，， ∴所在直线的解析式为：； （3）解：∵直线平行于直线， ∴，即直线l的解析式为， 当直线l经过点时，， 解得，， 当直线l经过点时，， 解得，， ∴直线l与长方形有公共点时，． （4）解：设， 当时，如图， 由，得， ∴； 当时，如图， ，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，， ∴； 如图，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的知识、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识与方法，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤是解题的关键，解题时需进行分类讨论，求出所有符合条件的值． 4．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上运动，连接，将沿直线折叠，点的对应点记为． (1)求直线的函数表达式； (2)若点恰好落在直线上，求的面积； (3)如图2，若恰好与轴平行，且边与线段有交点，设交点为，在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)的面积为15或60 (3)存在，点的坐标为或或或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用； （1）设直线的函数表达式为待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得，，由题意知，分点在上运动，点在轴的正半轴上运动，两种情况求解，①当点在上运动，由折叠的性质，，则，由勾股定理求出，根据求解；②当点在轴的正半轴上运动时，根据折叠性质和勾股定理得，根据，即可求解； （3）轴，则轴，由题意得点P，点C坐标及长度；分当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别求解即可； 【详解】（1）设直线的函数表达式为， 将，，代入得，，解得 直线的函数表达式为． （2）由勾股定理得，， 由题意知，分点在上运动，点在轴的正半轴上运动，两种情况求解： ①当点在上运动，如图①， 由折叠的性质可知，，，则， 设，则， 由勾股定理得，，即，解得， ； ②当点在轴的正半轴上运动，如图②， 由折叠的性质可知，，，则， 设，则， 由勾股定理得，，即，解得， ； 综上所述，的面积为15或60； （3）存在，点的坐标为或或或． 轴，则轴， 由题意知，，则， 当时，，则， ， 设，当时，是等腰三角形，如图③， ，解得，或， 或； 当时，是等腰三角形，则，解得，或， ； 当时，是等腰三角形，则，解得， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或或． 5．（23-24八年级上·河南·期中）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．    (1)当点经过点时，求直线的函数解析式； (2)①求的面积S关于的函数解析式； ②把长方形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，求点的坐标． (3)点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，或或． 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）设直线解析式为，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式； （2）①当P在段时，底与高为固定值，求出此时面积；当P在段时，底边为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式； ②设，则，根据勾股定理求出，得出，根据勾股定理得出，解方程即可； （3）存在，分别以，，为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可． 【详解】（1）解：∵，四边形为长方形， ∴， 设直线解析式为， 把，分别代入，得： ， 解得：， 则此时直线解析式为； （2）解：①当点P在线段上时，，高为6，， 即时，； 当点P在线段上时，，高为， ∴； ②设，则，如图2， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则此时点P的坐标是； （3）解：存在，理由为： 若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3， ①当， 在中，，， 根据勾股定理得： ， ∴，即； ②当时，过点作于点F， ∴， ∴， 此时； ③当时， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴，即， 综上，满足题意的P坐标为或或．    【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的定义，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一次函数 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　利用一次函数的定义求参数 1 易错题型二　根据一次函数的图象和性质求参数 3 易错题型三　含参数的一次函数的图象和性质 6 易错题型四　一次函数图象的共存问题 9 【压轴题型】 12 压轴题型一　利用一次函数的性质解决分配方案问题 12 压轴题型二　利用一函数的性质解决最大利润问题 17 压轴题型三　利用一次函数的性质解决行程问题 22 压轴题型四　利用一次函数的性质解决几何问题 26 压轴题型五　利用一次函数的性质解决折叠的综合问题 30 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　利用一次函数的定义求参数 例题：（24-25九年级上·全国·期末）是一次函数，则m的值是 巩固训练 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）已知是关于x的一次函数，则 ． 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）当 时，函数是一次函数． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如果是一次函数，那么的值是 ． 易错题型二　根据一次函数的图象和性质求参数 例题：（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·广西百色·期末）已知一次函数，当 时，函数值随的增大而减小． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数，且）的函数值y随自变量x的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第 象限． 3．（24-25八年级上·安徽·期末）已知一次函数．若当时，函数有最小值，则k的值为 ． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数（k为常数，），当时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为 ． 易错题型三　含参数的一次函数的图象和性质 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．当时，点、在图象上，则 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象经过定点 巩固训练 1．（23-24八年级下·天津·期末）关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 易错题型四　一次函数图象的共存问题 例题：（24-25八年级上·上海·期末）如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（   ） A．B．C．D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（   ） A． B． C．D． 3．（24-25八年级上·安徽六安·期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知直线与直线中为常数且，则两条直线在同一平面直角坐标系中的大致位置合理的是（    ） A． B． C． D． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　利用一次函数的性质解决分配方案问题 例题：（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）现从A村，B村向甲、乙两地运送蔬菜，A村，B村两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A村到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B村到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨．设A村往甲地运送蔬菜x吨． (1)设A村运费为元，请写出与的函数关系式，并说明x为何值时，最小？ (2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．并求出当时，怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 巩固训练 1．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生级地震．一方有难，八方支援，某市一货车公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，该公司甲、乙两种车型的货车两次满载的运输情况如表所示： 次数 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 (1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送多少吨物资？ (2)若该公司计划安排甲、乙两种货车共10辆运送爱心物资（均满载），其中甲种货车（辆，当甲种货车安排多少辆时，运送物资的总吨数能取得最大值？最大是多少吨？ 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200 吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A 镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元． (1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式； (2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 3．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）六月是离别的季节；三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购南外特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表： 根据以上信息解答下列问题： 班级 购买数量（件） 购买总费用（元） 钢笔 笔记本 九（1）班 40 20 1100 九（2）班 20 60 1300 (1)求钢笔和笔记本的单价； (2)若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 压轴题型二　利用一函数的性质解决最大利润问题 例题：（24-25八年级上·四川德阳·期末）“灯笼翠干从高揭，火繖流苏直下垂”，春节将至，家家户户都要贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某商超计划购进型灯笼和型灯笼年前进行销售，已知700元购买型灯笼的个数是315元购买型灯笼个数的2倍，一个型灯笼的进价比一个型灯笼的进价高1元．销售时，两种灯笼的售价均为15元/个． (1)求一个型灯笼和一个型灯笼的进价分别是多少元？ (2)该商超计划购进这两种灯笼共200个，其中购进型灯笼的数量不少于型灯笼数量的，且不超过150个．当商超进货时，若一次性购进型灯笼超过80个，则型灯笼超过的部分可按进价打7折．问该商超应购进型灯笼和型灯笼各多少个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大？同时最大利润是多少元？ 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·期末）某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元／辆，紧凑型汽车的售价为20万元／辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 3．（24-25九年级上·四川广安·期中）为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元． (1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润元，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 压轴题型三　利用一次函数的性质解决行程问题 例题：（23-24八年级上·陕西榆林·期末）碧麟湾位于陕西省榆林市神木市，是集观光旅游、休闲度假、研学拓展、近郊游乐、康养度假等多种功能为一体的综合性级景区，设水上、陆地、高空三大板块．玥玥一家周末从家出发，前往碧麟湾景区游玩，如图表示玥玥一家离家的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求玥玥一家行驶多久时，离家的距离为110千米？ 巩固训练 1．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示： (1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______； (2)当时，求y关于x的函数表达式； (3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 压轴题型四　利用一次函数的性质解决几何问题 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与轴、轴交于点，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 巩固训练 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图1，直线与直线交于点，与坐标轴交于点B、C两点．点C的坐标是． (1)求n的值及的解析式． (2)如图2，已知点P是直线上的一个动点，且点P的横坐标为a，过P作轴的垂线，与相交于点Q，当时，求a的值． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 压轴题型五　利用一次函数的性质解决折叠的综合问题 例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)P为直线上一点，，求点P的坐标； (3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 巩固训练 1．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接， ． (1)求A、C两点的坐标； (2)将纸片折叠， 使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； (3)求所在直线的函数表达式． 2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是的上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处．求： (1)求A、B两点坐标； (2)求M坐标； (3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标； (4)在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得，请直接写出N点坐标． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，点在边上，点的坐标为，过点且平行于轴的直线与交于点．现将纸片折叠，使顶点落在上的点处，折痕为． (1)求点G的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出的取值范围； (4)设点为轴上一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（22-23八年级上·辽宁辽阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上运动，连接，将沿直线折叠，点的对应点记为． (1)求直线的函数表达式； (2)若点恰好落在直线上，求的面积； (3)如图2，若恰好与轴平行，且边与线段有交点，设交点为，在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23-24八年级上·河南·期中）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴与轴上，已知．点为轴上一点，其坐标为，点从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．    (1)当点经过点时，求直线的函数解析式； (2)①求的面积S关于的函数解析式； ②把长方形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，求点的坐标． (3)点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$