23.1-23.3图形的变换同步练习2024-2025学年北京版数学九年级下册

图形变换（1） 一、平移、旋转和轴对称在几何题中的应用 从图形变换的角度去思考几何问题，有助于同学们建立对几何图形的动态分析，从而更好理解图形的全等，也能够清楚线段、角之间的关系.下面就通过几个例题让同学体会图形变换对思路分析的重要意义. 1．已知：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形.求证：BD⊥EC. 2．如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝45°，∠C＝20°，∠EAB＝30°，则∠D＝ °，若AC、DE交于点F，则∠EFC＝ °. 3．如图，△ABC中，∠BAC=120º，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60º后到△ECD的位置.若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长. 5．如图，已知正方形ABCD和BC边上一点E，将直角三角形ABE绕点B逆时针旋转90o，再沿BC方向平移，平移距离是线段BC的长度，请画出图形.并回答：旋转后三角形的斜边与AE有什么关系？为什么？ 6． 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°， △ABC以点C为中心旋转到△A′B′C的位置，使B在斜边A′B′上， A′C与AB相交于D，则∠BDC的度数是__________________ 7．如图， 以△ABC的AB为边向形外作正方形ABDE，以AC为边向形外作正方形ACFG，连结BG，CE．试述△ABG与△AEC之间的关系．你能否说出直线BG与直线CE之间的位置关系？ 图形变换（2） 二、常见的利用平移、旋转和轴对称变换作的辅助线 （一）三角形的________________ 1.已知：在△ABC中，AB=AC，CD是中线，延长AB到E，使BE=AB，连结CE.求证：CD=CE. 拓展1 如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线， AB=8，AC=6， 则AD的取值范围是___________________． 小题大做： 拓展2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上， E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F． 求证：DF=EF． （二）三角形的________________ 已知：在中，，AD是的平分线. 求证：. 拓展1 如图，已知：在中，，AD是的平分线，P是AD上任意一点. 求证：. 拓展2 已知：ΔABC中，∠A=，AD是BC边上的高，BE是角平分线，且交AD于P. 求证：AE=AP. 图形变换（3） （3） 正方形中的三角形旋转问题（截长补短 , 含半角模型） 已知：如图E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分角EAD交CD于F，试说明BE+DF=AE. 拓展1如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有BE+DF=EF. 求：∠EAF的度数. 拓展2如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若有∠EAF =45º. 求证：BE+DF=EF. 拓展3如图，正方形ABCD边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，若△APQ的周长为2．求∠PCQ的大小． 拓展4如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC上的点，且∠EAF=45º，AH⊥EF．求证：AH=AB． 拓展5如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定∠HAF的大小，写出推导的过程． 拓展6 如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上， 且∠BAE=30º，∠DAF=15º，求△AEF的面积。 图形变换（4） （4） 三角形的__________________ 已知，如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3 .求证：DE的长. 拓展1 如图，在等腰三角形ABC中，P是三角形内的一点，且∠APB=∠APC．求证PB=PC． 拓展2 △ABC中，AB=AC，D是三角形内一点，若∠ADB＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB． 拓展3 若P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°． 拓展4 在等边三角形内有一点P．连接P与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长. 图形变换（5） （五）轴对称变换（翻折问题）） （1）如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C`处，BC`交AD于E，AD=8，AB=4.求△BED的面积． （2）如图，将边长为12厘米的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG．若FG的长为13厘米.求线段CE的长． （3）如图，点M、N为矩形ABCD一组对边的中点，将矩形的一角向内折叠，使点B落在直线MN上，得到落点B`和折痕AE，延长EB`交AD于F.判断△AEF是什么三角形，并说明理由． （4）把一张正方形纸片ABCD从中间对折后仍然摊平，得折痕为EF，如图（1）所示．接着，使点C不动，把B点处的纸向右上方折起来使B点落在EF上，得落点为B`，折痕为GC，如图（2）所示．连AB`，问图中∠GAB`是多少度？ 12. 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（,且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$