安徽省江南十校2025届高三下学期联考数学试题

数学答题卡 第 1 页 共 2 页 三、填空题 (12) (13) (14) 2025 届安徽省“江南十校”联考 数学答题卡 姓名： 考号： 贴条形码区 姓名： 考号： 此栏考生禁填 缺考标记 一、选择题 ( 1 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 2 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 3 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 4 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 5 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 6 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 7 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ( 8 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、选择题 ( 9 ) [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (10)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] (11)[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 四、解答题 (15) 缺考考生由监考员贴条形码，用 2B 铅笔填涂左边的缺考标记， 并在姓名栏填写“缺考”字样。 选择题 （用 2B铅笔填涂） 正确填涂样例： 贴 条 形 码 区 注 意 事 项 1．答题前务必认真核准条形码上的姓名、考号，并将本人姓名、考号填写在相应位置，在答题卡 背面左上角填写姓名和座位号后两位。 2．答选择题时，须使用 2B 铅笔填涂，如需改动，务必擦净。答非选择题时，须使用 0.5 毫米的 黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。严格按题号所指示的答题区域作答，超出答题区 域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。 3．考生未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负。 非选择题 （用 0.5毫米的黑色墨水签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 (16) 数学答题卡 第 2 页 共 2 页 200 (17 ) (18) 考生 必填 姓名 座位号 后两位 考生务必将姓名、座位号后两位用 0.5 毫米的黑 色墨水签字笔认真填写在书写框内，座位号后两位的 每个书写框只能填写一个阿位伯数字。 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 (19) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 姓名 座位号 (在此卷上答题无效) 绝密★启用前 2025届安徽省“江南十校”联考 数学 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，选对得5分，选错得0分 1.设复数z= 则z的共轭复数z的虚部为() A c. D._1 2.已知集合A={x|-x2+x+2>0},B={xEN]x-1≤1}， 则A∩B=() A.{ B.0,1 C.{0,1,2 D.{-1,0,1,2 3.已知a是直线2x-y+1=0的一个方向向量，若a=(m,1),则实数m的值为() A.Z C.2 D.-2 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=120,等比数列{bn}的首项为1，若a=b, 则log:b。的值为( ) B.-5 c. D.5 5.已知角a,B的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与圆O交于 点A1,2√2).动点P以A为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点B,点P运动的轨迹长为 当角B的终边为射线OB时，tanB=() 4 4. 4W2-7 B. 7-42 C. 9+4V2 D. 9+4v2 7 7 7 7 6.已知双曲线 =1(a>0,b>0)虚轴的两个端点分别为B,B,左、右焦点分别为R,B, y2 若cos∠EB5= 则双曲线的离心率为() 13 A. 3w5 B. 3 c.5 5 D. 5 2 3 数学试卷 第1页共4页 7.若函数f(x)=log x-+log1x是减函数，则实数a的取值范围是（) Ao5-马 B.( 5-1,0 D. 2 c.5) 2 8.已知x>0,y>0,x+3y=xy2,则3+2的最小值为() x V A.2W2 B.V13 C.2√6 D.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知数据x1,x2,·,x的平均数为10，方差为1，且y=2x+4(i=1,2,…,6),则下列说法 正确的是() A.数据y,2,,y。的方差为4 B.数据x,x2,…,x6,,2,…,y。的平均数为17 C.数据x,x2,…,x6,10的平均数为10，方差大于1 D.若数据x,x2,…,的中位数为m,75%分位数为n,则m<n 10.如图，已知圆台的轴截面为ABCD,其中AB=3CD=12V5,AD=8,M为圆弧AB的 中点，DE=2EA,则() A.圆台的体积为208π 台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大 C.过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为32√5 D.过C,E,M三点的平面与圆台下底面的交线长为36W⑤ 5 11.己知定义在R上的偶函数f(x)满足f(O)=2,f(3-x)+f(x)=1,设f(x)在R上的导函 数为g(x),则() 202 A.g(2025)=0 g B. C.g(x+6)=g(x) D. fm)=1011 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12.曲线y=xe在点(l,e)处的切线方程为 13.已知F,乃分别是椭圆二+上=1的左、右焦点，P,4B为椭圆上三个不同的点，直线P以 84 的方程为x=2,且∠APB的平分线经过点Q(I,O),设△AFF2,△BFF内切圆的半径分 别为1,5，则上 数学试卷第2页共4页 14,程大位(1533一1606)是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的《直指算法统宗》是最早 记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成 为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，现有一种算盘（如图 1)共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作 数字5：梁下五珠，上拨一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506，如果拨动图1 中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为 百位十位个位 百位十位个位 图1 图2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为1,2,3，现采用有放回的方 式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为i,第二次摸到的小球号码为j. (1)记“i+j>ij”为事件A,求P(A): (2)完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三 次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为k,号码，广，k中出现偶数的个数记为X,求 X的分布列及数学期望. 16.(15分) 已知函数f(x)=1-asinx-cos2x,a∈R. (1)若a=2,求f(x)在(0，π)上的极大值： (2)若函数g()=f)-f写+，讨论函数g)在[0，可]上零点的个数。 数学试卷 第3页共4页 17.(15分) 如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB/CD且AB=CD=1, 2 AB⊥BC,∠ADC=60,cos∠CDE=，△ADE为等边三角形. (1)若M,N分别是棱AD,EC的中点，证明：MNI∥平面ABE: (2)求平面BCE与平面ADE夹角的余弦值. 18.(17分) 已知动点Gx)满是关系式2+-2-x2+(y+2=2. (1)求动点G的轨迹方程： (2)设动点G的轨迹为曲线C,抛物线C,:x2=4y的焦点为F,过C,上一点P作C,的两 条切线，切点分别为A,B,弦AB的中点为M,平行于AB的直线I与C2相切于点Q. ①证明：P,Q,M三点共线： ②当直线I与C有两个交点时，求QF的取值范围. 19.(17分) 设{an}是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为Sn (1)若Va·a+2=a对任意n∈N都成立，且2Sn+1=Sn+2. ①求数列{an}的通项公式： ②已知首项为x,公比9满足|9KI的无穷等比数列{xn},当n无限增大时，其前n项和 无限趋近于常数，， 1-q 则称该常数为无穷等比数列{x}的各项和.现从数列{an}中抽 取部分项构成无穷等比数列么，}且亿，}的各项和不大于5求6的最大值 (2)若√a,·an2≥aH对任意neN'都成立，试证明：(a,an2)2≥(a,a…a）产 数学试卷第4页共4页第 1 页 共 10 页 2025 届安徽省“江南十校”联考 数学参考答案 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，选对得 5 分，选错得 0 分. 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B C A B D 答案解析： 1.解析：因为 2 1 2 )1( 1 iii i iz    ，所以 1 1 2 2   z i，故 z的虚部为 2 1  ，故选 D. 2.解析：因为    2| 2 0 | 1 2       A x x x x x ，    | 0 2 0,1,2  B x N x  ， 所以  0,1A BI ，故选 B. 3.解析：直线 2 1 0  x y 的斜率为 2，  1,2b 是直线的一个方向向量，由 //a b，得 2 1 0 m ， 所以 1 2 m ，故选 A. 4.解析：因为 na 为等差数列，所以  1 1515 8 15 15 120 2     a a S a ，得 8 8a ，则 3 4 1 8  b b q , 故 2q ，所以 2 56 4 2  b b q ， 12 6log 5 b ，故选 B. 5.解析：由三角函数的定义知， tan 2 2  ，设动点 P以 A为起点沿圆周逆时针转动 3π 4 弧长到达 点 B时转过的角度为 ，则 3π 4 π 4    OA ，所以   πtan tan 2 π tan 4              k tan 1 2 2 1 9 4 2 1 tan 71 2 2           ， k Z ，故选 C. 6.解析：设 1 1 2  FB B ，则 tan  c b ，由     22 2 2 2 2 2 2 1 ( )1 tan 5cos2 131 tan 1 ( )             c b cb c b c b ，得 22 49 cb  ，所以  2 2 24 9 c c a ，整理得 2 2 2 9 5   ce a ，所以 3 5 5 e ,故选 A. 第 2 页 共 10 页 7.解析：由题可知，在 ),0(  上 21 1 ln( 1) ln ln( )( ) 0 ln ln( 1) ln ln( 1) ln ln( 1)           a a a af x x a x a x a a x a a  ， 因为 0a 且 1a ，所以 0)1ln( a ，则 2ln( ) 0 ln a a a  ，当 2 ln 0 ln( ) 0    a a a  时， a不存在；当 2 ln 0 ln( ) 0    a a a  时， 1 5[ ,1) 2   a ，经检验 1 5 2   a 不符合题意，故 1 5( ,1) 2   a .故选 B. 8.解析：由 0,0,3 23  yxyxyx ，得 yx yx 213  ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 9 4 12 9 4 1 3 9 4 9( ) ( ) 4 2 36 12            x y x x y x y xy x y y x x y x  ， 当且仅当 2 2 4 9 x x  ，即 2 6 x ， 3 326  y 时等号成立，所以 3 2 x y 的最小值为2 3，故选 D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 序号 9 10 11 答案 AB ABD ACD 9.解析：对于 A 选项，由数据 1 2 6, , ,x x x 的方差为1及 2 4 i iy x 知，数据 1 2 6, , ,y y y 的方差为 22 1 4  ，故 A 选项正确； 对于 B 选项，由数据 1 2 6, , ,x x x 的平均数为10及 2 4 i iy x 可知，数据 1 2 6, , ,y y y 的平均数 2 10 4 24   y ，所以数据 1 2 6 1 2 6, , , , , , , x x x y y y 的平均数为 6 10 6 24 17 12     ，故 B 选项 正确； 对于 C 选项，在数据 1 2 6, , ,x x x 中增加一个数据10，因为原数据的平均数为10，故新样本的平均数 仍为10，而方差等于     6 2 2 1 1 110 10 10 6 1 7 7             i i x ，故 C 选项错误； 对于 D 选项，取数据9,9,10,10,10,12，则 m n，故 D 选项错误.故选 AB. 10.解析：对于 A 选项，因为 3 12 3AB CD  ， 8AD  ，所以圆台的高 ,4)34(8 22 h 所以 2 21 π 4 [(2 3) 2 3 6 3 (6 3) ] 208π 3       V ，故 A 选项正确； 如图，将圆台补成圆锥，顶点记为T ，底面圆的圆心记为O，则对于 B 选项，当母线和轴OT 所在的 第 3 页 共 10 页 平面与平面 ABCD垂直时，母线所在直线与平面 ABCD所 成的角最大，且最大值为 π 3 ,故 B 选项正确； 对于 C 选项，因为 4 3 3cos 8 2   TBO ， 所以 π 6  TBO ，则 2ππ 2 3     ATB TBO ，所以当两条母线所在直线的夹角为 π 2 时，截面面 积最大，且 2 2 max 1 π 1 π( ) 12 sin 4 sin 64 2 2 2 2截面     S ，故 C 选项错误； 对于 D 选项，如图，在梯形 ABCD中，连接CE并延长交 BA的延长线于点 F ,连接MF交底面圆于 点 N ，则MN 为截面与底面圆的交线. 由 2 CD DE AF EA ，得 2 3AF , 8 3OF , 所以 8 3 4tan 36 3     OFOMF OM ，则交线 5 336cos362  OMFMN ,故 D 选项正确.故选 ABD. 11.解析：因为函数 )(xf 是 R上的偶函数，所以 )()( xfxf  ，则 )(])([ xfxf  ，又 )(xg 是 )(xf 的导函数，所以 )()( xgxg  ，故 )(xg 是奇函数且 0)0( g ；由 1)()3(  xfxf ，两边同时 求导可得 0)()3(  xgxg ，故 )(xg 的图象关于直线 2 3 x 对称. 因为 )()()3()3()6( xgxgxgxgxg  ，故 C 选项正确； 对于 A 选项，因为 0)0()3()36337()2025(  gggg ，故 A 选项正确； 对于 B 选项，例如函数 3 1( ) cos 2 3 2   f x x ，此时 3 1( ) 2 2 g ； 对 于 D 选 项 ， 由 1)()3(  xfxf 及 )(xf 是 偶 函 数 ， 得 ( 3) ( ) 1  f x f x ， 所 以  ( ) 3 1   f x f x ， ( 3) ( ) 1   f x f x ，即  ( 6) ( 3) 1     f x f x f x ，所以周期 6T , 故 3)( 6 1  n nf ，则   2025 1 1011113337)( n nf ，故 D选项正确.故选 ACD. 第 4 页 共 10 页 三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分. 12. 2 y ex e 解析：因为 xexy )1(  ，所以曲线在点 (1, )e 处切线的斜率 2k e，则切线方程为 2 ( 1)  y e e x ，即 2 y ex e . 13.5 解析：由题意，不妨设 (2, 2)P ,则 (2, 2)A ，记 (1,0)Q ，则直线PQ的方程为 )1(2  xy ， 直线 2x 关于直线 PQ的对称直线 PB为 0222  yx ，由 2 2 2 2 2 0 1 8 4          x y x y ，消去 x得 25 4 2 2 0  y y ，因为 2 5   P By y ，所以 2 5  By ，则 1 2 1 2 1 2 5  AF F A BF F B S yr r S y   . 14.26 解析： （方法一）（1）“百位”拨动 3 枚算珠：300、700. （2）“百位”拨动 2 枚算珠：210、250、201、205；610、650、601、605. （3）“百位”拨动 1 枚算珠：120、102、160、106、111、151、115、155； 520、502、560、506、511、551、515、555. 则符合条件的三位整数的个数为 26. （方法二）同一个档上拨动 1 枚算珠有梁上拨动一珠、梁下拨动一珠两种情况； 同一个档上拨动 2 枚算珠有梁上拨动一珠梁下拨动一珠、梁下拨动两珠两种情况； 同一个档上拨动 3 枚算珠有梁上拨动一珠梁下拨动两珠、梁下拨动三珠两种情况； 故符合条件的不同三位整数的情况为：三个档各拨动一珠，共 1 1 1 2 2 2 8C C C 个；一个档拨动一珠、一 个档拨动两珠，共 1 1 2 24 16C C 个；一个档拨动三珠，共 1 2 2C 个，则符合条件的三位整数的个数为 26. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分） 解：（1）两次摸球，摸出的小球号码 ,i j的所有情况共 1 13 3 9 C C 种， ………………………1 分 其中，满足   i j i j的情形有： 1i 时， j 1,2,3； 2i 时， j 1； 3i 时， j 1，共5种情况，………………4 分 则 5( ) 9 P A ； …………………………………………………5 分 （2） X 可能的取值为 0,1,2,3， …………………………………………………………6 分   1 1 1 2 2 3 1 1 1 3 3 5 12 40 45 15     C C CP X C C C ；   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 1 3 2 2 2 1 1 1 3 3 5 20 41 45 9       C C C C C C C C CP X C C C ； 第 5 页 共 10 页   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 2 2 1 2 1 1 1 3 3 5 112 45      C C C C C C C C CP X C C C ；   1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 3 5 23 45    C C CP X C C C ………………………………………………………10 分 所以 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P 4 15 4 9 11 45 2 45 ………………………………………………………11 分 4 4 11 2 160 1 2 3 15 9 45 45 15         EX . ……………………………………………………13 分 16.（15 分） 解：（1）当 2a  时， 2( ) 1 2sin cos 2 2sin 2sinf x x x x x     ， …………………………1 分 由 1( ) 4sin cos 2cos 4cos (sin ) 0 2 f x x x x x x      ， (0, π)x ， 得 1 π 6 x ， 2 π 2 x ， 3 5π 6 x …………………………3 分 因此，当 x变化时， ( ), ( )f x f x 的变化情况如下表所示： x π(0, ) 6 π 6 π π( , ) 6 2 π 2 π 5π( , ) 2 6 5π 6 5π( , π) 6 ( )f x  0  0  0  ( )f x 单调递减 单调递增 0 单调递减 单调递增 所以当 π 2 x 时， ( )f x 有极大值，并且极大值为 π( ) 0 2 f . ………………………6 分 （2） π π π( ) ( ) ( ) 1 sin cos 2 [1 sin( ) cos 2( )] 2 2 2           g x f x f x a x x a x x sin cos 2 cos cos 2    a x x a x x (cos sin ) 2cos 2a x x x   (cos sin )[ 2(sin cos )]   x x a x x 当 [0, π]x 时，由 ( ) 0g x ，得 π 4 x 或 sin cos 2   ax x ， …………………9 分 其中 πsin cos 2 sin( ) 4   x x x 且 π π 5π[ , ] 4 4 4  x ，所以 sin cos [ 1, 2]  x x ，…………10 分 第 6 页 共 10 页 当 2 2 2或  a a 时，方程 sin cos 2   ax x 无实数解，此时函数 ( )g x 只有一个零点； 当 2 2a 时，方程 ( ) 0g x 只有一解且为 π 4 x ，此时函数 ( )g x 只有一个零点； 当 2 2 2a 时，方程 sin cos 2  ax x 有两个不同的解且均不等于 π 4 ，此时函数 ( )g x 有三个零点； 当 2 2 a 时，方程 sin cos 2   ax x 有一个解且不等于 π 4 ，此时函数 ( )g x 有两个零点. ………14 分 综上：当 2 2 2或 a a 时，函数 ( )g x 只有一个零点； 当 2 2 2a 时，函数 ( )g x 有三个零点； 当 2 2 a 时，函数 ( )g x 有两个零点. ………………15 分 17.（15 分） 解：（1）如图，取DE的中点F ，连接 ,MF NF ,因为 ,M N分别是棱 ,AD EC的中点， 所以 // , //MF AE NF CD ,又 //AB CD，所以 //NF AB , ………1 分 因为 //MF AE， MF 平面 BAE， AE 平面 BAE， 所以 //MF 平面 BAE， ……………………………………………………3 分 同理可知， //NF 平面 BAE， …………………………………………………4 分 因为 MF NF F，所以平面 //MFN 平面 ABE， 又 MN 平面MFN ,所以 //MN 平面 ABE . …………………6 分 （2）证法 1:连接 ,CM ME ,取DC的中点G，连接 AG， 因为 //AB CD且 1 1 2 AB CD  ， AB BC，所以 AG GD， 1DG ， 又 60  ADC ，所以 2AD ，故 ADC 为等边三角形，所以 , 3 CM AD CM ， 因为 ADE 为等边三角形，所以 2, 3 DE EM ， ME AD，…………………………………8 分 在 CDE 中， 2 2 2 12 cos 4 4 2 2 2 6 4             CE DC DE DC DE CDE ， 所以 2 2 2 CM ME CE ，所以 90  CME ，即 CM ME， 所以 , ,MD ME MC两两互相垂直， ………………………………10 分 以M 为原点， , ,MD ME MC 所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，如图建立空间直角坐标系，则 第 7 页 共 10 页        0,0, 3 , 0, 3,0 , 1,0,0 , 1,0,0C E D A ，由 1 2    AB DC，得 3 3( ,0, ) 2 2 B ， (0, 3, 3)   EC ， 3 3( , 3, ) 2 2     EB ，设平面 BCE的一个法向量为  , ,  n x y z ， 则由 0 0           n EC n EB ，得 3 3 0 3 33 0 2 2            y z x y z ， 令 1z ，则 31, 3   y x ，所以 3( ,1,1) 3    n .………………………………13 分 取平面 ADE的一个法向量  0,0,1  m ，记平面 BCE 与平面 ADE的夹角为 ，则 21cos cos , 7            m n m n m n ，即平面 BCE 与平面 ADE夹角的余弦值为 21 7 . ……15 分 证法 2:如图，延长 ,CB DA相交于点Q，连接 EQ，同解法 1 证得 面CM DEQ， …………………………10 分 过点M 作 MH EQ，垂足为H，连接CH ，因为 , EQ MH EQ CM ， MH MC MI ， 所以 平面EQ CMH ， 所以 EQ CH ，所以MHC为二面角  D EQ C的平面角. …………………………………13 分 因为 3, 3 MQ ME ，由 2 2 2 EQ ME MQ ，得 2 3EQ ， 由 1 1 2 2    MEQS ME MQ EQ MH ，得 3 2 MH ，又 3CM ，所以 21 2 CH ，所以 21cos 7    MHMHC CH ，即平面 BCE 与平面 ADE夹角的余弦值为 21 7 . …………………15 分 第 8 页 共 10 页 18.（17 分） 解：（1）因为    2 22 22 2 2     x y x y ，由双曲线的定义知点G的轨迹是以 (0, 2), (0, 2) 为焦点的双曲线的下支，其中2 2a ， 2c ，则 2 2 2 1  b c a ，所以点G 的轨迹方程为 )0(122  yxy . ………………………3 分 （2）①证明：设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由 yx 42  ，知 2 ' xy  ，所以抛物线在 A点处的切线方程为 )( 2 1 1 1 xx xyy  ，又 1 2 1 4yx  ，所以 022 11  yyxx ，设点 P的坐标为 0 0( , )x y ，由切线过 点 P，得 022 1001  yyxx ， ……………………5 分 同理可知，由 B点处切线过点 P，得 022 2002  yyxx ， 所以直线 AB的方程为 022 00  yyxx . …………………………………7 分 因为 //l AB，所以直线 l的斜率 0 2  AB xk k ，又因为直线 l的斜率 2  Q x k ，所以 0xxQ  . 联立      022 4 00 2 yyxx yx ，消去 y 得 042 00 2  yxxx ，因为 M 是弦 AB 的中点，所以 0 21 2 xxxxM    ，所以 0 Q Mx x x ，即 MQP ,, 三点共线. ………………10 分 ②因为 44 2 0 2 xxy QQ  ，所以直线 l 的方程为 )(24 0 0 2 0 xxxxy  ，即 042 200  xyxx ，联立 122  xy ，消去 x得 048)164 20 4 0 2 0 22 0  xxyxyx（ ，由题意知方程有两个不等的负根. ………………………12 分 所以                  0 164 4 0 164 8 0)4)(4(1664 0164 2 0 2 0 4 0 2 0 2 0 2 0 4 0 2 0 4 0 2 0 x xx x x xxxx x ， …………………………14 分 解得 4252 20  x ， ……………………………16 分 所以 )2, 2 15(1 4 1|| 2 0  xyQF Q . ………………………………17 分 第 9 页 共 10 页 19.（17 分） 解：（1）①因为对任意 n N ， 2 1  n n na a a 都成立，且 0na ，所以 1 21    n n n n a a a a ，则数列 }{ na 是 等比数列，又 12 2  n nS S ， 12 2( 2, )    n nS S n n N ，作差整理得 nn aa 12 ( 2, )n n N ，所以公比 2 1 q ，又由 2 12 2 S S ，得 1 1 1 12( ) 2 2   a a a ， 解得 11 a ，所以数列 }{ na 通项公式为 1) 2 1(  nna . ………………………4 分 ②由①知 1 2 1  nna ）（ ，即： 1 1 1 11, , , , , 2 4 8 16 ， 设数列 }{ nb 的首项 11 2 1  mb ）（ ，公比为 k）（ 2 1 ，其中 , m k N ， 则数列 }{ nb 的各项和等于 11( ) 2 11 ( ) 2   m k ， 所以 11( ) 12 1 151 ( ) 2   m k  ， ………………………6 分 又因为 10 1 ( ) 1 2   k ，所以 11 1 1( ) 2 16  mb  ， …………………………7 分 当 1 1 16 b 时，由 1 116 1 151 ( ) 2  k  ，得 1 151 ( ) 2 16  k ，即 1 1( ) 2 16 k 时满足题意， …………………8 分 所以 1 max 1 16 （ ） b . …………………………9 分 （2）记 1 n n n a q a ， n N ，由任意 n N ， 2 1 n n na a a 都成立，且 0na ， 得 2 1 2 1 1      n n n n a a a a a a    ，即 1 2 1 0    n nq q q q    ， ………………………11 分 要证：     1 1 2 1 2 2 3 1  n n na a a a aL ， 只需证：    21 2 2 3 1  n n n na a a a a a L ， 只需证：    21 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2( )( ) ( ) nn n n na a q q q q a q a q q a q q qL L L , ………………………12 分 只需证： 2 2 2 2( 1) 4 2 1 1 2 1 1 1 2 1         n n n n n n n n n n n na q q q q a q q q q ， 只需证： 2 4 2 1 1 2 1        n n n n n n n nq q q q q ，（*） ……………………13 分 第 10 页 共 10 页 若 n为奇数，由（*)式知只需证 1 2 3 2 2 431 2 1 1 1 ( ) ( ) ( )       n n n n n n n n n qqq q q q q q L ， 因为 1 2 1 0    n nq q q q    ，所以 ]1,0(,,,, 2 3 2 1 1 32 1 1     n n nnn q q q q q q q q  ， 所以 1 2 3 2 2 431 2 1 1 1 ( ) ( ) ( )       n n n n n n n n n qqq q q q q q L 成立； ………………………15 分 若 n为偶数，由（*)式知只需证 2 2 2 4 2 031 2 1 1 1 22 1 ( ) ( ) ( ) ( )      n n n n n nn n n n qqq q q q q q q L ， 因为 1 2 1 0    n nq q q q    ，所以 ]1,0(,,,, 2 2 2 1 32 1 1    n n nnn q q q q q q q q  ，又 1)( 0 1 2   nq ， 所以 2 2 2 4 2 031 2 1 1 1 22 1 ( ) ( ) ( ) ( )      n n n n n nn n n n qqq q q q q q q L 成立， 综上可知，对任意 n N ，不等式     1 1 2 1 2 2 3 1  n n na a a a aL 都成立. ……………………17 分 （其他方法酌情给分）