专题07 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性（八大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题07 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性 【题型归纳目录】 题型一：函数单调性的定义及判断 题型二：利用函数单调性求函数最值 题型三：利用函数单调性求参数的范围 题型四：利用函数的单调性比较函数值大小 题型五：函数的奇偶性的判断 题型六：已知函数的奇偶性求参数、表达式、求值 题型七：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 题型八：函数对称性、周期性的应用 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）函数的单调性 （2）函数的奇偶性 （3）函数的对称性 （4）函数的周期性 2024年II卷第8题，5分 2024年I卷第6题，5分 2024年天津卷第4题，5分 2023年I卷第4、11题，10分 2023年甲卷第13题，5分 2022年II卷第8题，5分 2022年I卷第12题，5分 2021年II卷第8题，5分 （1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． （2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． （3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义． （4）会依据函数的性质进行简单的应用． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数． 题型一：函数单调性的定义及判断 【典例1-1】（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（    ） ①若单调递增，单调递增，则单调递增； ②若单调递增，单调递减，则单调递增； ③若单调递减，单调递增，则单调递减； ④若单调递减，单调递减，则单调递减. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式1-1】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【变式1-2】（2020年山东省春季高考数学真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【变式1-3】（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版））已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 题型二：利用函数单调性求函数最值 【典例2-1】已知函数，，则的最大值为 ，最小值为 . 【典例2-2】（广东省肇庆市2025届高三第二次模拟数学试题）已知函数，则的最小值是 . 【变式2-1】函数的最大值为 ． 【变式2-2】已知函数，若存在实数，使得函数的定义域和值域都是 ，则的值是 ． 【变式2-3】若函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 题型三：利用函数单调性求参数的范围 【典例3-1】已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（广东省茂名市2024-2025学年高三上学期第一次综合测试数学试题）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖南卷））若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】（陕西省渭南市富平县2024-2025学年高三上学期摸底数学试卷）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式3-6】（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））若是上的严格增函数，则实数a、b的取值范围分别是 ． 题型四：利用函数的单调性比较函数值大小 【典例4-1】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（江苏省泰州市2025届高三第一次调研测试数学试题）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025年广东省第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题）已知函数，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知偶函数的定义域为，在上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 知识点2、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 题型五：函数的奇偶性的判断 【典例5-1】（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷））定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 题型六：已知函数的奇偶性求参数、表达式、求值 【典例6-1】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（ ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式6-1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【变式6-2】（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 题型七：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 【典例7-1】（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是 . 【典例7-2】（山东省新航标（联考）2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题）已知奇函数在上是减函数，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（广西名校2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷）设函数，则不等式的解集为（   ）. A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知偶函数在区间上单调递减.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】（河北省石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测数学试卷）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点3、函数的对称性 （1）若函数为偶函数，则函数关于对称． （2）若函数为奇函数，则函数关于点对称． （3）若，则函数关于对称． （4）若，则函数关于点对称． 知识点4、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期． （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期． 题型八：函数对称性、周期性的应用 【典例8-1】（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版））已知函数满足，若函数与图像的交点为则( ) A．0 B． C． D． 【典例8-2】（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版））已知函数，则（ ） A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 【变式8-1】（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式8-3】（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类（湖北卷））已知在R上是奇函数，且，当时，，则（ ） A．-2 B．2 C．-98 D．98 【变式8-4】（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标II卷））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ） A． B． C． D． 【变式8-5】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． （8）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 5、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 【强化测试】 1．（24-25高三下·江苏·开学考试）若是奇函数，则（    ） A．e B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（   ） A．1 B． C．0 D． 6．（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 7．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的定义域为是偶函数，为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025高三下·全国·专题练习）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 11．（多选题）（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数且，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的图象过定点 B．函数在其定义域上有零点 C．函数是奇函数 D．当时，函数在其定义域上单调递增 12．（多选题）（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数满足.当时，，则 . 14．（24-25高三下·河北衡水·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 ． 15．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知函数为奇函数，则 . 16．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，，则 ． 17．（2025·海南·模拟预测）已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性 【题型归纳目录】 题型一：函数单调性的定义及判断 题型二：利用函数单调性求函数最值 题型三：利用函数单调性求参数的范围 题型四：利用函数的单调性比较函数值大小 题型五：函数的奇偶性的判断 题型六：已知函数的奇偶性求参数、表达式、求值 题型七：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 题型八：函数对称性、周期性的应用 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）函数的单调性 （2）函数的奇偶性 （3）函数的对称性 （4）函数的周期性 2024年II卷第8题，5分 2024年I卷第6题，5分 2024年天津卷第4题，5分 2023年I卷第4、11题，10分 2023年甲卷第13题，5分 2022年II卷第8题，5分 2022年I卷第12题，5分 2021年II卷第8题，5分 （1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． （2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． （3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义． （4）会依据函数的性质进行简单的应用． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数． 题型一：函数单调性的定义及判断 【典例1-1】（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 【典例1-2】（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（    ） ①若单调递增，单调递增，则单调递增； ②若单调递增，单调递减，则单调递增； ③若单调递减，单调递增，则单调递减； ④若单调递减，单调递减，则单调递减. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解析】对于命题①，令，均为增函数，而为减函数，①错误； 对于命题②，设，则，，∴，∴，故单调递增，命题②正确； 对于命题③，设，则，， ∴，∴，故单调递减，命题③正确. 对于命题④，令，均为减函数，而为增函数，故④错误. 故选：C 【变式1-1】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 【变式1-2】（2020年山东省春季高考数学真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有. 所以函数一定是增函数. 故选：C 【变式1-3】（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 【变式1-4】（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版））已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A 【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案. 函数的定义域为，且 即函数 是奇函数， 又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数． 故选A. 题型二：利用函数单调性求函数最值 【典例2-1】已知函数，，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 2 【解析】函数的图象是由函数图象向左平移一个单位得到的， 所以函数在上单调递减， 所以，. 故答案为：2， 【典例2-2】（广东省肇庆市2025届高三第二次模拟数学试题）已知函数，则的最小值是 . 【答案】 【解析】当时，单调递减，所以. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调增， 所以. 综上所述，的最小值是. 故答案为：. 【变式2-1】函数的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】令，则，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，所以最大值在出取得，. 故答案为： 【变式2-2】已知函数，若存在实数，使得函数的定义域和值域都是 ，则的值是 ． 【答案】3 【解析】函数的图象对称轴为，因此，在上单调递增， 依题意，而，则， 即，解得或， 又，所以，所以m的值是3． 故答案为：3． 【变式2-3】若函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 题型三：利用函数单调性求参数的范围 【典例3-1】已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【典例3-2】（广东省茂名市2024-2025学年高三上学期第一次综合测试数学试题）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 【变式3-1】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式3-2】（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖南卷））若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，开口向下，对称轴为 若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：； 对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像： 此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是. 故选：D． 【变式3-3】已知函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数在上单调递增，得或，解得或， 实数的取值范围是. 故选：D 【变式3-4】已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得解得. 故选:C. 【变式3-5】（陕西省渭南市富平县2024-2025学年高三上学期摸底数学试卷）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于在上单调递减，令，， 因为为减函数，又在区间上单调递增， 由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减， 且在上恒成立，因为为二次函数，开口向下， 对称轴为，由在上单调递减，可得，解得， 由在上恒成立，即，， 可得在上恒成立，则， 综上，实数a的取值范围为 故选：D. 【变式3-6】（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））若是上的严格增函数，则实数a、b的取值范围分别是 ． 【答案】， 【解析】， 在上为增函数， ， 故答案为：， 题型四：利用函数的单调性比较函数值大小 【典例4-1】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是偶函数，. ，，． 又，结合在上为增函数， ， 即． 故选：A 【典例4-2】（江苏省泰州市2025届高三第一次调研测试数学试题）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定义在上的奇函数满足， 则的图象的对称轴是， 所以， 则， 则，所以的周期是8， 所以， 因为在上单调递增， 所以. 故选：D. 【变式4-1】（2025年广东省第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题）已知函数，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A、B：，，故A、B错误； 对C、D：，，则，故C正确、D错误. 故选：C. 【变式4-2】已知偶函数的定义域为，在上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上是偶函数，，， ，且在区间上单调递增， ，. 故选：A. 知识点2、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 题型五：函数的奇偶性的判断 【典例5-1】（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 【典例5-2】（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【变式5-1】（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷））定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由奇函数的概念可知，y＝x3，y＝2sin x是奇函数． 【变式5-2】（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【解析】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误； 故选：C. 题型六：已知函数的奇偶性求参数、表达式、求值 【典例6-1】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是奇函数， 时，． 当时，，，得．故选D． 【典例6-2】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 【变式6-1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 【变式6-2】（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 题型七：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 【典例7-1】（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得. 【典例7-2】（山东省新航标（联考）2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题）已知奇函数在上是减函数，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为奇函数在上是减函数，且， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：A. 【变式7-1】（广西名校2025届高三上学期第二次调研考试数学试卷）设函数，则不等式的解集为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 且，即为偶函数， 当时与，与均在上单调递增， 所以与均在上单调递增， 所以在上单调递增，则不等式等价于， 即，解得或， 即不等式的解集为. 故选：B. 【变式7-2】已知函数，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】定义域为R，，所以为奇函数， 在R上单调递增， 由，得， 所以，，，解得． 故选：B 【变式7-3】已知偶函数在区间上单调递减.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增， 则等价于，即， 即，解得， 即原不等式的解集为. 故选：C. 【变式7-4】（河北省石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测数学试卷）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增， 所以在上是增函数，又， 即，所以， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：D 知识点3、函数的对称性 （1）若函数为偶函数，则函数关于对称． （2）若函数为奇函数，则函数关于点对称． （3）若，则函数关于对称． （4）若，则函数关于点对称． 知识点4、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期． （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期． 题型八：函数对称性、周期性的应用 【典例8-1】（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版））已知函数满足，若函数与图像的交点为则( ) A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】[方法一]：直接法. 由得关于对称， 而也关于对称， ∴对于每一组对称点， ∴，故选B． [方法二]：特值法. 由得 不妨设因为，与函数的交点为 ∴当时，，故选B． [方法三]：构造法. 设，则，故为奇函数. 设，则，故为奇函数. ∴对于每一组对称点. 将，代入，即得 ∴，故选B． [方法四]： 由题意得,函数和的图象都关于对称, 所以两函数的交点也关于对称, 对于每一组对称点和，都有. 从而.故选B. 【典例8-2】（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版））已知函数，则（ ） A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C． 【变式8-1】（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 【变式8-2】（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 【变式8-3】（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类（湖北卷））已知在R上是奇函数，且，当时，，则（ ） A．-2 B．2 C．-98 D．98 【答案】A 【解析】∵，∴是以4为周期的周期函数，由于为奇函数， ∴，而，即. 故选：A． 【变式8-4】（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标II卷））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 【变式8-5】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷））奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是偶函数，则 的图象关于直线对称，又 是奇函数，则，且 是周期函数，且周期为8，所以．故选D． 【方法技巧与总结】 1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． （8）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 5、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 【强化测试】 1．（24-25高三下·江苏·开学考试）若是奇函数，则（    ） A．e B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是奇函数，所以满足 ， 即 ，化简为 ， 即，解得. 此时 ，函数的定义域为 ，满足题意. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意． 故，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得． 故选:C. 3．（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C 4．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为在上是增函数，可得，即， 显然“”能推出“”，反之则不成立， 所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件. 故选：A. 5．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【解析】由为奇函数有， 为偶函数有， 所以有，即， 所以函数的周期为，所以， 又， 故选：C. 6．（2025·吉林长春·二模）已知函数为奇函数，则的值是（   ） A．3 B．1或3 C．2 D．1或2 【答案】C 【解析】因为为奇函数，所以， 解得或. 当时，，，故不合题意，舍去； 当时，，，故符合题意. 故选：C. 7．（2025高三下·全国·专题练习）下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为 ，则为奇函数，不是偶函数，故D错误. 故选：B 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的定义域为是偶函数，为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 由是偶函数，得，即， 由为奇函数，得，即， 则，， 由，得，因此， ，，无条件保证都为为0， 所以选项ABC不一定成立，选项D一定成立，如函数符合题意， 而，. 故选：D 9．（多选题）（2025高三下·全国·专题练习）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】函数是一次函数，在上是减函数，故选项A错误； 函数在上是增函数，故选项B正确； 函数在上是减函数，在上是减函数，故选项C错误； 函数是幂函数，指数，所以函数在上是增函数，故选项D正确. 故选：BD 10．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】ABC 【解析】对于A，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D，函数在上为增函数，则对于任意的， 设，必有， 对于，则有，即， 则在上为减函数，故D正确． 故选：ABC. 11．（多选题）（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数且，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的图象过定点 B．函数在其定义域上有零点 C．函数是奇函数 D．当时，函数在其定义域上单调递增 【答案】BCD 【解析】对于A选项，因为，故函数的图象过定点，A错； 对于B选项，因为的定义域为，且， 故函数在其定义域上有零点，B对； 对于C选项，因为，该函数的定义域为， 且，即函数是奇函数，C对； 对于D选项，当时，则， 因为函数、均为上的增函数， 所以，函数在上为增函数，D对. 故选：BCD. 12．（多选题）（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据题意，由奇偶函数的性质可得， 在上单调递增，在上单调递减，在R上单调递减， 则，， 对于A，由题意只能得到，并不能确定的正负号，所以无法判断与的大小，故A错误； 对于B，由题意只能得到，并不能确定的正负号，所以无法判断与的大小，故B错误； 对于C，因为，在R上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为，在R上单调递减，所以，故D正确. 故选：CD. 13．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数满足.当时，，则 . 【答案】8 【解析】因为，所以是以3为周期的周期函数， 所以. 故答案为：8 14．（24-25高三下·河北衡水·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 且，所以在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 15．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知函数为奇函数，则 . 【答案】2 【解析】因为为奇函数，所以，解得或， 当时，，成立； 当时，，，，故不成立， 所以. 故答案为：2. 16．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，，则 ． 【答案】0 【解析】因为，所以函数的周期．又， 所以． 故答案为：0 17．（2025·海南·模拟预测）已知为奇函数，若与的图象有10个交点，设交点的横坐标从小到大依次为，则 . 【答案】30 【解析】因为为奇函数，所以的图象关于原点对称， 又的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到， 所以的图象关于点对称. 又的图象也关于点对称， 所以与的图象的交点关于点对称， 所以， 故. 故答案为：30. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$