大题预测05（A+B+C三组解答题）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题预测05（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 已知函数为的导函数，当时， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； 16．（15分） 从①；②这两个条件中选一个补充到下面的横线并作答． 问题：在锐角中，内角所对的边分别为，，，且______． (1)求； (2)求的取值范围． 17．（15分） 已知三棱柱中，，，， (1)求证：平面平面 (2)若，且是的中点，求平面和平面的夹角的正弦值． 18．（15分） 已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列． (1)求与的通项公式； (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和． 19．（16分） 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求面积的最大值. 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 16．（15分） 已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面.    (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（15分） 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前2n项和. 19．（16分） 如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 (1)求双曲线C的标准方程; (2)证明：点P为线段MN的中点; (3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． (1)求岸线上点A与点B之间的直线距离； (2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 16．（15分） 已知为等差数列，数列满足. (1)若，，求数列的前项和； (2)若数列是首项为9的等比数列，求数列的前项和. 17．（15分） 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），且面积的最大值为2．将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图1，2所示． (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求折叠后，平面与平面所成锐二面角的余弦值； 18．（15分） （24-25高三上·贵州贵阳·期末）折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：如图，用圆形纸片，按如下步骤折纸． 步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点标记为； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点； 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条折痕和越来越多的交点． 现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．    (1)求曲线的标准方程； (2)已知点，点A，B是曲线上两个不同的动点（不在轴上），直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点． 19．（16分） 设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求a的取值范围； (3)若，证明． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题预测05（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 已知函数为的导函数，当时， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； 【解析】（1）当时，，故，........................................1 ，，切点为，..................................................................................3 曲线在点处的切线方程为，即；.................5 （2）因为，， ，.......................................................................8 令，解得，..............................................................................................................9 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，.........................................................11 是极小值点，极小值为，无极大值；............................................................................13 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值；.................14 16．（15分） 从①；②这两个条件中选一个补充到下面的横线并作答． 问题：在锐角中，内角所对的边分别为，，，且______． (1)求； (2)求的取值范围． 【解析】（1）若选①，则， ，， ， ， ，，而，．.........................................................7 若选②，， ，， ，， 而，，．.............................................................................................7 （2）.......................................................9 为锐角三角形， ，解得，....................................................................................12 ，，...........................................................................................14 的取值范围为．.......................................................................................15 17．（15分） 已知三棱柱中，，，， (1)求证：平面平面 (2)若，且是的中点，求平面和平面的夹角的正弦值． 【解析】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，而， 则平行四边形是菱形，连接， 如图，则有， 因为，，平面， 所以平面，而平面，则，......................................................3 由，得，又，平面， 从而得平面，又平面，所以平面平面；................................5 （2）在平面内过作， 由（1）知平面平面，平面平面，平面 则平面，................................................................................................................................6 以为原点，以射线分别为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系，..............7 如图，因为，， 所以为等边三角形， 又是的中点，则⊥，故， 由勾股定理得， 又，...............................................................................9 则，，，，， 则有，．.......................................................10 设平面的一个法向量，则有，解得：， 令得，而平面的一个法向量，..................................................12 依题意，，...................................................13 设平面和平面的夹角的夹角是， 则，， 所以平面和平面的正弦值为................................................................................15 18．（15分） 已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列． (1)求与的通项公式； (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和． 【解析】（1）由得， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以． 依题意，，， 解得，所以．...............................................................................................................7 （2）设，则，其中 注意到当k为正奇数， 能被3整除，则，，此时不能被3整除................................11 为正偶数时，不能被3整除， 则，其中t为正奇数， 则数列和的公共项从小到大依次为：，，，，…， 所以，，，，…构成首项为2，公比为4的等比数列，..................................................................14 所以，则..................................................................................15 19．（16分） 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求面积的最大值. 【解析】（1）依题意，右焦点，则左焦点，而，轴， 则，于是，.............................................3 解得，，所以椭圆的方程为...................................................5 （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，.......................................6 由消去并整理得， ，解得， 设，则..................................................10 则面积，................................11 令，则，且，...............................................................................................13 ，当且仅当，即时取等号，..................................15所以面积的最大值为....................................................16 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 【详解析】（1）解法1：因为，由正弦定理得， 即， 因为，则，故；..........................................................................................6 解法2：因为，由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. （2）因为，且，则，...................................................7 ，所以，......................................................................................8 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以，..........................................................................12 因此，于是的周长.........................................................................14 16．（15分） 已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 【解析】（1），.........................................................................................................1 当时，，在上为增函数；............................................................................3 当时，， 令，得；令，得，....................................................5 在上为增函数，在上为减函数．.......................................6 （2）无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方， 即为恒成立，即，则，恒成立，...................................8 令，， ，.................................................................................10 令，得；令，得， 则在上为增函数，在上为减函数， ，.............................................................................................13 则．..................................................................................................15 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面.    (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）过作于，因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，，所以， 又因为，所以△为等边三角形，............................................2 取的中点，连接，则，即， 因为，所以， 因为底面，所以，，两两互相垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，................4 则， 所以，0，，，0，，，1，，，， 所以，，，............................................................5 设平面的法向量为， 则，令，则，所以，.......................................7 所以点到平面的距离为；......................................................................9 （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则，所以，......................................12 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为．.........................................................................15    18．（15分） 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，. (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前2n项和. 【解析】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为， 由，，，，可得，， 解得：负的舍去， 则，；........................................................................................................4 （2）数列的前n项和， ， 两式相减可得， 化为；.....................................................................................................10 （3）， 则数列的前2n项和 ..........................................................................................15 19．（16分） 如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 (1)求双曲线C的标准方程; (2)证明：点P为线段MN的中点; (3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）设双曲线C的焦点坐标为， 因为实轴长是虚轴长的2倍，则，..............................................1 又因为焦点到渐近线的距离为1， 则，可得，解得，，.............................................3 所以双曲线C的标准方程：...................................................................4 （2）当直线l的斜率不存在时， P点为MN的中点；...........................................5 当直线l的斜率存在时，设直线MN的方程：， 联立方程，得， 因为直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N， 其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点P， 所以，即：， 双曲线两条渐近线方程为：， 联立方程，解得，.....................................................................8 联立方程，解得，.......................................................................9 则MN的中点坐标：，即， 代入得，， 所以MN的中点坐标满足双曲线方程，即MN的中点在双曲线上， 又因为直线l与双曲线C只有一个公共点P， 可知点P为线段MN的中点； 综上所述：点P为线段MN的中点..................................................................................10 （3）由题意可知：， 坐标原点到直线l的距离：，.............................................................................12 则， 代入得....................................................................................14 所以平行四边形OEPF面积为定值.................................................................................16 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分） 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． (1)求岸线上点A与点B之间的直线距离； (2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 【解析】（1）在中，由余弦定理，得 即岸线上点与点之间的直线距离为 千米．......................................................................................5 （2）在中， ， 则，...............................8 设两段网箱获得的经济总收益为 万元，则 因为，所以，所以 所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元．...............................................................................14 16．（15分） 已知为等差数列，数列满足. (1)若，，求数列的前项和； (2)若数列是首项为9的等比数列，求数列的前项和. 【解析】（1）因，所以，， 设的公差为，所以， 所以，， 于是，其前项和， 所以..............................................................................................7 （2）由为等差数列，设，则， 所以，，， 因数列是首项为9的等比数列，所以，且， 解得或，..........................................................................................................11. 当时，，数列的前项和； 当时，，，数列的前项和............................................15 17．（15分） 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），且面积的最大值为2．将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图1，2所示． (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求折叠后，平面与平面所成锐二面角的余弦值； 【解析】（1）已知椭圆离心率，可得，即， 把代入，得到，所以. 当点为椭圆的上顶点时，的面积最大，其面积，.............................3 又因为，所以，解得. 由，可得，则. 所以椭圆的标准方程为........................................................6 （2）折叠前，，当时，直线的斜率为，根据点斜式可得直线的方程为. 联立直线与椭圆方程，得到，解得，. 当时，；当时，. 所以，. 折叠后，建立空间直角坐标系，...............................................................................................9 得到，，， 则，................................................................................10 设平面的法向量为， 则，即，化简得， 令，可得，，所以. ....................................................................12 易知平面的法向量为. ...........................................................................................13 设平面与平面所成的锐角为，根据向量的夹角公式， 其中，，，所以.................15. 18．（15分） （24-25高三上·贵州贵阳·期末）折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：如图，用圆形纸片，按如下步骤折纸． 步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点标记为； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点； 步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条折痕和越来越多的交点． 现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线．    (1)求曲线的标准方程； (2)已知点，点A，B是曲线上两个不同的动点（不在轴上），直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点． 【解析】（1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系， 设，由题意，且，....................................................2 点的轨迹是以E，F为左、右焦点的椭圆，长轴长，焦距，， 所以椭圆的标准方程为．...................................................................................4 （2）由题意及（1），证明如下：在椭圆中，，    设，所以．..........................................6 因为，所以①． 若直线的斜率不存在，则，得， 可得，且，解得，即直线为轴，不合题意，.......................................9 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆联立， 消去，得． 由，得， 所以②．..................................................................................................12 因为， 由①，得， 即③，........................................................13 把②代入③，得， 整理，得，解得（舍）， 所以，即直线过定点．........................................................15 19．（16分） 设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求a的取值范围； (3)若，证明． 【解析】（1）由于，故． 所以，所以所求的切线经过，且斜率为1，故其方程为．....................3 （2）设，则，从而当时， 当时．.......................................................................................................................4 所以在上单调递减，在上单调递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当． 设，则． 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有． 一方面，若对任意，都有，则对，有，..............................................6 取，得，故． 再取，得，所以． 另一方面，若，则对任意都有，满足条件． 综合以上两个方面，知a的取值范围是．................................................................................................9 （3）先证明一个结构，对，有， 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即． 由，可知当时，当时． 所以在上单调递减，在上单调递增．不妨设，下面分三种情况证明本题结论． 情况一：当时，有，结论成立；...............................................................................................................................11 情况二：当时，有． 对任意的，设，则． 由于单调递增，且有， 且当时，由可知． 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时时，． 故在上单调递减，在上单调递增． ①当时，有； ②当时，由于，故可以取． 从而当时，由，可得． 再根据在上单调递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即． 根据和的任意性，取，就得到． 所以．....................................................14 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得， ． 而根据的单调性，知或． 故一定有成立． 综上，结论成立．............................................................................................................................16 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$