专题06 函数的概念（七大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题06 函数的概念 【题型归纳目录】 题型一：函数的概念 题型二：同一函数的判断 题型三：求函数的定义域 题型四：求函数解析式 题型五：求函数的值域 题型六：分段函数求值、求参数问题 题型七：分段函数与方程、不等式 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 2024年上海卷第2题，5分 2024年I卷第8题，5分 2023年北京卷第15题，5分 2022年浙江卷第14题，5分 2021年浙江卷第12题，5分 1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素 2、会求常见函数的定义域和值域 3、掌握求函数解析式的方法 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． （3）函数表示法：函数书写方式为， （4）函数三要素：定义域、值域、对应法则． （5）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同． 题型一：函数的概念 【典例1-1】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（安徽卷））下列函数中，不满足：的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【变式1-3】存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 题型二：同一函数的判断 【例题5】下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【例题6】与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-1】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【典例2-2】下列函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-1】下列四组函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点2、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 题型三：求函数的定义域 【例题7】（2015年山东省春季高考数学真题）函数的定义域为（    ） A．且 B． C．且 D． 【例题8】（2020年山东省春季高考数学真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【典例3-1】（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国大纲卷））已知的定义域为，则函数的定义域为 （ ） A． B． C． D． 知识点3、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 题型四：求函数解析式 【例题9】（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷 Ⅰ））若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【例题10】（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（安徽卷））若，则（    ） A． B． C． D． 【典例4-1】（2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷））已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025届江西省“三新”协同教研共同体高三联考模拟预测数学试题）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（云南省昆明市2025届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试题）已知函数满足，则实数 ． 题型五：求函数的值域 【例题11】已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【例题12】（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ． 【典例5-1】函数的值域为 ． 【典例5-2】（甘肃省酒泉市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 知识点4、分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 题型六：分段函数求值、求参数问题 【例题13】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷））已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【例题14】（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））设,若,则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【典例6-1】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））设函数，若，则（ ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2022年新高考北京数学高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【变式6-1】（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（辽宁卷））设，则 ． 【变式6-2】（2021年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则 . 【变式6-3】（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））函数满足，且在区间上，则的值为 ． 题型七：分段函数与方程、不等式 【例题15】（2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖南卷））设函数，若，则关于的方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题16】（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 【典例7-1】（2008年普通高等学校招生考试数学（理）试题（天津卷））已知函数那么不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 【典例7-2】（2019年天津市高考数学试卷（文科））已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））已知，则不等式的解集是 ． 【变式7-2】（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【变式7-3】（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【强化测试】 1．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025·四川·一模）函数，若．则（   ） A． B． C．0 D．3 4．（24-25高三下·广东广州·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D．2 5．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知且，定义在上的函数，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江西南昌·一模）已知，则方程所有的根之和为（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025高三下·全国·专题练习）下列四个图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） A．式子可表示y关于x的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．函数，则 D．与是同一函数 11．（多选题）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，，则的最大值为 ，最小值为 . 13．（2025高三下·全国·专题练习）函数的定义域是 . 14．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则函数的值域为 . 15．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 16．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数则不等式的解集是 ． 17．（2025·山东日照·一模）已知函数，则 ． 18．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知函数满足，且，则 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数的概念 【题型归纳目录】 题型一：函数的概念 题型二：同一函数的判断 题型三：求函数的定义域 题型四：求函数解析式 题型五：求函数的值域 题型六：分段函数求值、求参数问题 题型七：分段函数与方程、不等式 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 2024年上海卷第2题，5分 2024年I卷第8题，5分 2023年北京卷第15题，5分 2022年浙江卷第14题，5分 2021年浙江卷第12题，5分 1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素 2、会求常见函数的定义域和值域 3、掌握求函数解析式的方法 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点1、函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． （3）函数表示法：函数书写方式为， （4）函数三要素：定义域、值域、对应法则． （5）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同． 题型一：函数的概念 【典例1-1】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【典例1-2】（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（安徽卷））下列函数中，不满足：的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A中，B中，C中，D中 【变式1-1】若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】A选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，不合题意； B选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域为，符合题意； C选项，此图表示的不是函数图象，不符合题意； D选项，从图可知表示的是函数图象，定义域为，值域不是，不符合题意. 故选：B 【变式1-2】下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【解析】∵一个只能对应一个，∴①③符合题意， 对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义； 对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义. 故选：D． 【变式1-3】存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，；当时，， 不符合函数定义，A错误； 对于B,令，则，令，则， 不符合函数定义，B错误； 对于C, 令，则，令，则， 不符合函数定义，C错误； 对于D, ,,则，则存在时，， 符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确， 故选：D 题型二：同一函数的判断 【例题5】下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同， 故两函数不是同一函数，A错误； B选项， ，定义域为R，故与定义域和对应法则均相同，B正确； C选项，，与的对应法则不同，C错误； D选项，的定义域为，故与的定义域不同， 故两函数不是同一函数，D错误. 故选：B 【例题6】与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 所以． 故选：C． 【典例2-1】下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【解析】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意； B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意； C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意； D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意. 故选：A 【典例2-2】下列函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，定义域，定义域，不是同一个函数，故A错误； 对于B，定义域，定义域，不是同一个函数，故B错误； 对于C，与定义域都是，且，两函数是同一个函数，故C正确； 对于D，定义域，定义域，不是同一个函数，故D错误. 故选：C 【变式2-1】下列四组函数，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，因为的定义域为，的定义域为， 所以两函数的定义域不相等，所以这两函数不是相等函数，所以A错误； 对于B，，的定义域都为，因为， 所以两函数不是相等函数，所以B错误； 对于C，，的定义域都为，因为与解析式不同， 所以这两个函数不是相等函数，所以C错误； 对于D，因为的定义域都为，且对应关系相同，所以是相等函数， 所以D正确， 故选：D 知识点2、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 题型三：求函数的定义域 【例题7】（2015年山东省春季高考数学真题）函数的定义域为（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【解析】由函数解析式有意义可得 且 所以函数的定义域是且， 故选：A. 【例题8】（2020年山东省春季高考数学真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知：，解得且. 所以函数定义域为. 故选：B 【典例3-1】（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 所以 故选A. 【典例3-2】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件： ，解之得， 即函数的定义域为， 故选：C． 【变式3-1】（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国大纲卷））已知的定义域为，则函数的定义域为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B． 知识点3、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 题型四：求函数解析式 【例题9】（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷 Ⅰ））若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以函数是函数的反函数， 由得，∴，把互换得：，即， 因为，所以． 故选：B． 【例题10】（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（安徽卷））若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 故选：D 【典例4-1】（2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷））已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，即可用换元法求函数解析式.令， 得， ， ． 故选：C． 【典例4-2】（2025届江西省“三新”协同教研共同体高三联考模拟预测数学试题）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 【变式4-1】（云南省昆明市2025届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试题）已知函数满足，则实数 ． 【答案】1 【解析】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 题型五：求函数的值域 【例题11】已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 【例题12】（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围. 【典例5-1】函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由题意可得，解得，即函数定义域为， 则， 当时，取最小值0，故取到最大值4， 则函数的最大值为2； 当时，取最大值1，故取到最小值2， 则函数的最小值为； 故答案为：. 【典例5-2】（甘肃省酒泉市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题）已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，在上单调递减， 此时； 当时，． ①若，则在上单调递增，此时， 又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，则， 解得．综上所述：． 故选：C. 【变式5-1】已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，又，解得，则； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 知识点4、分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 题型六：分段函数求值、求参数问题 【例题13】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷））已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】，，解得. 故选：A. 【例题14】（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））设,若,则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C. 【典例6-1】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））设函数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，当时，即，则 ，解得（舍去）；当时，即，则，解得，故选D． 【典例6-2】（2022年新高考北京数学高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【解析】若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 【变式6-1】（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（辽宁卷））设，则 ． 【答案】/0.5 【解析】∵，∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】（2021年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则 . 【答案】2 【解析】，故， 故答案为：2. 【变式6-3】（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））函数满足，且在区间上，则的值为 ． 【答案】 【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果. 由得函数的周期为4，所以因此 题型七：分段函数与方程、不等式 【例题15】（2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖南卷））设函数，若，则关于的方程的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由得，① 由得，② 由①②得，． 所以， 当时，由得方程，解得，； 当时，由得． 所以，方程共有3个解． 故选：C 【例题16】（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 【答案】 (1,4) 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围. 由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是 当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为. 【典例7-1】（2008年普通高等学校招生考试数学（理）试题（天津卷））已知函数那么不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数, 当时，原不等式可化为， 即，，此时， 当时，原不等式可化为， ，解得， 此时， 综上不等式的解集为. 故选：C 【典例7-2】（2019年天津市高考数学试卷（文科））已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方， 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求． 即，即， 或者，得，，即，得， 所以的取值范围是． 故选D． 【变式7-1】（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））已知，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】∵， ∴ （1）当时，原不等式等价于，解得， ∴此时； （2）当时，原不等式等价于，解得， ∴此时； 综上所述，原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式7-2】（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 / 【解析】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 【变式7-3】（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D. 【强化测试】 1．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】令，所以; 所以转化为； 即 又函数在上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值为； 即当时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为函数，所以时，，则周期， 所以， 当时，，所以. 故选：B. 3．（2025·四川·一模）函数，若．则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【解析】函数， 若，则， 则. 故选：D. 4．（24-25高三下·广东广州·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】，. 故选：C 5．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）已知且，定义在上的函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为且，且，则， 则，所以，，即， 解得或（舍）， 故选：A. 6．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，解得或， ∴函数的定义域为. 故选：C. 7．（2025·江西南昌·一模）已知，则方程所有的根之和为（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】A 【解析】若，由，所以； 若，由. 因为，所以方程的所有根的和为1. 故选：A 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，令，则， 故有，解得，即. 故选：A. 9．（多选题）（2025高三下·全国·专题练习）下列四个图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有B不满足. 故选：ACD. 10．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） A．式子可表示y关于x的函数 B．函数的图象与直线的交点最多有1个 C．函数，则 D．与是同一函数 【答案】ABD 【解析】对于A，由有意义可得，，所以， 又对于任意的，存在唯一的y与之对应，所以A正确； 对于B，由函数的定义，在定义域内的每一个x，有且只有一个y与之对应， 所以函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确； 对于C，， 故，故C错误； 对于D，函数与有相同的定义域与对应关系，故这两个函数是同一个函数，故D正确． 故选：ABD 11．（多选题）（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，值域不变，A正确； 对于B，由，得，即的值域为，B错误； 对于C，函数与函数的图象关于轴对称， 则函数的值域与函数的值域相同，为，C正确； 对于D，由，得，即的值域为，D错误. 故选：AC 12．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数，，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 2 【解析】函数的图象是由函数图象向左平移一个单位得到的， 所以函数在上单调递减， 所以，. 故答案为：2， 13．（2025高三下·全国·专题练习）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由题意得，解得. 故答案为：. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为函数的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变， 所以函数的值域为. 故答案为：. 15．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】4 【解析】易知函数的定义域为，， 当且仅当，即时取等号， 故当时，取得最小值，且最小值为4． 故答案为：4 16．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】函数， 显然在上单调递增，在上单调递增， 且，即时函数连续，所以在上递增， 不等式可化为， 即，解得或， 则原不等式的解集为． 故答案为：. 17．（2025·山东日照·一模）已知函数，则 ． 【答案】/ 【解析】因 ， ， 则. 故答案为：. 18．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知函数满足，且，则 ． 【答案】4 【解析】由，可得， 则， 故答案为：4． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$