数学（宁夏卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C C B D B A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11． 12．20 13． 14．南偏东 15．16或8 16．16 三、解答题（本大题共10题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤；………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为；…………………………………………………………………4分 ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， ， ， 答：当为等边三角形时，的值为1．………………………………………………………6分 18．（6分） 【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即，…………………………………………………………………………………1分 ∵， ∴ ，………………………………………………………………2分 ∴ ， ∴ ；………………………………………………………………………………3分 （2）证明：∵， ∴ ，………………………………………………………………4分 ∴，…………………………………………………………………………………5分 又∵， ∴四边形是平行四边形．………………………………………………………6分 19．（6分） 【详解】解：解不等式，得，……………………………………1分 解不等式，得，……………………………………………………2分 所以该不等式组的解集为．…………………………………………………………3分 解集表示在数轴上如图： …………………………………5分 故所有整数解的和为．……………………………………………………………………6分 20．（6分） 【详解】（1）解：如图，即为所求； ……………………………………3分 （2）解：如图所示，点P为所求： ……………………………………6分 21．（6分） 【详解】（1）本次调查的总人数为5÷10%＝50（人），扇形统计图中B部分的圆心角是360°×＝108°，……………………………………………………………………………………………………1分 C活动项目的人数为50−（12＋15＋5）＝18（人），……………………………………2分 补全图形如下： ……………………………………3分 故答案为：50、108； （2）800×＝192（人）， 答：估计该校800名学生中，参加活动A的学生有192人；……………………4分 （3）列表如下：设B表示男生，G表示女生 -- -- -- -- -- 共有20种等可能的结果，其中正好抽到1男1女的结果数为12， 所以正好抽到1男1女的概率为………………………………………………………………6分 22．（6分） 【详解】（1）根据分式的基本性质，乘法分配律， 故答案为：②；④．……………………………………………………………………2分 （2）方法1、 ，……………………………………………………4分 当时， 原式．……………………………………………………6分 方法2、、 ，`……………………………………………………4分 当时， 原式．……………………………………………………6分 23．（8分） 【详解】（1）解：如图所示，连接，…………………………………………1分 设，，则， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，则，…………………………………………2分 又∵是直径，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴，…………………………………………3分 又∵是直径，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴；…………………………………………4分 （2）解：如图所示，延长交于点，………………………………………5分 ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，………………………………………6分 又∵， ∴垂直平分，则， ∴是的中点， ∴， ∴，，∵，，则， ∴， 如图所示，延长至使得，连接，………………………………………7分 ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴．………………………………………8分 24．（8分） 【详解】解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3；………………1分 把A（﹣2，1）代入y2＝（k≠0，x＜0）得k＝﹣2×1＝﹣2，……………………2分 ∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝；……………………4分 （2）由，解得或， ∴B点坐标为（﹣1，2），……………………5分 设直线y＝x+3与x轴的交点为C， 把y＝0代入求得x＝﹣3， ∴C（﹣3，0），……………………6分 ∴△AOB的面积＝△BOC的面积﹣△AOC的面积＝＝．………………8分 25．（10分） 【详解】（1）解：由表格数据判断，与是一次函数的关系，设与的函数解析式为：，根据表格数据得 ，……………………2分 解得，……………………4分 与的函数解析式为：；……………………6分 （2）由题意得：，解得：……………………7分 是整数， 一列凳子最多可放11个，……………………8分 ， 最少需要放5列．……………………9分 答：放置在货架上的一列凳子最多可放11个，放置45个凳子最少需要放5列．………10分 26．（10分） 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ，……………………1分 ， ， ，……………………2分 ， ， 又， ．……………………3分 （2）解：四边形是正方形， ，，，……………………4分 ， ， 在中，， ， 为等腰三角形， 或； ①当时，如图，作于点H， ，， ，， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 三点共线， 点和点重合， ；……………………5分 ②当时，如图，作于点H， ，， ，， ， 由①中的结论得，， 又， ， ，， 设，则， ， 在 中，， ， 解得：， ， ， ，， ， ，即， 解得：， ； 综上所述，当时，，；当时，，．……………………6分 （3）解：如图，连接交于点K，交于点L，……………………7分 由翻折的性质得，，， 是的垂直平分线， ，， ， 同理（2）的方法可得，，， ，，，，……………………………………8分 设，则，， 由（2）得，， ， ，， ， ， ，， ， ，……………………………………………………………………………9分 ， ， 又， ， ， 又， 当时，有最大值20，此时有最小值， 线段的最小值为．……………………………………………………………………10分 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（ ） A．0 B． C． D．1 2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 3．春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到2月16日，累计票房已达115亿元，据相关数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》平均票价为每张50元，据此计算电影《哪吒之魔童闹海》的观影人次用科学记数法表示约为（   ） A． B． C． D．亿 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50，若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？设甲有钱为x，乙有钱为y，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条，的夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 7．毕达哥拉斯学派常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图，第1个图形中有1个圆点，第2个图形中有6个圆点，第3个图形中有15个圆点，第4个图形中有28个圆点，…，以此类推，第6个图形对应的圆点数为（　　） A．45 B．66 C．65 D．91 8．如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．计算： ． 10．某学校在4月23 日“世界读书日”为全校个班购进m套精品图书，计划平均分到每个班，则每班可分到 套图书． 11．衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是 ． 12．天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”，若与互为“天平数”，则代数式 ． 13．如图是一枚汉朝时期的五铢钱，其“外圆内方”的造型表达了“天圆地方”的人文观念、已知方孔的边长是，面积是整个圆面积的，若设五铢钱的半径是，则可列方程为 ． 14．如图，标明了甲地、乙地与丙地的大致位置，请用规范的数学用语指明：丙地在甲地的 方向上． 15．如图，是反比例函数的部分图象，矩形交反比例函数于D，E两点．当，，时，则 ． 16．如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ． 三、解答题（本大题共10题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号）． (2)探究应用：请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求m的值． 18．（6分）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 19．（6分）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并求出该不等式组所有整数解的和． 20．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)请画出将绕点O顺时针旋转得到的； (2)请用无刻度的直尺在上找一点P，使（保留作图痕迹，不写作法） 21．（6分）为庆祝伟大的中国共产党建党100周年，我市某校组织学生开展以“学党史，感党恩”为主题的系列活动A：学红色历史，传承“红色基因”；B：读红色经典，领悟“红色精神”；C：讲红色故事续“红色血脉”；D：唱红色歌曲，重温“红色岁月”．学校为了解“学党史，感党恩”系列活动开展情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制出如下不完整的统计图． (1)本次调查的总人数为 　 　人，扇形统计图中B部分的圆心角是 　 　度，请补全条形统计图； (2)根据本次调查，估计该校800名学生中，参加活动A的学生有多少人？ (3)参加活动D的5名学生中，有两名男生和三名女生，若从这5名学生中随机抽取2名学生参加市级唱红歌比赛，请用画树状图或列表的方法，求正好抽到1男1女的概率． 22．（6分）化简．下面是小红和小莉两位同学的部分运算过程： 小红的解法：解：原式 小莉的解法：解：原式 (1)小红的解法依据是______；小莉的解法依据是______．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． (2)若，请任选一种解法，求出代数式的值． 23．（8分）如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，为上一点，延长交于点，已知，为的切线． (1)求的度数； (2)过点作，垂足为，若，求． 24．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 25．（10分）某同学从数学角度观察现实世界的意识与习惯非常好，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式．该同学某一天在超市看到售货员将形状、大小都相同的塑料凳子整齐叠放在一起成为一列，发现叠起来的凳子的总高度（单位：厘米）与凳子的数量（单位：个）存在的函数关系如下表： 凳子的数量 1 2 3 4 … 总高度 45 50 55 60 … (1)求与的函数解析式（也称关系式）； (2)若超市放置凳子的货架高度是98厘米，则放置在货架上的一列凳子最多可放多少个？如果超市有45个凳子要放置在货架上，最少需要放多少列？ 26．（10分）综合与探究 在正方形中，，点是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（ ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】此题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图形有两列，数量分别为1、2，据此即可判断答案． 【详解】 解：由图形可知，主视图为 故选：D． 3．春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到2月16日，累计票房已达115亿元，据相关数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》平均票价为每张50元，据此计算电影《哪吒之魔童闹海》的观影人次用科学记数法表示约为（   ） A． B． C． D．亿 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行求解即可． 【详解】解：电影《哪吒之魔童闹海》的观影人次为：亿，用科学记数法表示约为． 故选：C． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、同底数幂除法、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同底数幂乘法、积的乘方、同底数幂除法、合并同类项等法则，对选项逐一分析即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 5．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50，若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？设甲有钱为x，乙有钱为y，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，可以得到相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ； 故选：B． 6．折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条，的夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形的面积公式，利用扇面的面积进行计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴扇面的面积 ． 故选：D． 7．毕达哥拉斯学派常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图，第1个图形中有1个圆点，第2个图形中有6个圆点，第3个图形中有15个圆点，第4个图形中有28个圆点，…，以此类推，第6个图形对应的圆点数为（　　） A．45 B．66 C．65 D．91 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律的探索，根据前几个图形中圆点个数得出规律，从第2个图形开始，后面的图形中圆点的个数为前一个的个数分别加上，，，个，这些个数都间隔，即可求解． 【详解】解：∵第1个图形中有1个圆点， 第2个图形中有个圆点， 第3个图形中有个圆点， 第4个图形中有个圆点， …，以此类推， 第5个图形中有个圆点， 第6个图形对应的圆点数为个圆点， 故选：B． 8．如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项．根据合并同类项的法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10．某学校在4月23 日“世界读书日”为全校个班购进m套精品图书，计划平均分到每个班，则每班可分到 套图书． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据每班可分到的图书图书总数班级总数，即可求解． 【详解】解：由题意得每班可分到的图书为 故答案为： 11．衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能结果，其中它们取自同一套的有3种可能，再由概率公式求解即可． 【详解】解：令3件上衣分别为A、B、C，对应的裤子分别为a、b、c，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能， ∴它们取自同一套的概率为， 故答案为：． 12．天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”，若与互为“天平数”，则代数式 ． 【答案】20 【分析】本题考查代数式求值，根据“天平数”的定义可得，进而可得，再利用整体代入法求解． 【详解】解：与互为“天平数”， ， ， ， 故答案为：20． 13．如图是一枚汉朝时期的五铢钱，其“外圆内方”的造型表达了“天圆地方”的人文观念、已知方孔的边长是，面积是整个圆面积的，若设五铢钱的半径是，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出方孔的面积为，整个圆的面积是，再根据方孔的面积是整个圆面积的建立方程即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故答案为：． 14．如图，标明了甲地、乙地与丙地的大致位置，请用规范的数学用语指明：丙地在甲地的 方向上． 【答案】南偏东 【分析】本题考查了用方位角表示位置，掌握方位角的定义是解题关键．根据方位角的定义写出即可． 【详解】解：由题意可知，丙地在甲地的南偏东方向上， 故答案为：南偏东． 15．如图，是反比例函数的部分图象，矩形交反比例函数于D，E两点．当，，时，则 ． 【答案】16或8 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征．先表示，，再由三角形面积公式建立方程求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 故答案为：16或8． 16．如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】通过题干的尺规作图得出是的角平分线，直线是的垂直平分线，再通过证明，则，所以四边形是菱形，结合三角形外角性质，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图： ∵用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G， ∴是的角平分线， ∴， ∵以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接， ∴直线是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴四边形是菱形， 则中，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即菱形的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质以及垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共10题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号）． (2)探究应用：请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求m的值． 【答案】(1)⑤ (2)当为等边三角形时，的值为1． 【分析】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤； （2）解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为； ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， ， ， 答：当为等边三角形时，的值为1． 18．（6分）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 19．（6分）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并求出该不等式组所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为3，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，将不等式组的解集在数轴上表示出来，求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，在数轴上表示出来后，求出整数解再求和即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为． 解集表示在数轴上如图： 故所有整数解的和为． 20．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)请画出将绕点O顺时针旋转得到的； (2)请用无刻度的直尺在上找一点P，使（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——旋转变换，平行线比例作图． （1）先连接、、，再将、、分别旋转得到、、，最后依次连接、、，即可求解； （2）在延长线上取格点，使得，连接，依次过上的格点利用网格线的特征作的平行线，将平均分成5份，使得占的2份，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，点P为所求： 21．（6分）为庆祝伟大的中国共产党建党100周年，我市某校组织学生开展以“学党史，感党恩”为主题的系列活动A：学红色历史，传承“红色基因”；B：读红色经典，领悟“红色精神”；C：讲红色故事续“红色血脉”；D：唱红色歌曲，重温“红色岁月”．学校为了解“学党史，感党恩”系列活动开展情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制出如下不完整的统计图． (1)本次调查的总人数为 　 　人，扇形统计图中B部分的圆心角是 　 　度，请补全条形统计图； (2)根据本次调查，估计该校800名学生中，参加活动A的学生有多少人？ (3)参加活动D的5名学生中，有两名男生和三名女生，若从这5名学生中随机抽取2名学生参加市级唱红歌比赛，请用画树状图或列表的方法，求正好抽到1男1女的概率． 【答案】(1)50；；统计图见解析 (2)参加活动A的学生有192人 (3) 【分析】（1）由D项目人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B项目人数所占比例可得其对应圆心角度数，总人数减去A、B、D人数求出C的人数即可补全图形； （2）用总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可； （3）列表求概率，共有20种等可能的结果，刚好抽到1男1女的有12种情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）本次调查的总人数为5÷10%＝50（人），扇形统计图中B部分的圆心角是360°×＝108°， C活动项目的人数为50−（12＋15＋5）＝18（人）， 补全图形如下： 故答案为：50、108； （2）800×＝192（人）， 答：估计该校800名学生中，参加活动A的学生有192人； （3）列表如下：设B表示男生，G表示女生 -- -- -- -- -- 共有20种等可能的结果，其中正好抽到1男1女的结果数为12， 所以正好抽到1男1女的概率为 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（6分）化简．下面是小红和小莉两位同学的部分运算过程： 小红的解法：解：原式 小莉的解法：解：原式 (1)小红的解法依据是______；小莉的解法依据是______．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． (2)若，请任选一种解法，求出代数式的值． 【答案】(1)②；④ (2)； 【分析】（1）根据分式的基本性质，乘法分配律计算即可． （2）化简后，代入求值即可若，请任选一种解法，求出代数式的值． 本题考查了分式的化简求值，分母有理化，正确理解运算的算理，化简是解题的关键． 【详解】（1）根据分式的基本性质，乘法分配律， 故答案为：②；④． （2）方法1、 ， 当时， 原式． 方法2、、 ， 当时， 原式． 23．（8分）如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，为上一点，延长交于点，已知，为的切线． (1)求的度数； (2)过点作，垂足为，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，设，，则，，根据切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，以及三角形内角和定理推导出，根据垂直平分线的性质可得，进而可得是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等，即可求解； （2）延长交于点，根据（1）可得是等腰直角三角形，进而得出是的中位线，得出，，延长至使得，连接，证明，得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 设，，则， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，则， 又∵是直径，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵是直径，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分，则， ∴是的中点， ∴， ∴，， ∵，，则， ∴， 如图所示，延长至使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质与判定圆周角定理及其推论，垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键 24．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝﹣；（2） 【分析】（1）分别把A点坐标代入y1=x+b和y2=（k≠0，x＜0）中计算出b和k的值即可； （2）先确定B点坐标，然后设直线y=x+3与x轴的交点为C，求得C的坐标，再根据三角形面积公式求解． 【详解】解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3； 把A（﹣2，1）代入y2＝（k≠0，x＜0）得k＝﹣2×1＝﹣2， ∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝； （2）由，解得或， ∴B点坐标为（﹣1，2）， 设直线y＝x+3与x轴的交点为C， 把y＝0代入求得x＝﹣3， ∴C（﹣3，0）， ∴△AOB的面积＝△BOC的面积﹣△AOC的面积＝＝． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式． 25．（10分）某同学从数学角度观察现实世界的意识与习惯非常好，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式．该同学某一天在超市看到售货员将形状、大小都相同的塑料凳子整齐叠放在一起成为一列，发现叠起来的凳子的总高度（单位：厘米）与凳子的数量（单位：个）存在的函数关系如下表： 凳子的数量 1 2 3 4 … 总高度 45 50 55 60 … (1)求与的函数解析式（也称关系式）； (2)若超市放置凳子的货架高度是98厘米，则放置在货架上的一列凳子最多可放多少个？如果超市有45个凳子要放置在货架上，最少需要放多少列？ 【答案】(1) (2)11个，5列 【分析】本题考查一次函数的应用，不等式的应用． （1）由表格数据判断，与是一次函数的关系，设与的函数解析式为：，再由表格数据用待定系数法求即可； （2）由题意得：解出的范围再判定即可． 【详解】（1）解：由表格数据判断，与是一次函数的关系，设与的函数解析式为：，根据表格数据得 ， 解得， 与的函数解析式为：； （2）由题意得：，解得： 是整数， 一列凳子最多可放11个， ， 最少需要放5列． 答：放置在货架上的一列凳子最多可放11个，放置45个凳子最少需要放5列． 26．（10分）综合与探究 在正方形中，，点是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)当时，，；当时，， (3) 【分析】（1）利用正方形的性质，结合相似三角形的判定即可证明； （2）由正方形和直角三角形的性质得到，再根据是等腰三角形得出或，则分两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一性质以及三角形的面积公式分别求解即可； （3）连接交于点K，交于点L，由翻折的性质得，，，得出是的垂直平分线，同理（2）的方法证出，，得到，，，，设，利用相似三角形的性质表示出的长，进而得出，结合的范围即可求出线段的最小值． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． （2）解：四边形是正方形， ，，， ， ， 在中，， ， 为等腰三角形， 或； ①当时，如图，作于点H， ，， ，， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 三点共线， 点和点重合， ； ②当时，如图，作于点H， ，， ，， ， 由①中的结论得，， 又， ， ，， 设，则， ， 在 中，， ， 解得：， ， ， ，， ， ，即， 解得：， ； 综上所述，当时，，；当时，，． （3）解：如图，连接交于点K，交于点L， 由翻折的性质得，，， 是的垂直平分线， ，， ， 同理（2）的方法可得，，， ，，，， 设，则，， 由（2）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 当时，有最大值20，此时有最小值， 线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理与翻折问题、全等三角形的性质与判定、二次函数的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共24分） 9 _______________ 10 ________________ 11 ________________ 12 ________________ 13 ________________ 14 ________________ 15 ________________ 16 ________________ 三、解答题（共72，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共24分） 9_________________ 10 ___________________ 11__________________ 12 __________________ 13_________________ 14___________________ 15__________________ 16_________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 18.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（6分） 20.（6分） 21.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（6分） 23.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（8分） 25.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（ ） A．0 B． C． D．1 2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 3．春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到2月16日，累计票房已达115亿元，据相关数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》平均票价为每张50元，据此计算电影《哪吒之魔童闹海》的观影人次用科学记数法表示约为（   ） A． B． C． D．亿 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50，若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？设甲有钱为x，乙有钱为y，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．折扇是中国传统工艺品，历史悠久．如图是一把完全打开的扇形折扇示意图，外侧两竹条，的夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 7．毕达哥拉斯学派常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图，第1个图形中有1个圆点，第2个图形中有6个圆点，第3个图形中有15个圆点，第4个图形中有28个圆点，…，以此类推，第6个图形对应的圆点数为（　　） A．45 B．66 C．65 D．91 8．如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．计算： ． 10．某学校在4月23 日“世界读书日”为全校个班购进m套精品图书，计划平均分到每个班，则每班可分到 套图书． 11．衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是 ． 12．天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”，若与互为“天平数”，则代数式 ． 13．如图是一枚汉朝时期的五铢钱，其“外圆内方”的造型表达了“天圆地方”的人文观念、已知方孔的边长是，面积是整个圆面积的，若设五铢钱的半径是，则可列方程为 ． 14．如图，标明了甲地、乙地与丙地的大致位置，请用规范的数学用语指明：丙地在甲地的 方向上． 15．如图，是反比例函数的部分图象，矩形交反比例函数于D，E两点．当，，时，则 ． 16．如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ． 三、解答题（本大题共10题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号）． (2)探究应用：请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求m的值． 18．（6分）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 19．（6分）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并求出该不等式组所有整数解的和． 20．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)请画出将绕点O顺时针旋转得到的； (2)请用无刻度的直尺在上找一点P，使（保留作图痕迹，不写作法） 21．（6分）为庆祝伟大的中国共产党建党100周年，我市某校组织学生开展以“学党史，感党恩”为主题的系列活动A：学红色历史，传承“红色基因”；B：读红色经典，领悟“红色精神”；C：讲红色故事续“红色血脉”；D：唱红色歌曲，重温“红色岁月”．学校为了解“学党史，感党恩”系列活动开展情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制出如下不完整的统计图． (1)本次调查的总人数为 　 　人，扇形统计图中B部分的圆心角是 　 　度，请补全条形统计图； (2)根据本次调查，估计该校800名学生中，参加活动A的学生有多少人？ (3)参加活动D的5名学生中，有两名男生和三名女生，若从这5名学生中随机抽取2名学生参加市级唱红歌比赛，请用画树状图或列表的方法，求正好抽到1男1女的概率． 22．（6分）化简．下面是小红和小莉两位同学的部分运算过程： 小红的解法：解：原式 小莉的解法：解：原式 (1)小红的解法依据是______；小莉的解法依据是______．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． (2)若，请任选一种解法，求出代数式的值． 23．（8分）如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，为上一点，延长交于点，已知，为的切线． (1)求的度数； (2)过点作，垂足为，若，求． 24．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 25．（10分）某同学从数学角度观察现实世界的意识与习惯非常好，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式．该同学某一天在超市看到售货员将形状、大小都相同的塑料凳子整齐叠放在一起成为一列，发现叠起来的凳子的总高度（单位：厘米）与凳子的数量（单位：个）存在的函数关系如下表： 凳子的数量 1 2 3 4 … 总高度 45 50 55 60 … (1)求与的函数解析式（也称关系式）； (2)若超市放置凳子的货架高度是98厘米，则放置在货架上的一列凳子最多可放多少个？如果超市有45个凳子要放置在货架上，最少需要放多少列？ 26．（10分）综合与探究 在正方形中，，点是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； (3)【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$