精品解析：湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

2025年临湘市高二下学期数学入学考试试卷 一、单选题（每小题5分，共8小题，总分40分） 1. 若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（ ） A. 33 B. 31 C. 39 D. 27 2. 已知等差数列的项数为，若该数列前3项的和为3，最后三项的和为63，所有项的和为110，则n的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 已知倾斜角为的直线过，两点，则（　　） A. B. C. D. 4. 方程(x+y-1)=0所表示的曲线是 A B. C. D. 5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（ ） A. 24294 B. 24296 C. 24298 D. 24300 6. 已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，直线，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（ ） A 3 B. 4 C. D. 8. 设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（ ） A. 4050 B. 4049 C. 4048 D. 4047 二、多选题（每小题5分，共4小题，总分20分） 9. 已知数列，则下列说法正确的是 （ ） A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第23项 C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第25项 10. 设，过定点动直线，和过定点的动直线交于点是圆上的任意一点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与圆相切时 B. 到距离的最大值是 C. 直线与圆相交的最短弦长为 D. 的最大值为 11. 设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 最大值为 D. 的最小值为 12. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，分别是线段，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 与所成角的余弦值为 D. 与平面所成角的正弦值为 三、填空题（每小题5分，共4小题，总分20分） 13. 已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则_________. 14. 已知等差数列的前项和为，且，，则______，______. 15. 在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为______. 16. 双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的渐近线方程为______． 四、解答题（共5小题，总分70分） 17. 设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． （1）已知，，求及d； （2）已知，，求． 18. 已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值. 19. 已知数列前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 20. 已知数列的首项为，且满足 （1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 21. 设分别是椭圆的左、右焦点． （1）若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标； （2）设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年临湘市高二下学期数学入学考试试卷 一、单选题（每小题5分，共8小题，总分40分） 1. 若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（ ） A. 33 B. 31 C. 39 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】对运动方程求导，得到导函数，导函数中代入时间数据，即得到物体的瞬时速度. 【详解】由已知可得，所以， 所以时物体的瞬时速度是. 故选：. 2. 已知等差数列项数为，若该数列前3项的和为3，最后三项的和为63，所有项的和为110，则n的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【详解】设这个数列有n项，则，， 因此，即， 则，解得 故选：A 3. 已知倾斜角为的直线过，两点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率公式与斜率定义求解即可 【详解】由题意知，即． 故选A． 4. 方程(x+y-1)=0所表示的曲线是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得方程，得或，且 ，所以方程所表示曲线为选项D，故选D． 考点：曲线与方程． 5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（ ） A. 24294 B. 24296 C. 24298 D. 24300 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得数列为等差数列，则得到其通项公式，代入计算即可. 【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列， 构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 则. 故选：C. 6. 已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合点到面的距离公式运算求解. 【详解】由题意可得：，平面的法向量为， 所以点到平面距离为. 故选：A. 7. 已知抛物线，直线，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过直线l过定点A，得到P在以AF为直径的圆上，将Q到P的距离转化为到圆心的距离，再结合抛物线的定义即可求出的最小值. 【详解】因为直线，即，过定点，记作点A， 因为，垂足为，所以，又， 故点P的轨迹为以为直径的圆，半径，圆心为，记作点B， 又因为Q在抛物线上，其准线为， 所以等于Q到准线的距离， 过点Q做准线的垂线，垂足为R，要使取到最小，即最小， 此时，三点共线，且三点连线后直线过圆心B，如图所示， 此时. 8. 设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（ ） A. 4050 B. 4049 C. 4048 D. 4047 【答案】B 【解析】 【分析】变形得到，从而为等差数列，得到，累加法得到，从而，得到，当时，，故，从而求出答案. 【详解】， 故为公差为2的等差数列，首项为， 所以， 则 ， 故， 故，当时，，故， 所以数列的前2024项之和为. 故选：B 二、多选题（每小题5分，共4小题，总分20分） 9. 已知数列，则下列说法正确的是 （ ） A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第23项 C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第25项 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件求得数列通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】数列， 所以，A选项正确，C选项错误. ，B选项正确， ，D选项错误. 故选：AB 10. 设，过定点的动直线，和过定点的动直线交于点是圆上的任意一点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与圆相切时 B. 到距离的最大值是 C. 直线与圆相交的最短弦长为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据时直线也与圆相切，可判断A选项；根据几何知识得到当时到的距离最大，然后求最大值，可判断B选项；根据几何知识得到当时所得弦长最短，然后得到此时的直线的方程，最后求弦长，可判断C选项；根据几何知识得到点的轨迹，然后利用三角函数或不等式的方法求最值，可判断D选项. 【详解】显然当时直线也与圆相切，故错误； 直线过的定点为，当时到的距离最大，最大值为，此时到距离的最大值为，故B正确； 由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当时所得弦长最短，则，又，所以，得，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故正确； 由，当时，，有，当时，，则，所以，又点是两直线的交点，所以，所以， 法一：设，则，因为，所以，所以，故D错误. 法二：因为， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC. 11. 设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式推导出、，结合不等式的基本性质可判断A选项；根据A选项可得出关于的不等式组，解出的范围，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；分析数列的单调性，可判断D选项. 【详解】等差数列的公差为，前项和为，，，， 对于A选项，，可得， ，可得，则，A对； 对于B选项，，解得， ，解得， 因此，的取值范围是，B错； 对于C选项，因为，所以，数列为单调递减数列，且， 当且时，， 当且时，， 所以，的最大值为，C错； 对于D选项，因为数列为单调递减数列， 且当且时，，此时，，则， 当且时，，此时，数列单调递减， 当且时，，此时，， 当且时，，此时，， 所以，要考虑的最小值，只需考虑即可， 当时， ，即，此时数列单调递增， 所以，的最小值为，D对. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项要考查的最小值，最好是确定的符号，锁定取负值时的取值，再结合数列的单调性分析即可. 12. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，分别是线段，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 与所成角的余弦值为 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，利用向量法对选项A、C和D逐一分析判断即可得出结果，对于选项B，通过条件得到，再利用线面平行的判定定理即可得出结果. 【详解】如图，取中点，中点，连接， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 易知，故可建立如图所示的空间直角坐系， 又棱长均为，， 则， 所以，又，所以， 对于选项A，因为，得， 所以，即有，故选项A正确， 对于选项B，因为是线段的中点，又是与的交点，则为的中点， 所以，又面，面，所以平面，故选项B正确， 对于选项C，因为，， 设与所成的角为，则， 故选项C错误， 对于选项D，易知平面的一个法向量为，又， 设与平面所成的角为， 则，故选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共4小题，总分20分） 13. 已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义有，即可求参数a的值. 【详解】因为，根据题意有，解得. 故答案为： 14. 已知等差数列的前项和为，且，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先确定公差，再利用等差数列性质求，最后得到. 【详解】由于，. 故的公差满足 从而，得，所以，得. 这意味着，所以. 从而，代入得. 故答案为：； 15. 在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据光学性质可得，进而根据可得，故，结合双曲线的定义，以及相似即可求解. 【详解】 过点作于点，延长交的延长线于点，设上有一点， 由题意可得，， 又，所以，所以，故， 由双曲线定义可得，故， 因为，，所以，故， 故离心率为， 故答案为：. 16. 双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的渐近线方程为______． 【答案】． 【解析】 【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，进一步判断是等边三角形，在中利用余弦定理可得，即可得出关系，继而得出关系，求出渐近线方程. 【详解】根据题意，作出如下所示的图形， 由题可知，，由，∴∽，∴， 设，则， ∵平分，∴ ， ∴，，， 由双曲线的定义知，， ∴，即①， ， ∴，∴，即是等边三角形， ∴， 在中，由余弦定理知， ，即， 化简得，②， 由①②可得，， 则， 可得双曲线的渐近线方程为． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的渐近线的求解，解题的关键是利用已知结合双曲线的定义求出关系. 四、解答题（共5小题，总分70分） 17. 设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． （1）已知，，求及d； （2）已知，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【小问1详解】 解得： 【小问2详解】 解得： 18. 已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切. （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆方程； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案. 【小问1详解】 设圆心为，半径为, 则由题意得，故该圆的方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为， 由垂径定理得：，解得. 19. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可. （3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可. 【小问1详解】 ，，当时，， 两式相减得，即， 则有，当时，，则，即， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，，则，数列是等差数列， 于是，解得，则， 所以的前项和 . 【小问3详解】 由（1）知，， 由成等差数列，得，整理得， 由，得，又，，不等式成立， 因此，即，令，则, 从而，显然，即， 所以存在，使得成等差数列. 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 20. 已知数列的首项为，且满足 （1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 【答案】（1）证明见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义分析怎么，再根据等差数列通项公式求； （2）分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法运算求解. 【小问1详解】 因为，且，可知， 可得，即， 可知数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若n为偶数，则； 若n为奇数，则； 综上所述：. 21. 设分别是椭圆的左、右焦点． （1）若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标； （2）设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)求出椭圆的a、b、c，设，利用平面数量积的坐标表示和即可求解； (2)设直线的方程和，联立椭圆方程，根据和为锐角可得，结合韦达定理代入化简计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 所以，设， 则， 又，有，解得， 所以； 【小问2详解】 显然不满足题意，设直线的方程为，设， ， ，解得，① ， 则， 又为锐角，AOB不共线，则，即，， 所以 ， 解得，② 由①②，解得或， 所以实数k的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$