精品解析：四川省成都市邛崃市第一中学校2025届高三下学期二模考试数学试题

2025年四川省邛崃市第一中学校高2022级高三二模考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3. 若圆:恰有个点到直线的距离为1，则（ ） A. B. C. D. 4. 若变量 满足限制条件，则目标函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点为椭圆:上一点，，分别为的左，右焦点，若半径的圆同时与 的延长线、的延长线以及线段相切，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，将的图象向右平移个单位后，关于轴对称，此时与轴最接近的一个极大值坐标为，下列说法错误的是（ ） A. 的一条对称轴为 B. 在 有个根 C. 与直线有个交点 D. 关于中心对称 7. 在锐角三角形中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 是抛物线 的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 10. ，，下列说法正确的是（ ） A. 有1解 B. 有2解 C. D. ，将向右平移个单位得到 ， 为奇函数 11. 已知函数 是定义在区间 上的连续函数，若 ，使得 ， ，都有 ，则称函数 是区间 上的 “ 类函数”． 下列说法正确的有（ ） A. 函数 是区间 上的 “ 3 类函数” B. 函数 是区间 上的 “ 2 类函数” C. 若函数 是区间 上的 “ 类函数”，则方程 在区间 上至多只有一个解 D. 若函数 是区间 上的 “ 2 类函数”，且 ，则存在满足条件的函数 ，使得 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，项的二项式系数为__________． 13. 在三棱锥中，底面是正三角形且，是的中点，且，底面边长，则三棱锥外接球的表面积为______． 14. 双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为.已知 为边的中点，且. （1）求证：； （2）若 ，求的面积. 16. 记数列的前项和为. （1）设，若 ，求的通项公式； （2）记，设，求. 17. 恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据： 网民类型 在直播间购买大米的情况 合计 在甲直播间购买 在乙直播间购买 本地区网民 外地区网民 30 45 合计 20 100 （1）补全2×2列联表，并判断依据小概率值 的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关； （2）用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有 名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为，求使事件“ ”的概率取最大值时的值. 附：，其中. a 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面 平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． （1）当与重合时，证明：平面平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，与在函数的图象上，回答下列问题： （1）当时，证明； （2）上有三点（均不为且互不相等），满足成等差数列且． ①若不存在三点，使成等差数列，求的取值范围； ②若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省邛崃市第一中学校高2022级高三二模考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算求解即可； 【详解】由题意可得. 故选：C. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案. 【详解】依题意，的最小正周期. 故选：D 3. 若圆:恰有个点到直线的距离为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】条件可转化为圆心到直线为，结合点到直线距离公式列方程可求结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为圆上恰有个点到直线的距离为1， 所以到直线的距离为， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 4. 若变量 满足限制条件，则目标函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出可行域，结合图形平移抛物线即可得的最大值. 【详解】 先画出变量 满足的区域，即阴影部分区域， 再通过平移抛物线得曲线， 由图知，当曲线过点时，取得最大值. 故选：A. 5. 已知点为椭圆:上一点，，分别为的左，右焦点，若半径的圆同时与 的延长线、的延长线以及线段相切，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由几何关系和椭圆的定义可得，为椭圆的右顶点，进而可得，由，可得，进而可知，结合可得椭圆的离心率. 【详解】 如图，设圆分别与 的延长线、的延长线以及线段相切于点， 则，，， 所以， 故，所以为椭圆的右顶点， 连接， ，则，， 由，得或（舍去）， 所以，又，故，得， 故选：A 6. 已知函数，将的图象向右平移个单位后，关于轴对称，此时与轴最接近的一个极大值坐标为，下列说法错误的是（ ） A. 的一条对称轴为 B. 在 有个根 C. 与直线有个交点 D. 关于中心对称 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到，利用 的图象与性质，直接求出的对称轴和对称中心，即可判断选项A和D的正误；对于选项B，直接求出在 内的根，即可求解；对于C，在同一坐标系中作出与的图象，数形结合，即可求解. 【详解】因为，将的图象向右平移个单位后，得到， 由题知关于轴对称，得到，且与轴最接近的一个极大值坐标为， 所以，又，得到，， 所以， 对于选项A，由，得到，即的对称轴为， 由，得到，所以选项A错误， 对于选项B，由，得到，或， 得到 ，或，令，得到或，所以选项B正确， 对于选项C，在同一坐标系中作出与的图象， 又，，，，， 注意到当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，， 结合图象可知与直线有个交点，所以选项C正确， 对于选项D，因为，得到， 令，得到，所以是的一个对称中心，故选项D正确， 故选：A. 7. 在锐角三角形中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出，进而得出，借助诱导公式，正切的和角公式以及重要不等式即可求. 【详解】因为三角形为锐角三角形，且， 所以，解得， 所以， 又， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A 8. 已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的实根，利用韦达定理及根的判别式求出，不等式恒成立，参变分离可得恒成立，利用韦达定理得到，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 又，因为有两个极值点为， 所以在上有两个不同的零点， 此时方程在上有两个不同的实根， 则，解得. 若不等式恒成立，则恒成立， 因为 ， 则，设，， 则，因为，所以，所以在上单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 是抛物线 的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ） A. B. C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D. 当时，的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D. 【详解】因为 是抛物线 的焦点，所以，即得，A选项正确； 设在上，所以， 所以，B选项正确； 因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确； 当时, ，且，， 所以,或舍 所以的面积为，D选项错误. 故选：ABC. 10. ，，下列说法正确的是（ ） A. 有1解 B. 有2解 C. D. ，将向右平移个单位得到 ， 为奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】令原方程可化为，结合余弦函数性质判断方程的解，判断AB，由条件结合关系利用两角和正弦公式求结论，判断C，根据函数图象变换结论求，结合奇函数定义判断D. 【详解】因为，所以， 令，则，， 当时，函数单调递减，且， 当时，函数单调递增，且， 又， 所以存在唯一的，满足条件， 即存在唯一的，满足条件， 即，只有一个解，A正确，B错误； 因为，， 结合选项A知，， 所以， ， 所以，C错误； 将函数的图象向右平移个单位得到函数 的图象， 所以， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以函数为奇函数，D正确； 故选：AD. 11. 已知函数 是定义在区间 上的连续函数，若 ，使得 ， ，都有 ，则称函数 是区间 上的 “ 类函数”． 下列说法正确的有（ ） A. 函数 是区间 上的 “ 3 类函数” B. 函数 是区间 上的 “ 2 类函数” C. 若函数 是区间 上的 “ 类函数”，则方程 在区间 上至多只有一个解 D. 若函数 是区间 上的 “ 2 类函数”，且 ，则存在满足条件的函数 ，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据定义判断A，C，D，应用“  类函数”的定义应用导函数正负判断函数的单调性判断B. 【详解】对于选项A，，， ，所以选项A正确； 对于选项B，“函数是区间上的‘2类函数’”等价于“，，恒成立”， 不妨设，即等价于“在上恒成立”，即“”和“，对，，且恒成立”， 所以等价于“函数在上单调递减”且“函数在上单调递增”， 令，， 又因为时，，，所以“函数在上单调递减”且“函数在上单调递增”， 即“函数是区间上的‘2类函数’”成立，所以选项B正确； 对于选项C，若方程在区间上有两个及以上的解，不妨设其中两个不同的解为， 则，所以， 所以，与若函数是区间上的“k类函数”矛盾，所以选项C正确； 对于选项D，不妨设，且，若，则；若，则 ，所以，恒成立，所以选项D错误， 故选：ABC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，项的二项式系数为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】写出展开式通项公式，由指数为3求出项数，再得系数. 【详解】因为， ，1，2，…，6. 令，得，所以项的二项式系数为. 故答案为：20 13. 在三棱锥中，底面是正三角形且，是的中点，且，底面边长，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直线平面的垂直问题，得出棱锥的高，转化顶点，补图的正方体的外接球求解正三棱锥S−ABC的外接球的半径即可. 【详解】解：取AC中点D，则SD⊥AC，DB⊥AC， 又∵SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SDB， ∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB， 又∵AM⊥SB，AM∩AC＝A， ∴SB⊥平面SAC， ∴SA⊥SB，SC⊥SB， 根据对称性可知SA⊥SC，从而可知SA，SB，SC两两垂直， 将其补为立方体，其棱长为2，其外接球即为立方体的外接球，半径r＝＝，表面积S＝4π×3＝12π. 故答案为：12π. 【点睛】本题考查了空间空间几何体的性质，学生的空间思维能力，计算能力，属于中档题. 14. 双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合双曲线定义可得，结合平面几何知识求其最小值，列方程求，由此可得双曲线方程及其渐近线方程，设，表示。结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为动点在双曲线右支上， 所以， 所以， 不妨设点在渐近线上， 过点作，则， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时等号成立， 因为的坐标为，故， 所以的最小值为 ，由已知， 因为双曲线的焦距为， 所以 ，又 ， 所以（舍去），或， 所以双曲线的方程为， 其渐近线方程为和 设点的坐标为，则，， 故，， 所以， 当且仅当， 时等号成立; 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为.已知 为边的中点，且. （1）求证：； （2）若 ，求的面积. 【答案】（1）证明如下： 由 ，得 即， 因为， 由正弦定理得， ， 则，即. （2） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理化简可得，进而结合正弦定理求证即可； （2）由余弦定理得 ，结合平面向量的运算可得 ，联立求解可得，进而结合平方关系及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由余弦定理得 ，① 因为为的中点，所以， 则， 即 ， 即 ，② 联立①②，得 ，解得， 所以， 所以的面积为. 16. 记数列的前项和为. （1）设，若 ，求的通项公式； （2）记，设，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，的关系即可求解， （2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解； 【小问1详解】 当时， ，整理得，当时，有. 数列是以 为公比，以为首项的等比数列， 所以． 【小问2详解】 当时， ， 所以， 所以， 令，其前项和为， ∴① ∴② 得： . ∴. 令，其前项和易知为：， 所以 17. 恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据： 网民类型 在直播间购买大米的情况 合计 在甲直播间购买 在乙直播间购买 本地区网民 外地区网民 30 45 合计 20 100 （1）补全2×2列联表，并判断依据小概率值 的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关； （2）用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有 名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为，求使事件“ ”的概率取最大值时的值. 附：，其中. a 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表如下： 网民类型 在直播间购买大米的情况 合计 在甲直播间购买 在乙直播间购买 本地区网民 外地区网民 合计 能认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数据关系补充列联表，提出零假设，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）根据二项分布求出在甲直播间购买大米的网民人数为的概率，利用作商法判断概率的大小即可得解. 【小问1详解】 因为网民人数合计为，外地区网民人数为，所以本地区网民人数为， 在甲直播间购买的外地区网民人数为，外地区网民人数为， 所以在乙直播间购买的外地区网民人数为 ， 又在乙直播间购买的网民总人数为， 所以在甲直播间购买的外地区网民人数为， 所以在甲直播间购买的本地区网民人数为， 所以列联表如下： 网民类型 在直播间购买大米的情况 合计 在甲直播间购买 在乙直播间购买 本地区网民 外地区网民 合计 提出零假设：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联， 经计算得， 依据小概率值 的独立性检验，我们推断不成立， 即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联. 【小问2详解】 利用样本分布的频率估计总体分布的概率， 可知网民选择在甲直播间购买大米的概率为， 则，记 ，， 则， 则问题等价于求当取何值时取最大值， 因为 ，， 又 ， 所以当 时，； 当 时，； 当 时，； 所以， ， 所以当 时，取最大值， 即使事件“ ”的概率取最大值的的值为 . 18. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面 平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）． （1）当与重合时，证明：平面平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 如图，取中点，连接， 因为侧面为菱形，， 所以 ， 又因为平面 平面，平面平面， 平面，所以 平面， 又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质证明 平面，证明，可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为为等边三角形，则 ， 所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 令三棱柱的棱长为2，所以， 故， ， 又，所以， 设，， 则， 即； 又， 设平面的法向量为 ， 则则，取，则， 故平面的法向量可为， 又 ，设直线与平面所成角为， 由题可得，即， 整理得：，解得， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知函数，与在函数的图象上，回答下列问题： （1）当时，证明； （2）上有三点（均不为且互不相等），满足成等差数列且． ①若不存在三点，使成等差数列，求的取值范围； ②若，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过运算将所证不等式转化为，再令整体换元转化为证明，然后构造函数研究函数单调性证明不等式可得； （2）①先求解存在三点，使成等差数列的情况，取补集可得.由题意得由此代入消元运算变形转化为有解，构造函数求值域即可；②将不等式变形转化，构造函数，利用单调性证明不等式可得. 【小问1详解】 由， 则，又与在上. 则； 且 ； 要证， 因为，即证， 不妨设，令，则， 则， 故只需证. 令， ， 则， 再令， 则，则在上单调递增， 故 ，故当时，恒成立， 由，得， 则，所以在上单调递减， 故，得证. 【小问2详解】 ①由等差数列且，则， 解得， 下面先研究若存在三点，使成等差数列的充要条件. 故； 又， 成等差数列， 由， 存在三点，使成等差数列有解. 当 时，，故， 当 时，，故， 故当时，； 令， 且 ，则， 所以，令， 且 ， 则， 再令， 且 ， 则， 令，因为 在单调递减，且， 故当 时，，即，则 在单调递增； 当时，，即，则 在上单调递减， 故，故 ， 故在上单调递减，且在上也单调递减； 又因为当，；当时，； 当 ，且 . 综上可知 且， 所以有，且，且，又， 所以若不存在三点，使成等差数列，则有或， 故的取值范围为； ②令，. 则所证不等式. 令，， 则， 故在单调递增，则有， 即，得证. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于多元问题的处理，如第（1）问中整体元的构造，令，从而将不等式转化为一元不等式构造新函数证明；再如第（2）问中将关系代入消元得，再变形处理令整体代换并分离参数转化为方程有解问题，进而构造函数令， 且 求解值域可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $