4.5.1 函数的零点与方程的解课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 方程解法时间图·中国 公元50--100年 一次方程、二次方程 和三次方程根 7世纪·隋唐·王孝通 三次方程正根数值解法 11世纪·北宋·贾宪 三次或三次以上方程 13世纪·南宋 秦九韶 任意次代数方程正根解法 探究：方程的根与函数的图象与X轴交点横坐标的关系 函数的图象 与x轴交点 方程 函数 函 数 的 图 象 方程的实数根 x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 (-1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . . . . . . . x y 0 －1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 －1 2 1 1 2 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 x2－2x－3=0 y= x2－2x+3 知识探究：方程的根与函数的图象与X轴交点横坐标 一、函数零点的概念 【注意】函数的零点不是一个点，而是一个实数。 方程的解 对于一般函数y=f(x)，我们把f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 函数的零点与方程的根都是数 一、函数零点的概念 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象 与x轴有公共点 方程f(x)=0有实数解 观察下面一组图象思考： 函数 y=f(x)在区间[a, b]上满足什么条件一定存在零点？ 探究 零点存在性定理： （1）函数y=f(x)在区间[a,b]的图象是连续曲线 （2）区间端点函数值满足 . 函数 在区间 内有零点， 即存在 ，使得 ， 这个 也就是方程 的根. 二、零点存在定理： 条件： 结论： 函数零点存在定理的四个注意点： 1 函数是连续的。 2 定理不可逆。 3 至少存在一个零点，零点个数不能确定。 4 在零点存在性定理的条件下，若函数具有单调性，函数y=f(x)在区间(a,b) 上存在唯一零点。 注意哪几个方面？ 零点存在性定理的应用 例.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间 方法一： 作出x、f(x)的对应值表和图象； [n，n+1](n∈Z)． x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0， ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点． 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点． 零点存在性定理的应用 方法二: 即求方程lnx+2x−6=0的根的个数，即求lnx=6−2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数的交点个数.如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点. $$