27.2.1 相似三角形的判定-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（人教版）

号令x=0,得y=号P0,号. 2.1)全等(23：23D4.B5.号6.C 13.解：(1)21.5(2)①图略.②不断减小(3)x≥2或x= 7.解：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD.,△EBA 0 14.(1)6(2)3 △BCR,-0又AF=2EF,0-是∴总 新课标·新情境·新题型·引领训练 是cF=2 1.1(答案不唯一)2.C3.C 8.6或129.C10.B11.C12.C 4.解：1)C,D(2)y=-x+30y=200 x (3)假设存在这样 1解，EF∥BD部-部-是G/AC.器 的矩形，且相邻两边的长分别为xm和(30一x)m.根据题 BF 2 意，得S=x(30一x).当S=200时，x(30一x)=200,化简， FBG-4,CG=6.(2)CD=2.CG=6..DG 得x2-30x+200=0.,a=1,b=-30,c=200,.△= 4ac=(一30)2一4×1×200=100>0..原方程有实数根.. =CG-CD=4.BG=4,BD=BG+DG=8.“架- 存在满足上述所给条件的矩形， 5.解：(1)1.2(2)①：视力值V与字母E的宽度a的乘积是 福=景：EF∥BD,品-福即罗-号 3 定值7，视力值V与字母E的宽度α成反比例函数关系. EF-装 设V=各把a=70,V=0.1代人，得k=7.视力值V与 微专题2 字母E的宽度a之间的函数关系式是V=.②把a=17,5 【例】a号2品 代人V=子，得V=0.4.该行对应的视力值是0.4 【变式】15【变式2】是 第二十七章相似 第2课时相似三角形的判定定理1,2 1.A2.C3.20° 27.1图形的相似 4.解：△ABC与△EFG相似.理由：由图形得AC=5,AB 1.C2.B3.C4.D5.266.A7.B8.8 9.解：：四边形ABCD和四边形EFGH相似，.∠A=∠E= o,BC=5,EF=2,GF=E,EG而.：能元 60°，a=∠C=90°，B-360°-(90°+160°+60°)-50°.四 边形ABCD和四边形EFGH相似，“器-需，即青 停要带要瓷器能小 △ABC∽△EFG 45,解得x=10.5 5.C6.B7.26 10.解：图略（答案不唯一）. 8.证明：：∠AED=∠B,∠DAE=∠BAC,·∠ADF=∠C 1.D2.D13.号14.厄em或2反cm或号cm 又是-2器△ADFAACG 9.证明：BE=3,EC=6,CF=2,.BC=3+6=9.四边形 15解：裙-分怎--宁--=宁 ABCD是正方形，AB=BC=9,∠B=∠C=90.“提 (2)证明：DE∥BC,∠D=∠B,∠E=∠C又：∠DAE 9 3 BE 3.AB BE -∠BAC,铝-怎-器：△ADE与△ABC相 6-7'CF=之EC-CF·△ABE△ECR 16.解：(1)不相似，理由如下：AB=30,A'B=30-1一1=28， 10Bu.号 BC=20,BC=20-1-1=18,面器≠号，器≠8即 12.证明：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，铝 AB≠B,C≠AB.放矩形ABCD与矩形AB'C'D A'B'B'C'A'B'B'C' E,器-E,∠DAE=∠BAC=S铝-福∠EAC 不相似（②者矩形ABCD与矩形ABCD相似，则温 =∠DAB.∴△AEC∽△ADB. -瓷成提-骆，即0=02成”之 13.解：(1)证明：：△PCD是等边三角形，PD=PC=DC, 30 20 20 ∠PDC=∠PCD=60°..∠ADP=∠PCB=120°.CD 200,解得x-1.5或9，放当x-1.5或9时，矩形ABCD =AD·BC,.AD:PC=PD:BC..△APD∽△PBC (2)"△APD∽△PBC,∴.∠APD=∠B.∠B+∠BPC 与矩形A'B'CD相似. =∠PCD=60°，∠APD+∠BPC=60°.∴∠APB=60 +∠DPC=120. 27.2相似三角形 14.解：(1)证明：CD⊥BD,PC=10,CD=6,PD= 27.2.1相似三角形的判定 第1课时平行线分线段成比例 I.∠AED∠ADE AG器 -B股又：∠ABP=∠PDC=9o,△ABPO AB △PDC.∴∠A=∠DPC.∠A+∠APB=90,∴∠DPC J九下·参考答案 名胶课堂27 +∠APB=90,∠APC=90.AP1PC(2)⑩若铝 △BDGC-e,即BG=AG·DG.:BC=16,BG- =3又：∠ABP=∠CDP=9o,△ABPACDP. GC,.BG=8..8=16AG,解得AG=4.在Rt△ABG中， BG=8,AG=4,∴AB=V8+4=45. 号-肌即B即=R4:@若0-器又“∠ABP 10号 ∠PDC=90,∴△ABP∽△PDC.14BP=4 BP 11.证明：(1)：∠DAB=∠EAC,.∠DAE=∠BAC.又 =2或12.综上所述，BP的长为8.4或2或12. ∠ADE=∠ABC,.△ADE∽△ABC.(2)'△ADEO 第3课时相似三角形的判定定理3 .∠DAB=∠EAC,· 1.552.∠ADE=∠C(答案不唯一)3.64.A △ABC器-怎是- 5.证明：，∠BCE=∠ACD,∠BCE+∠ACE=∠ACD+ △MDBO△ABC÷是-器 ∠ACE,即∠ACB=∠DCE.又'∠A=∠D,.△ABC∽ 12.C △DEC 13.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形，∠A■∠D■∠C 6.证明：BE=BC,∴∠C=∠CEB.∠CEB=∠AED, =90°.∠DEP+∠DPE=90°.由折叠的性质，得∠EPH ∠C=∠AED.:AD⊥BE,∠D=∠ABC=90.∴ =∠A=90°.∴∠DPE+∠HPC=90°.，∠DEP= △ADE∽△ABC. ∠HPC..△DEP∽△CPH.(2):四边形ABCD是矩 7.108.不相似 形，.CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90 9.证明：CD⊥AB,.∠ADC=90°.∠ACB=∠ADC.又 ∠A=∠A△ACBO△ADCS-0AC=AB: :P为CD的中点，iDP=CP=号×2=1.设EP=AE= x,则ED=AD-AE=3-x.在Rt△EDP中，EP=ED AD. 10.解：图略.①作∠ADE=∠B:②作DE∥BC..这样的直 +DP,即=(3-x)+1,解得x=号EP=号，ED 线可以作2条. 11.C12.9.613.√13 =台：△EDPo△rCH,0-器即享-高 3 14.解：(1)证明：：四边形ABCD为菱形，.∠ACD= ∠ACB.'∠ACD=∠ABE,∴.∠ACB=∠ABE. PH-PG-AB-2...GH-PG-PH- ∠BAC=∠EAB,△ABCO△AEB.(2),△ABC∽ △MEB,2-SAB=6,AC=,是-合AE 4 4.号 =9. 15.解：(1)1 (2票-k理由：过点0作OMLAB-于点M, 15.解：(1)证明：：△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C= 作ON⊥LBC于点N.:四边形ABCD是矩形，∠ABC= 45°，AB=AC.AP=AQ,.BP=CQ.E是BC的中 90°，OB=OC=OA.,四边形OMBN是矩形..∠MON BE=CE, 90°.∴.∠MOE+∠EON=90.:∠EOF=∠NOF+ 点，∴.BE=CE.在△BPE和△CQE中， ∠B=∠C, ∠EON=90°，∴∠NOF=∠MOE.∠OME=∠ONF= BP=CQ, △BPE2△CQE(SAS).(2)①证明：：∠BEF=∠C+ 90i△0EMn△0FN.÷8=-8 .,OB=OC,ON⊥ ∠CQE,∠BEF=∠BEP+∠DEF,且∠C=∠DEF=45", BC,∴BN=专BCOM=BN=号BC同理ON=BM= ∴.∠CQE=∠BEP.又∠B=∠C,∴.△BPE∽△CEQ. @:△BPEn△CBQ,÷器-器BE·CE=BP· CQ.BE=CE,∴.BE=BP·CQ.BP=2,CQ=9, 16.)号 (2)证明：过点C作CH⊥AF,垂足为H,则四边 BE-2X9-18.∴.BE-3√Z..BC-2BE-62. 形ABCH为矩形..AB=CH.∠H=∠G=90°， 小专题3相似三角形的基本模型 ∠CFH=∠DFG,∴∠FCH=∠FDG=∠ADE.又'∠A 1.C233号号4.c5.9 =∠H=90,△DEAO△cFH.∴8器-0器- 6.解：(1)证明：：∠C=∠B,∠AEC=∠DEB,∴△AEC A铝DEAB=CP·AD, △DEB.(2)∠C=∠B,∠C=30°，.∠B=30°.AB是 ⊙O的直径，∴∠ADB=90°.AD=3,AB=6..⊙O的 27.2.2相似三角形的性质 半径为3. 1A2.63.号4B5.26号7.D8A 7.63/138.(8,0) 9.解：(I)证明：：∠BCE=∠AED,∠AEC=∠B十∠BCE= 9.解：(1)证明：：EF是⊙O的切线，DA⊥EF.:BC∥EF, ∴.DA⊥BC.DA是⊙O的直径，.B=C.AB=AC ∠AED+∠DEC,∴∠B=∠DEC.又∠A=∠D, (2)连接DB.BG⊥AD,.∠BGD=∠BGA=90°AD △ABC△DBc(ar△ABCM△DBc=-0 是⊙O的直径，.∠ABD=90°.∴∠ABG+∠DBG=90°， CB 2 62 ∠DBG+∠BDG=9O°.∴∠ABG-∠BDG.∴.△ABG∽ 分C，正子CE=9 28 别九卡·参秀苦表27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 第1课时平行线分线段成比例 A基题 知识点1相似三角形的有关概念 1.如图，△ABC∽△AED, 则∠B= /E ∠C= 第5题图 第6题图 AB 知识点3相似三角形判定的预备定理 AE 6.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC 2.(1)若△ABC△A'B'C',且相似比为1，则 △ABC与△A'B'C'的关系是 上.若DE∥BC,品-号，DE=6m,则BC (2)若△ABC∽△A'B'C',且相似比是2：3， 的长为 () 则△A'B'C'与△ABC的相似比为 A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm 7.如图，点F为□ABCD的边CD上一点，连接 知识点2平行线分线段成比例定理及推论 AF并延长，交BC的延长线于点E.若AB 3.(2023·吉林改编)如图，在△ABC中，点D 6,AF=2EF,求CF的长. 在边AB上，过点D作DE∥BC,交AC于点 E.若AD=2,BD=3,则二的值是（ 2 A.5 B.2 C. 3 D. 易错点因忽略图形的不唯一导致漏解 8.在△ABC中，AB=6,AC=9,点P是直线AB 第3题图 第4题图 上一点，且AP=2,过点P作边BC的平行线， 4.如图，在△OAB中，点C,D分别在边OB,OA 交直线AC于点M,则MC的长为 的反向延长线上，且CD∥AB.若OC=2, B OB=4,OD=3,则OA的长为 档题 A.4 B.6 C.8 D.10 9.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB和AC 5.(教材P31练习T1变式)如图，AB∥CD∥ 上，DE∥BC,M为边BC上一点（不与点B,C EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD= 重合)，连接AM交DE于点N,则图中相似 的三角形有 () 1,DF=5,则8E的值为 A.1对 B.2对C.3对D.4对 20 者极送室·数学·九年最下·以 单身交流09肝619405核 第9题图 第10题图 10.(2024·河南)如图，在□ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,E为OC的中点， EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的 6 长为 ( 1) A号 B.1 13.如图，D是△ABC的边BC上一点，连接 AD,过AD上的点E作EF∥BD,交AB于 c D.2 点F,过点F作FG∥AC,交BC于点G,已 11.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平 知5-2BG=4 行横线组成的，同一条直线上的三个点A, (1)求CG的长 B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC (2)若CD=2,在上述条件 的长是 和结论下，求EF的长. A号 B.1 c. D.2 12.如图，将△ABC沿着DE剪成一个小三角形 ADE和一个四边形D'ECB.若DE∥BC,四 边形D'ECB各边的长度如图所示，则剪出 的小三角形ADE应是 ( ) 意€题②作平行线转化线段的比： 【方法指导】求线段的比，通常利用平行 线分线段成比例的基本事实及其推论得到比例 线段，然后进行转化得到所求两条线段的比：遇 到不能直接转化线段的比时，要联想到借助辅 助线（作平行线）构造A字型或8字型. D 【例】如图，AD是△ABC的中线 例题图 变式1题图 (1)若E为AD的中点，射线CE交AB 【变式1】如图，CD=3BD,AF=FD,则 于点F,则部的值为 AE:AC= 【变式2】如图，BE是 (2若E为AD上的-点，且会部名射线 △ABC的中线，点F在BE CE交AB于点F则部的值为 上，延长AF交BC于点D. 若BF=3EF,则8肥 学身交液9年.64194061核 4名校21 第2课时 相似三角形的判定定理1,2 6.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交 A基仙题 于点O,且将这个四边形分成①②③④四个三 知识点1三边成比例的两个三角形相似 角形.若OA:OC=OB:OD,则下列结论中 1.有甲、乙两个三角形木框，甲木框的三边长分 一定正确的是 () 别为1，√2，√5，乙木框的三边长分别为√5， A.①和②相似 B.①和③相似 √10,5，则甲、乙两个三角形木框 ) C.①和④相似 D.②和④相似 A.一定相似 B.一定不相似 D C.不一定相似 D.无法判断 ② ① 2.(教材P34练习T3变式)已知△ABC的三边 长分别为6cm,7.5cm,9cm,△DEF的最短 边长为4cm.当△ABC与△DEF相似时， 第6题图 第7题图 △DEF的另外两边长分别是 () 7.如图，BD平分∠ABC,AB=4,BC=6.当BD= A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm 时，△ABD△DBC. C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 3.如图，在△ABC和△ADE 8.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC 中，== 上，∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE, AE ∠BAD=20°，则∠CAE的 BC于点F,G,且把-8恶求证：△ADF☑ 度数为 △ACG. 4.如图，网格中每个小正方形的边长均为1， △ABC与△EFG相似吗？为什么？ 9.(2024·广州)如图，点E,F分别在正方形 ABCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6,CF= 2.求证：△ABE∽△ECF. 知识点2两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似 5.如图，已知△ABC,则下列三角形中，与 △ABC相似的是 22 校+数学·九年最下· 单7交液Q年6194051送 B中档题 [C综合题 10.在如图所示的象棋棋盘（各个小正方形的边 14.(教材P57复习题T3变式)如图，点P在BD 长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落 上，AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D 在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位 (1)若AB=4,BP=3,PC=10,CD=6,求 置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在 证：AP⊥PC 位置的格点构成的三角形相似 () (2)若AB=6,CD=4,BD=14,点P在BD A.①处B.②处C.③处D.④处 上移动，当△PCD与△ABP相似时，求 BP的长. ④③ D 第10题图 第11题图 11.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC= √3AB=3BD,则AD:AC的值为 12.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角 形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD,CE.求 证：△AECc∽△ADB. 13.如图，点C,D在线段AB上，△PCD是等边 三角形，且CD=AD·BC (1)求证：△APD∽△PBC. (2)求∠APB的度数. 学交液的年.6906核 A名校置23 第3课时 相似三角形的判定定理3 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边 A基题一 AC上一点，且BE=BC,过点A作BE的垂 知识点1两角分别相等的两个三角形相似 线，交BE的延长线于点D.求证：△ADEO 1.如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=50°， △ABC. ∠B=75°，∠A'=50°.当∠C=时， △ABC△A'B'C' 2.【开放性问题】(2024·滨州)如图，在△ABC 知识点2直角三角形相似的判定 中，点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条 7.在△ABC和△A'BC'中，∠C=∠C=90°， 件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是 AC=12,AB=15,A'C=8,则当A'B′ ,(写出一种情况即可) 时，△ABC∽△A'B'C' B 8.(教材P36练习T3变式)在Rt△ABC和 Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=3,BC= 4,DF=6,DE=8,则这两个三角形 .(填“相似”或“不相似”) 第2题图 第3题图 9.(数材P36练习T2变式)如图，在Rt△ABC 3.如图，BE,CD相交于点A,∠C=∠E,AC= 中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且CD1 4,BC=8,AE=3,则ED= AB.求证：AC=AB·AD. 4.(教材P36练习T1变式)下列各组三角形中， 可能不相似的是 A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.底角相等的两个等腰三角形 C.顶角相等的两个等腰三角形 D.两个等腰直角三角形 5.如图，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D, 易错点考虑问题不全面导致漏解 ∠BCE=∠ACD.求证：△ABCp△DEC. 10.如图，在△ABC中，AB>AC,过边AC上一 点D作直线DE交边AB于点E,使所得的 △ADE与原三角形相似，这样的直线可以作 多少条？ 24第·数学·九年下 单身交液Q年6419405送 B中档题 [C综合题 11.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=76,∠B= 15.如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰 34°.将三角形纸片沿某处剪开，下列四种剪 直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合. 是 ( ) 将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段 DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线 CA相交于点Q. (1)如图1，当点Q在线段AC上，且AP= 76 AQ时，求证：△BPE≌△CQE. ① ② (2)如图2，当点Q在线段CA的延长线 上时 ①求证：△BPE∽△CEQ: ②若BP=2,CQ=9,求BC的长。 ③ ④ 4 A.①②B.②④C.①③D.③④ 12.(教材P35例2变式)如图，AB为⊙O的直 径，弦CD⊥AB于点F,OE⊥AC于点E.若 OE=3,OB=5,则CD的长为 图 图2 、( B 第12题图 第13题图 13.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC 9cm,点E,F分别在边AB,BC上，AE 2cm,BD,EF交于点G.若点G是EF的中 点，则BG的长为 cm. 14.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的 延长线上，∠ACD=∠ABE (1)求证：△ABC△AEB. (2)当AB=6,AC=4时，求AE的长， 学身交液9年.64194061核 A名校置25