第27章 小专题3 相似三角形的基本模型-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（人教版）

小专题3相似三角形的基本模型 模型1A字型及其变形 3.如图，在△ABC中，AB=6, 一+银里解@ AC=5,点D在边AB上，且 D (1)A字型 AD=2,点E在边AC上.当 如图1，已知：DE∥BC AE= 时，以A,D,E 结论：△ADE△ABC-AD-AE=DE 为顶点的三角形与△ABC相似. AB AC BC 模型28字型及其变形 +像里思® 特征：有一组隐含的等角（即对顶角相等） (1)8字型 图1 如图1，已知：AB∥CD, 图2 AO BO AB (2)反A字型 结论：△AOBn△COD→C0D0CD 如图2，已知：∠AED=∠C 结论：△ADE△ABC一铝能- (3)反A字型（共边共角） 如图，已知：∠ABD=∠C 图1 图2 结论：①△ABD∽△ACB; (2)反8字型 ②AD-AB_DB 如图2，已知：∠A=∠D AB AC BC ③AB2=AD·AC 结论△A0B△D0C→8-8品-提 1.如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的边 4.(2023·陕西)如图，DE是△ABC的中位线， OA上一点，AC:OC=1:2,过点C作CD∥ 点F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长， OB,交AB于点D.若C,D两点的纵坐标分 与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线 别为1,3，则点B的纵坐标为 ( 段CM的长为 () A.4 B.5 C.6 D.7 A号 B.7 C.15 2 D.8 第1题图 第2题图 第4题图 第5题图 2.(2024·重庆A卷)如图，在△ABC中，延长 5.(2024·眉山)如图，菱形ABCD的边长为6， AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB, ∠BAD=120°，过点D作DE⊥BC,交BC的 且DE=DC,连接AE交BC于点F.若 延长线于点E,连接AE分别交BD,CD于点 ∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= F,G,则FG的长为 26名校深发·数苹·九年质下：则 学习交G9.6439405 6.(救材P58复习题T8变式)如图，在⊙O中， (2)若DG=BC=16,求AB的长. 直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD. (1)求证：△AECo△DEB. (2)连接AD,若AD=3,∠C=30°，求⊙O的 半径 模型3双垂直型 r+●迎解@ 已知：△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， 模型4旋转型 +- AD⊥BC 单里用@ 手拉手模型—相似 结论：①△ABC∽△DBA∽△DAC: 条件：如左图，在△AOB中，CD∥AB,将 A ②AB=BD·BC; △OCD旋转至右图位置，旋转角∠AOC ③AC=CD·BC; ∠BOD,旋转角的对边AC,BD称为“拉 ④AD2=BD·CD. 手线” 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边 AB上的高，AD=9,BD=4,那么CD= ,AC= 结论：如右图，△OCD∽△OAB台 △AOC∽△BOD,且延长AC交BD于点 E,必有∠BEC=∠BOA. 难点：复杂图形中寻找“手拉手”模型， 突破口：①找旋转角；②找“拉手线”； ③“手拉手”构造相似三角形。 第7题图 第8题图 8.如图，点P1,P2,P,P均在坐标轴上，且P1P2⊥ 10.(2023·常德)如图1，在Rt△ABC中， P2P,P2P⊥PP.若点P,P2的坐标分别 ∠ABC=90°，AB=8,BC=6,D是AB上一 点，且AD=2,过点D作DE∥BC,交AC 为(0，一1)，（一2,0)，则点P的坐标为 于点E,将△ADE绕点A顺时针旋转到图2 的位置，则图2中B台 9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的 CE的值为 直径，BC与过点A的切线EF平行，BC,AD 相交于点G. (1)求证：AB=AC 图2 学习文液CQ群.649405酒 4名校堂27 11.如图，已知∠DAB=∠EAC,∠ADE= A.1.8 ∠ABC.求证： B.2.4 (1)△ADE∽△ABC. C.3 (2)AD_BD D.3.2 D AE CE 13.(2024·湖北节选)在矩形ABCD中，点E,F 分别在边AD,BC上，将矩形ABCD沿EF 折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点 B的对应点为点G,PG交BC于点H. (1)如图1，求证：△DEP∽△CPH. (2)如图2，当P为CD的中点，AB=2, AD=3时，求GH的长. 模型5一线三等角型 +@里@@++++++++++++++ H (1)一线三等角模型（同侧型） 图 图2 D 3 2/3 B (锐角型) (直角型) (钝角型 条件：如图，∠1=∠2=∠3.结论： △ACE∽△BED. (2)一线三等角模型（异侧型） D 条件：如图，∠1=∠2=∠3.结论： △ADE∽△BEC (3)一线三等角模型（变异型）》 D 3 B 条件：如图，E为AB的中点，∠1=∠2= ∠3.结论：△ACE∽△BED△ECD. 十…十4个“+十十…十“十+十十…十“+十十一十…十★如十十十…十“个 12.(2023·东营)如图，△ABC为等边三角形，点 D,E分别在边BC,AB上，∠ADE=60°.若 BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为() 28名投深发·数华·九年联下：则 学习交液09每.6439405 模型6对角互补型 模型7十字型 一里翻@++小小+小小+小+小+++ 小腹里图@+++++小小小++++小+ 已知：如图1，已知∠AOB十∠DCE=180° 已知：如图，已知矩形ABCD,CF⊥DE于 A 点G. D EN B 图1 图2 解题方法：如图2，过点C作CM⊥AO于点 结论：△DCPn△ADE器-能 DCCF M,CN⊥OB于点N,则△CDM∽△CEN. 16.(1)如图1，在矩形ABCD中，AD=7,CD= 14.如图，将一个直角的顶点 A 4,E是AD上的一点，连接CE,BD,且 P放在矩形ABCD的对 角线BD上滑动，并使其 CE1BD,则需的值为 一条直角边始终经过点 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B A,另一条直角边与边BC相交宇点E.若 90°，E为AB上一点，连接DE,过点C作 AD=8,DC=6:则哈号 DE的垂线交ED的延长线于点G,交 15.在矩形ABCD中，点O是对角线AC,BD的 AD的延长线于点F.求证：DE·AB= CF·AD 交点，∠EOF=90°，OE,OF分别与边AB, BC相交于点E,F,连接EF,BC=kAB(k为 常数). 图1 图2 图 图2 OE (1)发现问题：如图1，若k=1,猜想：O (2)类比探究：如图2，k≠1，探究线段OE, OF之间的数量关系，并说明理由. 学习文液群.6439405 4名校29+∠APB=90,∠APC=90.AP1PC(2)⑩若铝 △BDGC-e,即BG=AG·DG.:BC=16,BG- =3又：∠ABP=∠CDP=9o,△ABPACDP. GC,.BG=8..8=16AG,解得AG=4.在Rt△ABG中， BG=8,AG=4,∴AB=V8+4=45. 号-肌即B即=R4:@若0-器又“∠ABP 10号 ∠PDC=90,∴△ABP∽△PDC.14BP=4 BP 11.证明：(1)：∠DAB=∠EAC,.∠DAE=∠BAC.又 =2或12.综上所述，BP的长为8.4或2或12. ∠ADE=∠ABC,.△ADE∽△ABC.(2)'△ADEO 第3课时相似三角形的判定定理3 .∠DAB=∠EAC,· 1.552.∠ADE=∠C(答案不唯一)3.64.A △ABC器-怎是- 5.证明：，∠BCE=∠ACD,∠BCE+∠ACE=∠ACD+ △MDBO△ABC÷是-器 ∠ACE,即∠ACB=∠DCE.又'∠A=∠D,.△ABC∽ 12.C △DEC 13.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形，∠A■∠D■∠C 6.证明：BE=BC,∴∠C=∠CEB.∠CEB=∠AED, =90°.∠DEP+∠DPE=90°.由折叠的性质，得∠EPH ∠C=∠AED.:AD⊥BE,∠D=∠ABC=90.∴ =∠A=90°.∴∠DPE+∠HPC=90°.，∠DEP= △ADE∽△ABC. ∠HPC..△DEP∽△CPH.(2):四边形ABCD是矩 7.108.不相似 形，.CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90 9.证明：CD⊥AB,.∠ADC=90°.∠ACB=∠ADC.又 ∠A=∠A△ACBO△ADCS-0AC=AB: :P为CD的中点，iDP=CP=号×2=1.设EP=AE= x,则ED=AD-AE=3-x.在Rt△EDP中，EP=ED AD. 10.解：图略.①作∠ADE=∠B:②作DE∥BC..这样的直 +DP,即=(3-x)+1,解得x=号EP=号，ED 线可以作2条. 11.C12.9.613.√13 =台：△EDPo△rCH,0-器即享-高 3 14.解：(1)证明：：四边形ABCD为菱形，.∠ACD= ∠ACB.'∠ACD=∠ABE,∴.∠ACB=∠ABE. PH-PG-AB-2...GH-PG-PH- ∠BAC=∠EAB,△ABCO△AEB.(2),△ABC∽ △MEB,2-SAB=6,AC=,是-合AE 4 4.号 =9. 15.解：(1)1 (2票-k理由：过点0作OMLAB-于点M, 15.解：(1)证明：：△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C= 作ON⊥LBC于点N.:四边形ABCD是矩形，∠ABC= 45°，AB=AC.AP=AQ,.BP=CQ.E是BC的中 90°，OB=OC=OA.,四边形OMBN是矩形..∠MON BE=CE, 90°.∴.∠MOE+∠EON=90.:∠EOF=∠NOF+ 点，∴.BE=CE.在△BPE和△CQE中， ∠B=∠C, ∠EON=90°，∴∠NOF=∠MOE.∠OME=∠ONF= BP=CQ, △BPE2△CQE(SAS).(2)①证明：：∠BEF=∠C+ 90i△0EMn△0FN.÷8=-8 .,OB=OC,ON⊥ ∠CQE,∠BEF=∠BEP+∠DEF,且∠C=∠DEF=45", BC,∴BN=专BCOM=BN=号BC同理ON=BM= ∴.∠CQE=∠BEP.又∠B=∠C,∴.△BPE∽△CEQ. @:△BPEn△CBQ,÷器-器BE·CE=BP· CQ.BE=CE,∴.BE=BP·CQ.BP=2,CQ=9, 16.)号 (2)证明：过点C作CH⊥AF,垂足为H,则四边 BE-2X9-18.∴.BE-3√Z..BC-2BE-62. 形ABCH为矩形..AB=CH.∠H=∠G=90°， 小专题3相似三角形的基本模型 ∠CFH=∠DFG,∴∠FCH=∠FDG=∠ADE.又'∠A 1.C233号号4.c5.9 =∠H=90,△DEAO△cFH.∴8器-0器- 6.解：(1)证明：：∠C=∠B,∠AEC=∠DEB,∴△AEC A铝DEAB=CP·AD, △DEB.(2)∠C=∠B,∠C=30°，.∠B=30°.AB是 ⊙O的直径，∴∠ADB=90°.AD=3,AB=6..⊙O的 27.2.2相似三角形的性质 半径为3. 1A2.63.号4B5.26号7.D8A 7.63/138.(8,0) 9.解：(I)证明：：∠BCE=∠AED,∠AEC=∠B十∠BCE= 9.解：(1)证明：：EF是⊙O的切线，DA⊥EF.:BC∥EF, ∴.DA⊥BC.DA是⊙O的直径，.B=C.AB=AC ∠AED+∠DEC,∴∠B=∠DEC.又∠A=∠D, (2)连接DB.BG⊥AD,.∠BGD=∠BGA=90°AD △ABC△DBc(ar△ABCM△DBc=-0 是⊙O的直径，.∠ABD=90°.∴∠ABG+∠DBG=90°， CB 2 62 ∠DBG+∠BDG=9O°.∴∠ABG-∠BDG.∴.△ABG∽ 分C，正子CE=9 28 别九卡·参秀苦表