大题01 三角函数与解三角形（3大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题01 三角函数与解三角形 三角函数与解三角形是高中数学的重要内容。高考主要考查三角函数的图象及应用、三角函数的性质及应用、三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查,多以选择题和填空题的形式出现，难度中等。 解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档。 题型一 三角函数概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式 已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若为第三象限角，且，求的值. 【解析】 （1）由题意可得. （2）若， 则. （3）因为，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 此类题型考察恒等变形，涉及到三角恒等变形的公式比较多。正切的和差公式，同角的平方关系，诱导公式，还要考虑角的范围问题。 求三角函数值的问题，可依循三种途径： 　　1. 先化简再求值：将式子化成能够利用题设已知条件的最简形式； 　　2. 从已知条件出发：选择合适的三角公式进行变换，推出要求式的值； 　　3. 将已知条件与求值式同时化简再求值。 1．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 【解析】 （1） （2）由（1）知， 则， 则， 故． 2．已知，. (1)求的值； (2)已知，先化简再求值. 【解析】 （1）解法一：因为，则， 因为，联立，得， 解得，所以. 解法二：因为，，所以， 所以，即， 因为， 因为，则，所以，，所以. （2）解法一：因为 ， 由（1）得，所以； 解法二： . 由，解得，，所以， 所以. 题型二：三角函数的图象与性质 已知函数. (1)求的最小正周期及的值； (2)为了得到的图像，需将正弦函数的图像进行怎样的变换？（写出一种即可） (3)求在上的单调递减区间. 【解析】（1）最小正周期，； （2）的图象向左平移个单位得到函数， 的图象上所有点的横坐标缩短到原理的（纵坐标不变），得到， 函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到. （3） ， 则， 当时， ， 所以函数在上的单调递减区间是. 利用图像解题:通过绘制或想象三角函数的图像，可以帮助理解其性质并解决相关问题例如，通过正弦函数的图像可以直观地看出其在不同区间的增减性，从而解决与单调性相关的问题。 特殊值法:在解决某些问题时，可以通过代入特殊值来简化计算。例如，求正弦函数在特定区间的最值时，可以代入区间端点的值进行计算。 平移和伸缩变换:了解函数图像的平移和伸缩变换规则，可以帮助解决与图像变换相关的问题。例如，将正弦函数的图像向左平移个单位长度，会得到余弦函数的图像‌ 1．函数的部分图象如图所示. （1）求及图中的值； （2）求在区间上的值域. 【解析】解：（1）因为的图象过点，所以. 又因为，所以. 因为，所以或，， 所以或. 又因为的最小正周期为，结合的图象可知，所以. （2）由（1）可知， 因为，所以， 所以，则， 即在上的值域为 2．已知函数的最小正周期为． (1)求的值及函数图像的对称中心； (2)设，若使得，求实数b的取值范围． 【解析】（1）， ， ， ， ， ∵周期，∴， ∴， 令，解得， ∴函数图像的对称中心. （2）， ， 令，在上单调递增，∴， ∴， 令，解得 ∴函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的最大值为， ∵使得， ∴， 当时，的图象的对称轴为，函数在时单调递减，所以符合题意， ∴. 题型三 解三角形 在中，角所对的边分别为，且满足 (1)求角的大小； (2)若中线的长为，求面积的最大值. 【解析】 （1）因为， 由正弦定理得， 所以， 所以，                        又因为，所以，所以，                 又因为，所以； （2）因为为中线，所以， 所以， 所以，即（当且仅当时等号成立）， 所以 （当且仅当时等号成立）， 经检验：当时，符合题意；即的最大值为. 1.最值问题:这类问题通常涉及求三角形的最大或最小面积、周长等。解决方法包括使用正弦定理和余弦定理，结合均值不等式、二倍角公式等数学工具进行求解。例如，题目中给出角度和边的关系，可以通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，再利用均值不等式求解 2.恒等变换:这类问题需要利用三角恒等式进行变换和化简。例如，利用三角恒等式展开待求式，求解sinA和cosA的值，再利用正弦定理求解。此外，还可以通过二倍角公式展开，得到所需的结果。 3.图形问题:这类问题通常涉及根据给定的图形条件求解边的长度或角度。解决方法包括使用正弦定理和余弦定理。例如，已知两边及其夹角，可以直接使用余弦定理求第三边的长度;已知角度和一边，可以使用正弦定理求另一边的长度。 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求角A； (2)若的面积为，求a的最小值． 【解析】 （1），， 又结合正弦定理可得：， ，，， ，． （2）由（1）可知，， ，， 由（当且仅当时取等）， ，即a的最小值为2. 2．已知在中，的对边分别为，满足． (1)若，求的面积； (2)已知向量，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理对等式化简得到角，由向量的数量积公式求得，再由三角形面积公式求得结果； （2）利用向量平行建立等式求得的正弦值，利用和差角公式即可求得的值. 【详解】（1）， ， ， ， ， ． ，． ，． ． （2），且，， ， ， ． 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【解析】 （1）因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． （2）由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． （3）由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 1．（2025·四川·二模）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值. (2)若，求边上的高的取值范围. 【解析】 （1）因为，所以， 所以， 又因为，所以， 应用正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以得出， 所以， 设边上的高为，， . 2．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 【解析】 （1） ， 因为且函数的最小正周期为，故. （2）当时，. 若时，， 当时，函数取得最大值，即.     而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得，    ①当时，可得，则有，解得；     ②当时，可得，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，的取值范围为. 3（2024·河南·模拟预测）.已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值. 【解析】 （1）， 令，得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由于，所以， 所以，即，所以， 则. 4．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 【解析】 （1）当时，，由，得， 则，， 所以函数的值域是. （2）由，得，解得， 当时，而，则， 又函数在内有极小值，无极大值，则， 解得，于是或 ，解得或， 当时，，又，无解； 当时，，又，则； 当时，，又，则； 当时，，又，无解， 所以的值是7或15. 5．（2024·山西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及其对称轴方程； (2)由函数的图象经过怎样的平移变换能得到函数的图象？当时，求的值域. 【解析】 （1）由图象与知，，设的最小正周期为， 则，又，则，解得， 则，又的图象经过点，故得， 则，故，又，得， 所以，故其对称轴方程为. （2）将函数的图象向左平移个单位 可得的图象， 当时，， 所以，即的值域为. 6．（2024·四川泸州·一模）设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的最大值为，求的值． 【解析】 （1）由题设及正弦边角关系，有， 所以， 整理得，即， 显然不合题设，则， 所以，而，可得. （2）由，可得，， 所以， 由（1）知：，则 ， 由，则，又的最大值为， 所以，可得（负值舍）， 综上，. 7．（2024·新疆·模拟预测）在△中，角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【解析】 （1）因为，由正弦定理边化角得： ， 因式分解得：， 因为，所以， 则，解得， 又因为，所以或； （2）因为，所以， 由正弦定理边化角可得： ， 因为，所以，即， 故的取值范围是. 8．（2024·广东东莞·模拟预测）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知向量，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【解析】 （1）由，得，由正弦定理，得， 即， 而，，则， 又，. （2）由正弦定理得：，则，， ， 由锐角，得，即，， 因此，即， 所以周长的范围为. 1（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】 （1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 3．（2024·广东江苏·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【解析】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 4．（2024·全国·高考真题）已知锐角中，， (1)求证：； (2)设，求AB边上的高. 【解析】 （1）由，得， 即，两式相除得， 所以. （2）在锐角中，，，则，， 即有，将代入上式并整理得， 而，解得，， 设边上的高为，则， 由，得，所以边上的高等于 5．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】 （1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 6．（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【解析】 （1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 7．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【解析】 （1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 10 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题01 三角函数与解三角形 三角函数与解三角形是高中数学的重要内容。高考主要考查三角函数的图象及应用、三角函数的性质及应用、三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查,多以选择题和填空题的形式出现，难度中等。 解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档。 题型一 三角函数概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式 已知. 此类题型考察恒等变形，涉及到三角恒等变形的公式比较多。正切的和差公式，同角的平方关系，诱导公式，还要考虑角的范围问题。 求三角函数值的问题，可依循三种途径： 　　1. 先化简再求值：将式子化成能够利用题设已知条件的最简形式； 　　2. 从已知条件出发：选择合适的三角公式进行变换，推出要求式的值； 　　3. 将已知条件与求值式同时化简再求值。 1．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 2．已知，. (1)求的值； (2)已知，先化简再求值. 题型二：三角函数的图象与性质 已知函数. (1)求的最小正周期及的值； (2)为了得到的图像，需将正弦函数的图像进行怎样的变换？（写出一种即可） (3)求在上的单调递减区间. 利用图像解题:通过绘制或想象三角函数的图像，可以帮助理解其性质并解决相关问题例如，通过正弦函数的图像可以直观地看出其在不同区间的增减性，从而解决与单调性相关的问题。 特殊值法:在解决某些问题时，可以通过代入特殊值来简化计算。例如，求正弦函数在特定区间的最值时，可以代入区间端点的值进行计算。 平移和伸缩变换:了解函数图像的平移和伸缩变换规则，可以帮助解决与图像变换相关的问题。例如，将正弦函数的图像向左平移个单位长度，会得到余弦函数的图像‌ 1．函数的部分图象如图所示. （1）求及图中的值； （2）求在区间上的值域. 2．已知函数的最小正周期为． (1)求的值及函数图像的对称中心； (2)设，若使得，求实数b的取值范围． 题型三 解三角形 在中，角所对的边分别为，且满足 (1)求角的大小； (2)若中线的长为，求面积的最大值. 1.最值问题:这类问题通常涉及求三角形的最大或最小面积、周长等。解决方法包括使用正弦定理和余弦定理，结合均值不等式、二倍角公式等数学工具进行求解。例如，题目中给出角度和边的关系，可以通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，再利用均值不等式求解 2.恒等变换:这类问题需要利用三角恒等式进行变换和化简。例如，利用三角恒等式展开待求式，求解sinA和cosA的值，再利用正弦定理求解。此外，还可以通过二倍角公式展开，得到所需的结果。 3.图形问题:这类问题通常涉及根据给定的图形条件求解边的长度或角度。解决方法包括使用正弦定理和余弦定理。例如，已知两边及其夹角，可以直接使用余弦定理求第三边的长度;已知角度和一边，可以使用正弦定理求另一边的长度。 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求角A； (2)若的面积为，求a的最小值． 2．已知在中，的对边分别为，满足． (1)若，求的面积； (2)已知向量，且，求的值． 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 1．（2025·四川·模拟）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求的值. (2)若，求边上的高的取值范围. 2．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 3．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值. 4．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 5．（2024·山西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及其对称轴方程； (2)由函数的图象经过怎样的平移变换能得到函数的图象？当时，求的值域. 6．（2024·四川泸州·一模）设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若的最大值为，求的值． 7．（2024·新疆·模拟预测）在△中，角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 8．（2024·广东东莞·模拟预测）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知向量，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围. 1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 3．（2024·广东江苏·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 4．（2024·全国·高考真题）已知锐角中，， (1)求证：； (2)设，求AB边上的高. 5．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 6．（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 7．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$