23.3轴对称变换巩固练习 2024-2025学年北京版数学九年级下学期

23.3轴对称变换 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在轴、轴的正半轴上，点D在OA上，且点的坐标为，是上一动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 3．若点和点关于x轴对称，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 5．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A，B，E（2，1），则点D的坐标为（  ） A． B． C． D． 6．下列图形中，一定是轴对称图形的有（    ） 角；线段；三角形；平行线；两条相交直线；长方形；圆． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 7．如图所示，在长方形ABCD中，，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为（    ） A． B． C． D． 8．已知点A（1，-3）关于x轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数k的值为（     ） A．3 B． C．-3 D． 9．如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接现在有如下四个结论：；；③；其中结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是，，对角线相交于点O，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．下列表示我国古代窗棂样式结构的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．   B．     C．   D．   12．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知，两点，在轴上取一点，使取得最大值时则的坐标为 ． 14．关于y轴对称的点的坐标是 ． 15．在平面直角坐标系中,点A的坐标是(2,- 3),作点A关于x轴的对称点,得到点A',再作点A'关于y轴的对称点,得到点A″,则点A″的坐标是 . 16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，将△ABC沿AC翻折至△AB'C，连接B'D．当BC长为 时，△AB'D是直角三角形． 17．如图，圆柱形纸杯高为，底面周长为，在杯内壁底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 （杯壁厚度不计）． 三、解答题 18．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）．    (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于x轴对称点为，且，求a的值． 19．如图，中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接． (1)求证：； (2)连接，猜想的形状，并说明理由． 20．分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：． 21．如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于x轴对称的； (3)已知的三个顶点的坐标分别为，，，可以由变换得到，试写出一种具体的变换过程． 22．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．    (1)在图中画出关于y轴的对称图形，并写出； (2)的面积为________； (3)若点P在y轴上，则的最小为__________． 23．如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为，．    (1)画出关于y轴成轴对称的图，并写出的坐标； (2)求的面积． 24．如图，将△ABC 分别沿 AB，AC 翻折得到△ABD 和△AEC，线段 BD 与AE 交于点 F． （1）若∠ABC=16º，∠ACB=30°，求∠DAE 及∠BFE 的值； （2）若 BD 与 CE 所在的直线互相垂直，求∠CAB 的度数． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《23.3轴对称变换》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B B C C A C B 题号 11 12 答案 C C 1．C 【分析】直接利用关于轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ，， 则． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆关于轴对称点的符号关系是解题关键． 2．B 【分析】要求和的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：连接，交于，则就是和的最小值， ∵再直角中，，，， ∴， ∴， ∴和的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了最短路径问题，涉及了正方形的性质、轴对称、勾股定理等知识，解题关键是对这些知识的理解与综合应用． 3．D 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，根据象限内点的特点，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ∴点在第四象限； 故选：D． 4．B 【分析】连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出，从而可得出，即CH的长为的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH的长即可． 【详解】如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH． 由平移的性质可知，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形CDEG为平行四边形， ∴． 由轴对称的性质可知，，， ∴， ∴，即CH的长为的最小值． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形， 结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求． 故选B． 【点睛】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键． 5．B 【详解】∵△ABC与△DEF关于y轴对称，A（-4，6）， ∴D（4，6）， 故选B． 6．C 【分析】此题主要考查了轴对称图形的定义，正确把握图形的性质是解题关键．利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称，分析得出即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知∶ 角；线段； 平行线；两条相交直线；长方形；圆，一定是轴对称图形； 三角形，不一定是轴对称图形． 故选∶ C． 7．C 【分析】设线段CE的长为x，根据翻折的性质得到DF的长，并根据勾股定理求出AF的长，在直角三角形中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设CE长为x，，， ∵翻折为， ∴， ∴，， 根据勾股定理可得： ， ∴， ∴， ∴在中， ， ， 解得：， ∴CE长为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，折叠的性质等，理解题意，利用折叠的性质和勾股定理是解题关键． 8．A 【分析】先求出坐标，代入函数解析式即可求出k． 【详解】解：点A（1，-3）关于x轴的对称点的坐标为：（1，3）， 将（1，3）代入反比例函数， 可得：k=1×3=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出的坐标是解题关键． 9．C 【分析】①正确．证明,得到，结合可得结果． ②错误．可以证明，不是等边三角形，可得结论． ③正确．证明，即可． ④错误．证明，求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 由翻折可知：，，，， ，，， ∴， ，， ，故正确， 设， 在中， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 易知不是等边三角形，显然，故错误， ， ， ， ，， ， ，故正确， ，：：， ∴， ，故正确， 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 10．B 【分析】根据菱形的对称性和坐标的对称变换求值即可； 【详解】解：∵菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点， ∴A、C两点关于原点中心对称； ∴C点坐标为：（，-2） ， 故选： B． 【点睛】本题考查了菱形的性质；中心对称图形的特征；坐标的对称特征：关于原点对称时横坐标、纵坐标都互为相反数；掌握菱形的性质是解题关键． 11．C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可； 【详解】A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故C符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 12．C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义分析选项即可． 【详解】解：A中图形即不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意． D中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意． 故选：Ｃ. 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握两者的定义，轴对称图形是沿某一直线对折可以重合的图形，中心对称图形是绕某一点旋转180°可以与自身重合的图形． 13． 【分析】本题考查动点最值问题-三角形三边关系模型，涉及图形与坐标、待定系数法确定一次函数关系式、一次函数图像与性质、点的对称等知识，根据动点最值问题-三角形三边关系模型的解法，作出图形，如图所示，即可得到取得最大值时，点为直线与轴的交点，利用待定系数法确定函数关系式，求出直线与轴的交点坐标即可得到答案，熟练掌握待定系数法确定一次函数关系式是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出关于轴的对称点，连接并延长交轴于，如图所示： ，在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线时，，即取得最大值时，点为直线与轴的交点， 设直线的表达式为，则将，两点代入得 ，解得， 直线：， 当时，，解得，即使取得最大值时则的坐标为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了点的坐标，轴对称的性质，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，进行作答即可． 【详解】解：关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 15．(-2,3) 【详解】解：∵点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′， ∴A′的坐标为：（2，3）， ∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″， ∴点A″的坐标是：（﹣2，3）． 故答案为（﹣2，3）． 考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标． 16．6或4 【分析】分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°两种情况，画出图形，利用含30°的直角三角形的性质和矩形的判定与性质解答即可． 【详解】解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°． ①当∠B′AD=90°时，如图1，延长B′A交BC于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC， ∴∠B′EC=90°， 由折叠性质得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°， 在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC， ∴BE=CE=BC， 在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2， ∴AE=AB=，BE==3， ∴BC=2BE=6； ②当∠AB′D=90°时，如图2，设AD与B′C相交于O， ∵AD∥BC， ∴∠OAC=∠ACB， 由折叠性质得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C， ∴∠OAC=∠ACO， ∴OA=OC，又AD=BC=B′C， ∴OD=OB′ ∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°． ∵∠ADC=∠B=∠AB′C， ∴∠CDB′=∠AB′D=90°， ∴CD∥AB′，又CD =AB′， ∴四边形AB′DC是矩形， ∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°， 在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=， ∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2， 解得：BC=4， 综上，当BC长为6或4时，△AB′D是直角三角形． 故答案为：6或4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识间的联系与运用是解答的关键． 17． 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】如图，将杯子侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离， ∴， ∴ ∴蚂蚁从外壁处爬行到内壁处的最短距离为 故答案为：． 18．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出点的坐标； （3）根据点关于x轴对称点为，则又因为，所以，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：由（1）中图可得点的坐标为； （3）解：∵点关于x轴对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，点的坐标，轴对称点的坐标变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 19．(1)见解析 (2)是直角三角形．理由见解析 【分析】（1）首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后根据折叠的性质得到，即可证明出； （2）根据等腰三角形等边对等角结合三角形内角和定理得到，即可得到是直角三角形． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， 由翻折得， ∴； （2）是直角三角形． 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴即， 所以是直角三角形． 【点睛】考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 20．关于x轴对称的点的坐标分别为；关于y轴对称的点的坐标分别为 【分析】根据关于坐标轴对称的点的坐标特征分析即可，平面直角坐标系中对称点的坐标特点：①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数； 【详解】由， 关于x轴对称的点的坐标分别为； 关于y轴对称的点的坐标分别为 【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3)第一种变换：把向左平移1个单位，再关于直线对称． 【分析】（1）利于点平移的坐标变换规律描出点、、，然后顺次连接即可； （2）利用关于x轴对称的特征描出点、、，然后顺次连接即可； （3）把向左平移1个单位，再关于直线对称可以得到． 【详解】（1）解：如图，就是所画的三角形； ； （2）解：如图，就是所画的三角形； （3）解：如图，把向左平移1个单位，再关于直线对称可以得到． ． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换． 22．(1)图见解析，-5,3 (2)9 (3) 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的关于y轴的对称点，，,顺次连接即可得到所求作图形． （2）利用长方形的面积减三个直角三角形的面积即可． （3）利用轴对称的性质，把问题转化为两点之间线段最短解决． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标是， 的坐标是， 故答案为：， （2）的面积 ． 故答案为：9． （3）点C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接，此时的值最小，最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称把最短问题转化为两点之间线段最短． 23．(1)画图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，割补法求解三角形面积： （1）根据关于轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标变相反数得到A、O、B对应点的坐标，然后描出，最后顺次连接． （2）利用分割法计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴的坐标为    （2）解：∵点、的坐标分别是，， ∴ ． 24．（1）42°，108°；（2）135°． 【分析】由“∠ABC=16º，∠ACB=30°”可以求出∠BAC的度数，根据翻折的性质可以求出∠DAE与∠BFE的度数，由“BD 与 CE 所在的直线互相垂直”可得∠DBC+∠ECB=90°，再利用翻折的性质可求出答案 【详解】解：（1）∵∠ABC=16°，∠ACB=30°， ∴∠BAC=134°， ∵△ABC≌△ABD，△ABC≌△AEC， ∴∠BAD=∠EAC=134°；∠DAE=134°×3－360°=42°． ∵∠D=∠ACB=30°， ∴∠BFE=∠DFA=180°－42°-30°=108°； （2）∵BD 所在直线与 CE 所在直线互相垂直， ∴∠DBC+∠ECB=90°， ∵翻折 ∴∠ABC=∠DBC    ∠ACB =∠ECB     ∴∠ABC+∠ACB= ( ∠DBC+∠ECB )=45°， ∴∠CAB=180°－(∠ABC+∠ACB )= 135°． 【点睛】本题的关键是利用翻折的性质解答 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$