专题08 幂函数与二次函数（六大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题08 幂函数与二次函数 【题型归纳目录】 题型一：幂函数的定义及其图像 题型二：幂函数性质的综合应用 题型三：二次函数的解析式 题型四：二次函数的图象、单调性与最值 题型五：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 题型六：二次方程实根的分布及条件 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）幂函数的定义、图像与性质 （2）二次函数的图象与性质 2020年天津卷第3题，5分 2020年江苏卷第7题，5分 （1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. （2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数． 知识点2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数． （3）幂函数的图象和性质 题型一：幂函数的定义及其图像 【典例1-1】（2024年天津高考数学真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【变式1-1】已知函数（），实数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】“幂函数在上单调递减”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【变式1-3】“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 题型二：幂函数性质的综合应用 【典例2-1】（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2003 年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））若函数，当时函数值，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式2-1】（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数的图象是 A．       B．   C．   D．   【变式2-2】（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式2-3】（2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）文科数学）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【变式2-4】函数的图象是（   ） A． B． C． D． 知识点4、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程． （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标． 知识点5、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为． （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；． （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，． 题型三：二次函数的解析式 【典例3-1】（2003 年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））若函数，的图象关于直线对称，则 . 【典例3-2】（重庆市第八中学校2025届高三上学期综合能力测试数学试题）若函数满足，试写出一个的解析式： ． 【变式3-1】已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 . 【变式3-2】已知是二次函数，且，，则 ． 【变式3-3】已知为二次函数且，，则 ． 【变式3-4】已知二次函数满足以下条件：图象与轴交于两点，且过点，则函数解析式为 . 题型四：二次函数的图象、单调性与最值 【典例4-1】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2015年山东省春季高考数学真题）关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【变式4-1】（2002年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷））函数是单调函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（浙江卷））已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（    ） A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 【变式4-3】（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为( ) A．16 B．18 C．25 D． 【变式4-4】（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷））函数的最小值为 ． 【变式4-5】（2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最 值（填“大”或“小”），且该值为 ． 【变式4-6】（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（安徽卷））函数的最大值为 ． 知识点6、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处． 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则． 题型五：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 【典例5-1】（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版））若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【典例5-2】已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 【变式5-1】已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 【变式5-2】已知常数，求函数的最小值： 【变式5-3】已知，求函数在区间上的最值. 题型六：二次方程实根的分布及条件 【典例6-1】若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】已知函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】关于的方程的两个实数根，满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负． 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示． 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像． （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论． （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负． 【强化测试】 1．（24-25高三上·天津北辰·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“幂函数在单调递减”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 3．（2024·重庆·一模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·辽宁·期末）若为幂函数，且函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．已知函数，，则“”是“是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·上海·模拟预测）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 7．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·湖南岳阳·开学考试）已知实数，函数的图象经过点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）若函数在定义域A上的值域为，则区间A可能为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（    ） A． B． C． D．5 11．（多选题）已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的值域为R B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 12．（多选题）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 13．若点在幂函数的图象上，则的值为 ． 14．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 15．已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 ． 16．（2025·云南·模拟预测）已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 18．函数的值域是 . 19．若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 幂函数与二次函数 【题型归纳目录】 题型一：幂函数的定义及其图像 题型二：幂函数性质的综合应用 题型三：二次函数的解析式 题型四：二次函数的图象、单调性与最值 题型五：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 题型六：二次方程实根的分布及条件 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）幂函数的定义、图像与性质 （2）二次函数的图象与性质 2020年天津卷第3题，5分 2020年江苏卷第7题，5分 （1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. （2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数． 知识点2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数． （3）幂函数的图象和性质 题型一：幂函数的定义及其图像 【典例1-1】（2024年天津高考数学真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 【典例1-2】已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【解析】设，则即， 故选：B． 【变式1-1】已知函数（），实数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，可得，可得， . 故选：B. 【变式1-2】“幂函数在上单调递减”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【答案】C 【解析】若是幂函数，则， 解得或，当时，， 由反比例函数性质得在上单调递减， 当时，， 由幂函数性质得在上单调递减， 故在上单调递减时，或， 即当在上单调递减时，无法推出，充分性不成立， 当时，可以推出在上单调递减，必要性成立， 综上，在上单调递减是的必要不充分条件，故C正确. 故选：C 【变式1-3】“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若在定义域内是增函数，则，即， 此时不一定等于1，所以函数不一定是幂函数， 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的不充分条件； 反之若函数是幂函数，则， 得或，此时或， 此时，即在定义域内是增函数， 所以“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要条件； 故“在定义域内是增函数”是“函数是幂函数”的必要不充分条件. 故选：B 知识点3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 题型二：幂函数性质的综合应用 【典例2-1】（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 【典例2-2】（2003 年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））若函数，当时函数值，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【解析】当时，，解得：，与取交集，结果为；当时，，解得：，综上：的取值范围是. 故选：D 【变式2-1】（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数的图象是 A．       B．   C．   D．   【答案】B 【解析】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D； 由特殊点（8，2），，可排除C． 故选B． 【变式2-2】（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【解析】令,可得． 设 根据题意与直线只有两个交点， 不妨设，结合图形可知，当时如右图， 与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点， 根据对称性可得，即，此时， ， 同理可得，当时如左图，， 故选：B． 【变式2-3】（2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）文科数学）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【答案】A 【解析】∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A 【变式2-4】函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数的定义域为， 且该函数为偶函数，排除D， 由易知在上该函数为单调递减，又排除AB， 故选：C 知识点4、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程． （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标． 知识点5、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为． （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；． （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，． 题型三：二次函数的解析式 【典例3-1】（2003 年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））若函数，的图象关于直线对称，则 . 【答案】6 【解析】函数的对称轴为：， 依题意，且，解得，， 所以. 故答案为：6 【典例3-2】（重庆市第八中学校2025届高三上学期综合能力测试数学试题）若函数满足，试写出一个的解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】不妨取， 当时，， ， 所以，函数满足， 故答案为：（答案不唯一）. 【变式3-1】已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 . 【答案】 【解析】因为的对称轴为，函数在上最小值为， 所以可设， 将代入，得，解得， 故. 故答案为：. 【变式3-2】已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【解析】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 【变式3-3】已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【解析】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 【变式3-4】已知二次函数满足以下条件：图象与轴交于两点，且过点，则函数解析式为 . 【答案】 【解析】因为二次函数与轴交于两点， 所以设二次函数解析式为， 又因为该函数过点，所以，解得， 所以所求函数解析式为，即. 故答案为：． 题型四：二次函数的图象、单调性与最值 【典例4-1】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【典例4-2】（2015年山东省春季高考数学真题）关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】C 【解析】，最大值是1，A正确； 对称轴是直线，B正确； 单调递减区间是，故C错误； 令的，故在函数图象上，故D正确， 故选：C 【变式4-1】（2002年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷））函数是单调函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数在上单调递减，在上单调递增， 又在区间上是单调函数，所以，解得， 故选：A 【变式4-2】（2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（浙江卷））已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（    ） A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 【答案】A 【解析】由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0， 故选：A. 【变式4-3】（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为( ) A．16 B．18 C．25 D． 【答案】B 【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B.. 【变式4-4】（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷））函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】 所以，当，即时，取得最小值. 所以答案应填：. 【变式4-5】（2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最 值（填“大”或“小”），且该值为 ． 【答案】 大 -3 【解析】由已知得，，a，b，c成等比数列，，a<0， 所以，有最大值， 最大值为 故答案为：大；-3. 【变式4-6】（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（安徽卷））函数的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】函数， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 知识点6、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处． 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则． 题型五：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 【典例5-1】（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版））若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【答案】B 【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B． 【典例5-2】已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 【解析】（1）由题意有函数，可得二次函数的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 综上，当时，函数的最大值为； 当时，的最大值为． 【变式5-1】已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 【解析】（1）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，所以的最小值为， 综上可得，在上的最小值为 【变式5-2】已知常数，求函数的最小值： 【解析】， 当时，在单调递减，在单调递增，故， 当时，在单调递增，故， 综上可得 【变式5-3】已知，求函数在区间上的最值. 【解析】将配方得， 由知，对称轴在区间的左侧或左端点上，如图所示， . 题型六：二次方程实根的分布及条件 【典例6-1】若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 【典例6-2】已知函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，即， 即，解得，即． 故选：A． 【变式6-1】关于的方程的两个实数根，满足，则常数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，， 所以，解得. 故选：C 【变式6-2】关于的一元二次方程有一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】二次函数的图象开口向上， 由的一个根小于1，另一个根大于1，得， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【方法技巧与总结】 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负． 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示． 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像． （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论． （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负． 【强化测试】 1．（24-25高三上·天津北辰·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由可得，所以，故充分性成立； 由可得，取，则不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．“幂函数在单调递减”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【答案】A 【解析】若为幂函数，则，解得或， 因为当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：A. 3．（2024·重庆·一模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项，在上单调递增，不合要求，A错误； B选项，定义域为R，且，故不是奇函数，B错误； C选项，令，解得，故的定义域为，则不是奇函数，C错误； D选项，的定义域为R，且， 故为奇函数，且在R上单调递减，在R上单调递增， 故在R上单调递减，则在上单调递减，满足要求，D正确. 故选：D. 4．（24-25高三上·辽宁·期末）若为幂函数，且函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】因为为幂函数，所以，解得或． 当时，，，显然不符合题意． 当时，，的图象关于直线对称，所以． 故选：D 5．已知函数，，则“”是“是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，是增函数， 幂函数是增函数，将其图象向右平移2个单位得的图象，则是增函数， 因此当是增函数时，可以取3， 所以“”是“是增函数”的充分不必要条件. 故选：A 6．（2025·上海·模拟预测）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 7．已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为幂函数在区间上单调递减， 所以，解得， 则函数过定点. 故选：A. 8．（24-25高三下·湖南岳阳·开学考试）已知实数，函数的图象经过点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的图象经过点，所以，则, 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：D 9．（多选题）若函数在定义域A上的值域为，则区间A可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为函数的图象是开口向上的抛物线，以直线为对称轴， 所以函数在区间上单调递减，上单调递增. 当时，函数的最小值为，最大值为，得函数的值域为； 当时，函数的最小值为，最大值为，得函数的值域为； 当时，函数的最小值为， 因为， 所以最大值为，所以函数的值域为； 当时，最小值为， 因为， 所以最大值为，得函数的值域为， 根据以上的讨论可得区间A不可能为. 故选：ABC 10．（多选题）若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】BC 【解析】由题意可知：， 当时，二次函数图象的对称轴为直线， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以，，解得，合乎题意； 当时，二次函数图象的对称轴为直线， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，合乎题意. 故选：BC. 11．（多选题）已知，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的值域为R B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【答案】BC 【解析】当时，，此时的值域为，故A错误； 当时，在R上单调递增，所以，故B正确； 当时，，，定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，故C正确； 当时，，则，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误． 故选：BC 12．（多选题）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【解析】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 13．若点在幂函数的图象上，则的值为 ． 【答案】3 【解析】因为为幂函数，则，，即， 又点在函数的图象上， 则，解得， 所以． 故答案为：. 14．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为幂函数在上单调递增， 则，解得， 正数、满足，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 15．已知函数，且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 ． 【答案】 【解析】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点， 设幂函数，则，解得， 所以． 故答案为：. 16．（2025·云南·模拟预测）已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 【答案】3或4（写对一个即可） 【解析】因为为幂函数， 所以，解得，则， 不等式可化为， 解得，所以符合条件的自然数可以是3或4. 故答案为：3或4（写对一个即可） 17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 【答案】3 【解析】因为是幂函数，所以， 所以或，因为在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 18．函数的值域是 . 【答案】 【解析】令，则， 当且仅当“”取等号，即原函数的值域为. 故答案为：. 19．若函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由已知求导得：， 因为函数在区间上具有单调性， 所以或在上恒成立， 则在区间上，或， 因为在上递增，在上递减， 且， 所以的最大值为，的最小值为， 所以或. 故答案为： 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