4.5.1 方程的根与函数的零点课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点与方程的解，核心内容包括函数零点的定义、零点与方程解及图像交点横坐标的关系、零点存在定理。通过“求lnx+2x-6=0的解”设问导入，从二次函数零点复习切入，经问题链逐步抽象到一般函数，构建知识支架衔接前后内容。 其亮点在于以问题驱动逻辑推理，通过二次函数到一般函数的抽象过程落实数学抽象，结合例2变式“lnx=-2x+6转化为图像交点”培养直观想象。小结提炼“一个关系、一个定理”和两种思想，帮助学生系统掌握，教师可借助其清晰的问题链和素养导向设计提升教学效果。

4.5.1函数的零点与方程的解 ɑ b y x 人教A版高中数学必修第一册 1 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点x轴交点的横坐标三者之间的联系。（数学抽象） 2.理解函数零点存在定理。（逻辑推理） 3.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间、判断零点的个数。（直观想象） 学习目标： 引入: 你能求出lnx+2x-6=0 的实数解吗？ 3 复习：二次函数的零点定义 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c__________ 叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点。 于是，二次函数y=x2-2x-3的零点是__________ =0的实数x x1=-1,x2=3 问题1 画出下列二次函数的图像，并观察一元二次方程的实数解与相应函数图像与x轴交点横坐标间的联系． x2-2x-3=0 y=x2-2x-3 一元二次方程的根是相应二次函数图像与x轴交点的______，也就是_____________。 -1 3 x y O 与x轴交点(-1,0),(3,0) 横坐标 二次函数的零点 方程的解x1=-1,x2=3 问题2 5 1.求下列方程的解，能说出相应函数的零点吗？ ①x-2=0 y=x-2 的零点 ②lnx=0 y=lnx的零点 2.画出下列函数的图象 ①y=x-2 ②y=lnx 1 -1 -2 -1 -2 2 1 0 3 2 1 -1 -1 2 1 0 思考：方程的解与相应函数图象与x轴交点的横坐标有什么联系? 问题3 像这样其他函数是否也有相同的结论呢？ 方程的解是相应函数图象与x轴交点的______，也就是_____________。 横坐标 函数的零点 6 对于一般的函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 零点是一个点吗？ 类比得出函数零点的定义 问题4 函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零. 函数y=f(x)的有零点 方程 f(x)=0 实数解 有 数 形 数形结合 问题5 函数y=f(x)的图象与 x轴 公共点 有 函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数解、函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？ 例1：求下列函数的零点 f(x)=1+               2.f(x)=2x-1 问题6 观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象： (1)在区间 [-2, 1]上有零点，函数图象与x轴有什么关系？ > < (2)f(-2)__0，f(1)__ 0（＜或＞） 函数的图象“自上而下穿过” x轴 (3)在区间 [2, 4]上有零点，函数图象也有类似的关系？ 即f(-2) f(1)__0 （＜或＞） < 观察右面函数y=f(x)的图象 ① f(a)f(b)____0（＜或＞） 在区间（a,b）上 ______(有/无)零点； ② f(a) f(b)____0（＜或＞） 在区间（a,b）上 ______(有/无)零点； 由以上探索，总结：在什么情况下，函数f(x)在区间（a,b）内一定有零点？ < 有 < 无 由特殊到一般，思考我们怎样判断函数f(x)在区间（a,b）上是否存在零点？ 问题8 问题7 若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0,图像连续不断则函数在区间（a,b）上一定有零点. a b x y 0 0 y x a b 若函数y=f(x)在区间[a,b]上图像连续不断，且满足f(a)·f(b)<0,则函数在区间（a,b )上一定有零点. 零点有几个呢？ 问题9 a b y x 0 函数零点存在定理 如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a) ·f(b)<0,那么函数在(a,b)内至少有一个零点． 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0, 这个c是方程f(x)=0的根。 判断：函数f(x)= 在区间[-1,1]上有没有零点？ 问题10 注:只有上述两个条件同时满足,才能判断函数在指定区间内存在零点。 理解零点存在定理 在零点存在定理中，增加函数满足一个什么条件时，f(x)在(a，b)上有唯一零点？ 结论：在零点存在定理中，单调函数只有一个零点。 问题11 f(x)在(a，b)内为单调函数 a b 唯一零点 x y 0 不能 问题12 x a b c1 c2 y 理解零点存在定理 已知f(x)在[a,b]上连续，回答下列问题： f(x)在(a,b)上有零点，是不是一定说明f(a)·f(b)＜0？（画图分析）       那么，f(a)·f(b)＜0是f(x)在(a,b)上有零点的（   ）？ A.充分不必要条件    B.必要不充分条件    C.充要条件 A 例2 由下表判断函数f(x)=lnx+2x-6零点所在区间为（ ） A.(1，2） B.（2，3） C.（3，4） D（4，5） B 由表3-1和图3.1—3可知 f(2)<0,f(3)>0， 即f(2)·f(3)<0， 说明这个函数在区间(2,3)内 有零点。 解：函数f(x)=lnx+2x－6用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象 －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x f(x) . . . . . . . . . x 0 －2 －4 －6 10 5 y 2 4 10 8 6 12 14 8 7 6 4 3 2 1 9 如果没有计算器，怎么找零点所在区间？ 解：令函数f(x)=lnx+2x－6，由函数f(x)的定义域为(0,+∞) 又函数f(x)=lnx+2x－6在(0,+∞)上单调递增. f(2)=ln2+4－6=ln2-2=ln2-2lne=ln2-lne2<0， 即f(2)·f(3)<0， f(3)=ln3+6－6=ln3>0， 函数f(x)=lnx+2x－6在(2,3)上存在零点. 所以函数f(x)=lnx+2x－6有一个零点， 即方程lnx+2x－6=0有唯一解. 解法一 例2变式：求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数 例2.求方程的实数解的个数. 解法二：∵，∴ 即当的解就是方程的解. 令 而要求的解就是要看的图象有几个交点. 由图知，两函数图象有一个交点，即原方程有一个解. 体现数学数形结合、函数与方程的思想。 1.函数 的零点所在的大致区间是( @44@ ). A. B. C. D. [解析] 由题意知， 在 义域 上单调递增. ， ，∴在 内 无零点. 又 ， ， 在 内有零点. 同理可知 在 ， 内均无零点. 2.函数 的零点有____个. [解析] 根据 和 的图象交点情况可知,零点只有一个. 3.若函数f(x)=多少？ 巩固练习 本节课你有什么收获？（可以从知识、思想两方面考虑） 一个关系、 一个定理： 函数零点与方程解的关系、零点存在定理 两种思想：函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归 课堂小结 $