大题03 数列以及求和（8大题型）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题03 数列 根据近几年的高考情况，数列的通项公式和数列前n项的和仍是高考的必考点。虽然在2024年的九省联考中没有考查数列的解答题，但在最近的学期中和学期末考试中仍考查这部分内容，尤其是数列与其他知识的联系以及新定义的题目越来越多了，已成为一个数列命题的热点，并且在2025年的八省联考中也有数列大题的考查。数列在高考中，题型相对固定多为一个单选（提空）加一个解答题，非解答题易考查数列通项公式和前n项和，解答题第一问多考查基本量的运算以及与的关系，第二问常考查数列与不等式、概率、新定义的综合问题。全面考察学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养。 题型1 运用等差和等比数列基本量求数列通项公式、求前n项和 （23-24高三下·天津·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和； (3)若数列满足：，求． 1.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列是首项为的等差数列，其前n项的和为，数列是首项为1的等比数列，且. (1)求，； (2)设，证明数列为等比数列； (3)求的前项的和. 2.（24-25高三上·天津·阶段练习）在公差不为零的等差数列和等比数列中，为的前项和．已知，，且是与的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求； (3)求． 题型二：运用与的关系求数列通项公式、求前n项和 （24-25高三上·天津·阶段练习）数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，，数列的前项和为，若对 ，恒成立，求实数的取值范围. 1．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知数列满足，（），数列的前n项和为，满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 2．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列. (1)求数列和的通项公式. (2)记，求数列的前项和. (3)记，求. 题型三：通过递推关系求数列通项公式、求前n项和 （2024·天津河西·一模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求证：； (3)求的值． （23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知数列满足，记． (1)求的值； (2)证明，并求数列的通项公式； (3)若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 题型四：运用构造法求数列通项公式、求前n项和 （2022·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. （20-21高三上·天津滨海新·期中）已知数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列.数列的前项和为，满足，且. （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前项和为； 题型五：运用累加法、累乘法求数列通项公式、求前n项和 （22-23高三上·天津南开·阶段练习）已知等差数列满足，.数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 1.（2022·天津滨海新·模拟预测）已知数列是等比数列，公比大于0，其前项和为，，，数列满足 ，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)设，数列的前项和为，求证：． 2.（2021·天津红桥·二模）已知等比数列的公比为3，且． （1）求数列的通项公式，及前项和； （2）若数列满足，且 ①求数列的通项公式； ②求． 题型六：裂项相消求和、错位相减求和 （2023·天津·一模）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 1.（24-25高三上·天津·期中）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和. 2.（2021·天津南开·二模）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和．记，求； (3)求． 题型七：分组（并项）法求和（含分奇偶） （24-25高三上·天津北辰·期末）已知为公比大于0的等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足.其中. （i）求及； （ii）求. 1.（24-25高三上·天津·期中）设是等比数列，公比大于0，其前项和为是等差数列.已知. (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和为， （i）求； （ii）证明 2.（2021·天津河北·一模）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 题型八：数列与不等式结合 （2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)的前n项和，求证： 1.（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 2.（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 2．（2024·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式及； （ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 3．（2024·天津和平·二模）已知为等差数列的前n项和，，． (1)若为数列的前n项和，求； (2)等差数列满足，数列满足． （i）求数列与数列的通项公式； （ii）求． 4．（2024·天津河西·二模）已知数列的首项，且满足，的前项和为. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)在数列中，，，求数列的通项公式及. 5．（2024·天津河北·二模）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：. 6．（2024·天津河西·模拟预测）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去. (1)求操作1次后桶中的水量； (2)求操作次后桶中的水量； (3)至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，） 7．（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且． (1)求数列和的通项公式； (2)若 ①当为奇数，求； ②求． 8．（2024·天津·一模）已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. (1)求和的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 9．（2024·天津·模拟预测）已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和： (3)设，求数列的前项和． 10．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知数列满足，数列的首项为2，且满足 (1)求和的通项公式 (2)记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围． (3)设，证明：． 11．（23-24高三上·天津东丽·期中）设是等差数列，是等比数列．已知，，， (1)求和的通项公式以及 (2)设，数列的前项和为，证明：； (3)设，求数列的前项和 1．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2.（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 7．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 8．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题03 数列 根据近几年的高考情况，数列的通项公式和数列前n项的和仍是高考的必考点。虽然在2024年的九省联考中没有考查数列的解答题，但在最近的学期中和学期末考试中仍考查这部分内容，尤其是数列与其他知识的联系以及新定义的题目越来越多了，已成为一个数列命题的热点，并且在2025年的八省联考中也有数列大题的考查。数列在高考中，题型相对固定多为一个单选（提空）加一个解答题，非解答题易考查数列通项公式和前n项和，解答题第一问多考查基本量的运算以及与的关系，第二问常考查数列与不等式、概率、新定义的综合问题。全面考察学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养。 题型1 运用等差和等比数列基本量求数列通项公式、求前n项和 （23-24高三下·天津·阶段练习）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和； (3)若数列满足：，求． 【解析】（1）设公差为，公比为， ，，，解得或， ，，故数列的通项公式为， ，， ，，解得，， 故数列的通项公式为； （2）根据题意，， 则，① ，② ①－②： ， 所以； （3）根据题意，， 则 ． 此类题型考察等差数列和等比数列的基本量和性质。 1.（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列是首项为的等差数列，其前n项的和为，数列是首项为1的等比数列，且. (1)求，； (2)设，证明数列为等比数列； (3)求的前项的和. 【解析】（1）设的公差为，的公比为. 由；；， 可得，解得或（舍去）， 故 . （2）等差数列前项和为 又 所以化简得 所以是以7为首项，2为公比的等比数列. （3）令 其前项和两式相减得： 2.（24-25高三上·天津·阶段练习）在公差不为零的等差数列和等比数列中，为的前项和．已知，，且是与的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求； (3)求． 【解析】（1）设的公差为，的公比为． 由题意得，即， ∵，∴，∴，∴． ∵，∴，∴．∴． （2）， ∴，① ∴，② ①－②得， ， ∴． （3）． 当n为偶数时， ； 当n为奇数时， ， ∴ 题型二：运用与的关系求数列通项公式、求前n项和 （24-25高三上·天津·阶段练习）数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，，数列的前项和为，若对 ，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）， ①， 当时，；当时，②， 由①-②得：，即， 又时也满足， 是以1为首项，3为公比的等比数列，. （2）由（1）知：， ， 则 ，又在时单调递增，. 对，恒成立， ，即， ，. 又，即. 1.数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解． 2.已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用＝求出. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　 1．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知数列满足，（），数列的前n项和为，满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【解析】（1）因为，所以， 所以，又， 故数列是首项为3，公比为3的等比数列． 所以，即， 由可得当时，， 故，所以 当时，也符合要求， 故． （2）由题可得， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 2．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列. (1)求数列和的通项公式. (2)记，求数列的前项和. (3)记，求. 【解析】（1）当时，，解得. 当时，， 所以， 即是以首先，公比为的等比数列，即. 因为，成等比数列， 所以，即，解得. 所以. （2）由（1）得 ， 则 （3）， 因为， 设，前项和为， 则， ， . 所以 题型三：通过递推关系求数列通项公式、求前n项和 （2024·天津河西·一模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求证：； (3)求的值． 【解析】（1）由，得①，则②， ②①得，整理得， 由，得， 又时，，解得， 所以数列是首项为1公差为2的等差数列，则， 即数列的通项公式为； 设等比数列公比为，由，有，， 则， ，解得，则， 即数列的通项公式为. （2）由，得， 则， 所以. （3）设， ， ， 设，， 则， ， 两式相减，得 ， 则有，得， 所以. （23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知数列满足，记． (1)求的值； (2)证明，并求数列的通项公式； (3)若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意可知：， 所以， 即； （2）由题意可知：， 所以， 结合（1）可知是以为首项，为公比的等比数列，所以， 即, 又， 故，即； （3）记，由（2）结论可知 ， 记①， 则②， ①②得：， 所以， 则恒成立， 易知单调递增， 所以，即. 题型四：运用构造法求数列通项公式、求前n项和 （2022·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)求证：对任意的，. 【解析】（1）解：设等差数列的公差为， 因为， 则， 解得或（舍去）， 所以； （2）证明：因为， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以； （3）证明：由（2）得， 故 ， 所以. 常见几种构造数列的形式： （20-21高三上·天津滨海新·期中）已知数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列.数列的前项和为，满足，且. （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前项和为； 【解析】（1）由已知，得， 即，也即，解得，， 故； ，，可得是首项为1，公差为的等差数列， ，， 当时，， 经检验时也符合上式. 则，； （2）， 设， 所以， 两式相减得= 所以， 所以. 题型五：运用累加法、累乘法求数列通项公式、求前n项和 （22-23高三上·天津南开·阶段练习）已知等差数列满足，.数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【解析】（1）依题意，设等差数列的首项为，公差为， 因为，， 所以， 解得，所以； 因为，，，…， 是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 所以， 所以， 所以； （2）由（1）知， ， 令，其前项和为；，其前项和为； 因为的前项和为，所以. 现在分别求，： 因为，所以数列是以为首项，公差为3的等差数列， 所以； 因为 所以①， 所以②， 由①②得：， 所以， 整理得； 所以， 即数列的前n项和. 1.形如：an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项，例如a1＝1，＝2n. 2.形如：an＋1＝an＋f(n)的数列可利用累加法求通项，例如a1＝1，an＋1＝an＋2n. 1.（2022·天津滨海新·模拟预测）已知数列是等比数列，公比大于0，其前项和为，，，数列满足 ，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)设，数列的前项和为，求证：． 【解析】（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为， ，由，得，，解得，则. 由，且， 当，，即 当时，，又， 两式相减可得 方法一：化为 （方法二：化为，累乘） 所以，上式对也成立，所以，． （2）设 （3）， 设， 则， 两式相减得 整理得， 则． 2.（2021·天津红桥·二模）已知等比数列的公比为3，且． （1）求数列的通项公式，及前项和； （2）若数列满足，且 ①求数列的通项公式； ②求． 【解析】（1）由等比数列的公比为3， ，解得 所以， （2）①由，且， 当，，即 当时，，又， 两式相减可得 方法一：化为 （方法二：化为，累乘） 所以，上式对也成立，所以，． ② ， ， 上面两式相减可得 ， 化简可得. 题型六：裂项相消求和、错位相减求和 （2023·天津·一模）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 【解析】（1）设的公差为，的公比为，则，. 由等比数列性质可得，又，， 所以， 所以，解之得或， 当时，，则，， 即与矛盾，故舍去； 当时，，则，， 所以,，满足题意； 所以，. （2）设， ， 设， 则，， 两式相减得， 所以，即. （3）证明：， ， ， 因为，易知随着的增大而增大， 所以，， 所以. 1.常见的几种裂项相消的形式 2．如果数列{}是等差数列，{}是等比数列，求数列{·}的前n项和时，常采用错位相减法． 3．错位相减法求和时，应注意： (1)在写出“”与“q”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“－q”的表达式． (2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式＝n. 1.（24-25高三上·天津·期中）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前项和； (3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和. 【解析】（1）依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. （3）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列， 且，， 又因为， 所以数列的前项由中的前项和中的前项构成， 所以 . 2.（2021·天津南开·二模）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和．记，求； (3)求． 【解析】（1）设数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q的等比数列，公比大于0，其前n项和为． 已知，所以，解得，则， 由于，所以，，解得，则. （2）由（1）知：，所以， 所以. （3）由（2）得，设， 所以①，②， ①②得：， 整理得. 题型七：分组（并项）法求和（含分奇偶） （24-25高三上·天津北辰·期末）已知为公比大于0的等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足.其中. （i）求及； （ii）求. 【解析】（1）的公比为， 因为， 可得，解得或（舍去）， 所以 （2）（i）由（1）可知， ， 当时，，可知为等差数列， （ii）由（i）可知，当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 记 则， ， ①， ②， ①－②得， ， ， 1.（24-25高三上·天津·期中）设是等比数列，公比大于0，其前项和为是等差数列.已知. (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和为， （i）求； （ii）证明 【解析】（1）设等比数列的公比为q. 由，可得，因为，可得，故. 设等差数列的公差为d，由，可得 由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为 （2）（i）由（1），有， 故. （ii）因为， 所以. 即证. 2.（2021·天津河北·一模）已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，． （2）由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以. （3）设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 . 题型八：数列与不等式结合 （2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)的前n项和，求证： 【解析】（1）记数列的公差为，数列的公比为，， 由题知，，解得，所以. 由，解得或（舍去），所以. （2）由（1）可知， 则， ， 两式相减得， 所以， 记，则， 所以单调递减，所以，且， 所以，即. 数列与函数、不等式的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解. 1.（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以数列是以为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 则， 故， ， 而随的增大而减小， 所以， 随的增大而增大， 所以， 因为对任意的，都有， 所以. 2.（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比; (2)求; (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； （2）由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； （3）设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 因为，所以． 又因为，则， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，. 2．（2024·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式及； （ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）（1）方法一： 当时，， 则， 为等比数列，等比数列的公比为3， 当时， 解得：． 方法二： 设公比为为等比数列 解得或3 ，，， （2）（2）（ⅰ） 设 两式相减得 方法二： 设 两式相减得 （ⅱ）假设存在满足题意的3项， 成等比数列，，即 成等差数列，， 整理可得：，又， 即，解得：，则，与题设矛盾。 假设错误，即不存在满足题意的3项． 3．（2024·天津和平·二模）已知为等差数列的前n项和，，． (1)若为数列的前n项和，求； (2)等差数列满足，数列满足． （i）求数列与数列的通项公式； （ii）求． 【解析】（1）设数列公差为，由公式，， 有，求得，即，所以． 设，前项和为，． 当时，． 当时，． 所以 （2）（ⅰ）设数列公差为，由（1）得，又， 即，解得，所以． （ⅱ）， 设， ，① ，② ①－②得， ． 所以，． 设， 所以，． ． 所以，． 4．（2024·天津河西·二模）已知数列的首项，且满足，的前项和为. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)在数列中，，，求数列的通项公式及. 【解析】（1）∵，∴， 即，又， ∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴，. （2）， ∴， 由，得， ∴恒成立，， 当且仅当时取等，此时解得， 所以实数的取值范围是. （3）由，， ∴， 数列的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列， 偶数项为以2为首项，4为公比的等比数列， ， 设， ， 两式相减得， ∴， 所以. 5．（2024·天津河北·二模）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：. 【解析】（1）由题意， ， 又是和的等比中项，得， 又，解得， ； （2）， 设， 则， 将以上两式相减得 ， ； （3） ， ， . 结论得证. 6．（2024·天津河西·模拟预测）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去. (1)求操作1次后桶中的水量； (2)求操作次后桶中的水量； (3)至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，） 【解析】（1）记桶中的水量为，桶中的水量为，， 所以. （2）根据题意可得：，， 所以，所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， ，所以. （3），， 令，得，两边取对数， 得， 所以至少经过5次操作，才能使桶中的水量与桶中的水量之差小于. 7．（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且． (1)求数列和的通项公式； (2)若 ①当为奇数，求； ②求． 【解析】（1）设数列的公差为的公比为， 由已知可得，得， ； （2）①为奇数，为偶数． ； ②当为偶数，为奇数， 令， ， 即， ， 所以 所以 所以 所以. 8．（2024·天津·一模）已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. (1)求和的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 【解析】（1）因为， 所以，即，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 设正项等比数列的公比为，由，解得或（舍去）， 又是与的等差中项，所以 ，即， 即，解得（负值舍去）， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. （3）由（1）可得 ， 所以 当为偶数时 ， 当为奇数时 ， 综上可得. 9．（2024·天津·模拟预测）已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和： (3)设，求数列的前项和． 【解析】（1）设数列的公比为，则由条件得， 又，可得，则， 因为，解得，故． 对于，当时，， 当时，由得， 所以可得，可得，且也适合，故， 所以，，即和的通项公式分别为，. （2）因为， 所以 ． （3）由（1）可得， 所以①， 所以②， ①②得 ，所以. 10．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知数列满足，数列的首项为2，且满足 (1)求和的通项公式 (2)记集合，若集合的元素个数为2，求实数的取值范围． (3)设，证明：． 【解析】（1）由可得： 时，，相减可得，故， 当时，也符合上式，故， 由可得，所以数列为公差为0的等差数列，且首项为2， 所以，则. （2）由和可得， 记，则， 所以， 当时，，当时，，此时单调递减， 而,由于集合M的元素个数为2，所以，故. （3）由得，， 由于， 因此. 11．（23-24高三上·天津东丽·期中）设是等差数列，是等比数列．已知，，， (1)求和的通项公式以及 (2)设，数列的前项和为，证明：； (3)设，求数列的前项和 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，，， 所以有， ； （2）， ； （3）因为， 所以有，， 两式相减，得， . 1．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 2.（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解析】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【解析】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【解析】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此，所以当时，. 7．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 所以， （2）因为，，成等比数列， 所以， ， ， 由已知方程的判别式大于等于0， 所以， 所以对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 当时，， 当时，由，可得 当时，， 又 所以 8．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【解析】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$