小专题2 构造直角三角形解决实际应用问题-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（北师大版）

小专题2 构造直角三角形解决实际应用问题 类型1 背靠背型 (2)求检查点B和C之间的距离.(结果保留根号) 1.(2023·赤峰改编)为发展城乡经济,建设美 丽乡村,某乡对A地和B地之间的一处垃圾 填埋场进行改造,把原来A地去往B地需要 绕行到C地的路线,改造成可以直线通行的公路 AB.如图,经勘测,AC=6千米,CAB=60* CBA-37{*,求改造后公路AB的长.(结果 精确到0.1千米,参考数据;sin37*}~0.60. cos37*~0.80,tan37~0.75.3~1.73) 类型2 母子型 3.【情境素材题】(2024·吉林)图1中的吉林省 广播电视塔,又称“吉塔”,某直升机于空中A 处探测到吉塔,此时飞行高度AB一873m,如 图2.从直升机上看塔尖C的俯角/EAC 37{*},看塔底D的俯角 EAD=45^{*},求吉塔的 高度CD.(结果精确到0.1m,参考数据: sin37*~0.60,cos37*~0.80,tan37*~0.75) 2.(2023·内蒙古)为了增强学生体质,锤炼学 p 图1 生意志,某校组织一次定向越野拉练活动.如 图2 图,点A为出发点,途中设置两个检查点,分 别为点B和点C,行进路线为A→B→C→A. 点B在点A的南偏东25方向3v2km处,点 C在点A的北偏东80*方向,行进路线AB和 BC所在直线的夹角 ABC为45^{*, (1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角 BCA的度数 18 名校课堂·数学1·九年级下·B5 类型3 拥抱型 考数据:sin43{~0.68,cos43{~0. 73, 4.(2023·张家界)“游张家界山水,逛七十二奇 tan43~0.93) 楼”成为2023年旅游新特色,某数学兴趣小 组用无人机测量奇楼AB的高度,测量方案如 下:如图,先将无人机垂直上升至距水平地面 225m的点P处,测得奇楼顶端A的俯角为 15{*,再将无人机沿水平方向飞行200m到达 水平地面 点Q,测得奇楼底端B的俯角为45{*},求奇楼 AB的高度(结果精确到1m,参考数据 sin15*~0.26,cos15~0.97,tan15~0.27) ,1 0 1□1545 类型4 复合型 6.(2023·恩施改编)小王同学学习了锐角三角 函数后,通过观察广场的台阶与信号塔之间 的相对位置,他认为利用台阶的可测数据与 在点A,B处测出点D的仰角度数,可以求出 信号塔DE的高,如图,AB的长为5m,高BC 为3m.他在点A处测得点D的仰角为45* 在点B处测得点D的仰角为38.7{,点A,B. C.D,E在同一平面内,则信号塔DE的高约 为 m.(结果保留整数,参考数据 5.如图,一楼房AB后有一假山CD,CD的坡度 sin38.7~0.63,cos38.7*~0. 78,tan38.7*~ i-1:2,山坡坡面上点E处有一休息亭,测 0.80) 得假山山脚与楼房水平距离BC一24米,与亭 _ 子距离CE一8/5米,小丽从楼房房顶A处测 得E的俯角为43*。 建筑物、 (1)求点E到水平地面的距离 (2)求楼房AB的高度.(结果精确到0.1米,参 A级 198解：∠A-90-∠B-90-5-35.7amB-瓷smB- 一BF=AF一CG=7.15一1.5≈5.7（米），答：无人机到展台的 AB' 距离AB约为5.7米. m家28，A8-品-高4.g .BC=AC4 10.解：(1)由题意可得，PQ LAE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ= 1.6m,AE=BQ=4m,AC=BD=3m..CE=4-3=1(m), 9.2减1410.B11.C12.913.号 PE=2.6-1.6=1(m),∠CEP=90.∴.CE=PE.∴B= 14.解：1)在R△DEA中，DE=2,nA=号AD=D=2 ∠PCE-45,w-m∠PAE--.2:cE-PE sinA 1m,∠CEP=90°，.CP=I+1=√2(m).过点C作CH⊥ ×号=3.AB=BD+AD=12.在R△ABC中，：AB=12, AP于点H,tana-tan∠PAE-号-子，CH-xm,则 sA=号，BC=AB·snA=12×号=8.(2)在R△ABC 17 中，AB=12,BC=8,.AC=AB-BC=4√5.在Rt△DEA A月-红+-9，解得-3CH-3m 317 中，DE=2,AD=3,∴AE=/AD-D=5.CE=45 :.ain∠APC=CP CH 17 334 5=35..CD=CE+DE=W(35)+2=7.在 34 RtADEC中，os∠CDE-8-号，：DE/BC.∠CDE= 6利用三角函数测高 1.30°2.3.73.8.44.51 ∠BCD.:eos∠BCD=eOs∠CDE=号 5.解：过点C作CD⊥AE交AE的菇长线于点D,设CD=xm.在 Rt△CBD中，∠CBD=45”=∠BCD,.BD=CD=xm.在 15.解：探究：过点B作BD⊥AC于点D,:AB=c,∠A=a,BD -c·ina,Sac-立AC·BD-besin,应用：过点C作 Rt△CAD中，∠CAD=42,.AD= m420g'AB-10m, CE CE⊥D0于点E.ina-65CE=CO·ina.:在口ABCD ÷高)一x=10,解得x=90.山顶点C处的海拔为1600十90 =1690(m). 中，AC=a,BD=6C0=74.5am=2CE·BD=号× 6.解：(1)根据题意，得3=90°一a.(2)设AD=xm,∠ACD= 45°，∠ADB=90°，，∠ACD=∠CAD=45,∴.CD=AD=xm 7 asina·b-absina..5amn-2Sam-号absina.. :BC=20m,∴.BD=(20十x)m.在Rt△ABD中，tan∠ABD= AD 小专题1解直角三角形的常用方法 ,an37”=20千2即0.75≈20千z解得x=60.AD= 1.A2.C3D4.55.A6.B 60m.答：气球A离地面的高度AD约为60m, T.解：连接DF交AH于点G.DC LCE,FE⊥CE,.DC∥FE 7,解：'在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,.∠A=∠B.由 DC=EF■1.6m,.四边形DCEF为平行四边形..DF∥ 折叠的性质，得△AEF2△DEF,'∠EDF-∠A,AE=DE- CE,DF=CE=182m.∠AHE=∠AGF.'AH⊥CE, 3..∠EDF=∠B.:∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+ ∠AHE=∠AGF=∠AGD=∠DGH=90°.，.四边形DCHG ∠BDF+∠B-180°，.∠CDE-∠BFD.AE-3,AC-4, 为矩形，.DC=GH=1.6m.设AG=xm,在Rt△ADG中， CE-4-3=L.在Rt△ECD中，sim∠CDE-F- 31 an∠ADG=C∴anA5=DG=xm在RIAAFG中 AG sin∠BFD= 3 tan∠AFG-tan53-元FG≈子xmx+ T= 182,解得x=104.AG=104m..AH=AG+GH=105.6m. 8B9D10.D1.C12.号13.30 ,∴.风电塔筒AH的高度约为105.6m. 10 14.解：过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D,则∠BCD= 小专题2构造直角三角形解决实际应用问题 180°-∠BCA=45.∴BD=CD=号BC.设AC=k(>0),则 1.解：过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ADC中，AC=6千米 2 ∠CAD=60,os∠CAD=A2m∠CAD-是.AD=AC BC-EAC-EBD-CD-号BC-k∴AD-AC+CD- cos∠CAD=6Xeos60°=3（千米），CD=AC·sin∠CAD=6X 2kamA-器-京-宁 sim60°=33（千米）.在Rt△CDB中，∠CBD=37,CD=3√3千 CD CD3533 15.解：过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,则∠ADC 米，an∠CBD=品，DB=mCBD-am≈0.芳=4，（千 90,在R△ADC中，∠C=45,∴AD=DC-号AC-6E. 米)..AB一AD十DB-3十43≈3+4×1.73≈9.9（千米）.答 改造后公路AB的长约为9,9千米 ∠ABC=120°，·∠ABD=60°，在Rt△ABD中，，tan∠ABD 2.解：(1)根据题意，得∠NAC=80°，∠BAS=25,·∠CAB= AD 180°-∠NAC-∠BAS-75.∠ABC-45°，.∠ACB-180 -Bp-tan60*-/3,AD-6BD-2/6..BC-DC-DB 一∠CAB-∠ABC=60°.(2)过点A作AD⊥BC,垂足为D,在 =6√2-26. Rt△ABD中，AB=3√2km,∠ABD=45°，.AD=AB·sin45° 5三角函数的应用 =32×号=3(km),BD=AB·e0s45=32×号=3(km). 1.C2.10.4 3.解：过点P作PC⊥AB于点C,由题意，得∠A=37°，∠B=45 在Rt△ADC中，∠ACD-60.∴.CD- AD tan60 -3-(km) 在Rt△APC中，，∠A=37°，AP=100海里，.PC=AP·sinA √3 =100·sin37100X0.60=60(海里)，AC=AP·cos37=100 .BC=BD十CD=(3十√3)km.答：检查点B和C之间的距离 X0.80=80(海里).在Rt△PBC中，，∠B=45°，.BC=PC= (3+√3)km 60海里..AB=AC十BC=80+60=140(海里).答：B处距离 3.解：过点C作CF⊥AB,垂足为F.AE⊥AB,∠EAD=45°， A处140海里. ∠BAD=45.',在Rt△ABD.中，BD=AB=873m.AB⊥ 4.A5.3m6.6√27.1.68.B BD,CF⊥AB,DC⊥BD,∠CDB=∠B=∠CFB=90°..四边 9.解：延长AB交DE于点F,过点C作CG⊥EF于点G,则四边 形CDBF是矩形..BF=CD,CF=BD=873m.CF∥AE, 形BCGF为矩形，.BF-CG,FG-BC-2米，在Rt△CDG中， tan∠CDG=i=34,CD=2,5米，∴.设CG=3x米，则DG=4x ∠EAC=∠ACF=37.在Rt△ACF中，tan∠ACF=5,∴AF 米.CG+DG-CD,.(3x)十(4x)1=2.52,解得x-0.5 =CF·tan∠ACF=873Xtan37°≈654.75(m).'.CD=FB= (负值舍去)，.CG=1.5米，DG=2米..EF=FG+DG+DE AB-AF-873一654.75-218.25≈218.3(m).答：吉塔的高度 =2+2+1=5(米).在Rt△AEF中，∠AEF=55°，tan∠AEF= CD约为218.3m. EFAF=EF·tan∠AEF≈5X1.43=7.15(米).AB=AF A 4.解：延长BA交PQ的延长线于点C,则∠ACQ=90°，根据题意， 得BC=225m,PQ=200m,在Rt△BCQ中，∠BQC=45°，∴. 34s九下·参考答案 CQ=BC=225m.∴.PC=PQ+CQ=425m.在Rt△PCA中， h m∠APC=m15=瓷-瓷，27，AC=14,5mAB .(cosB-cosa)-h.OA-cosg-cosa' 7.解：①35°②，BC=16.8m,.AE=BC=16.8m在 =BC-AC=225一114.75=110.25≈110(m).答：奇楼AB的 高度约为110m. Rt△ADE中，ae-PE,DE-AE·tana≈16,8X0,70 5.解：(1)过点E作EF⊥BC,垂足为F,,CD的坡度i=1t2, 11.76(m).∴.CD=CE+DE=1.6+11.76=13.36≈13.4(m) 票=子设EP=x米，则CP=2z米在△CEF中，CE 答：旗杆CD的高度约为13.4m.③a=35°，不能用三角板 测出仰角a.∴.当测量者从点B处走到点B处，使BC一A'E √CF十EF=/(2x)+x=√5x米，CE=8√5米，∴5x DE时，可以用三角板的45角测量仰角a..BB=BC一B'C 8√5..x=8..EF=8米，CF=16米.答：点E到水平地面的 BC-DE=16.8-11.76≈5(m).答：测量者向旗杆走约5m可 距离为8米，(2)延长FE交AH于点G,则四边形ABFG为矩 以用三角板测量柳角a, 形..AG=BF=BC+CF=24+16=40(米)，AB=GF,∠AGE 第二章二次函数 =90°，在Rt△AGE中，∠GAE=43",.GE=AG·tan43° 1二次函数 40×0.93=37.2(米).AB=GF=EF+GE=8+37.2=45.2 1.C2.D3.1-6-14.(1)m≠-3(2)35.(1)-4 (米)，答：楼房AB的高度约为45,2米。 6.31 (2)1或-46.x+2y=x2+2x,7.C8.D9.B 回顾与思考（一）直角三角形的边角关系 10.解：(1)由题意，得y=(4+x)(3+x)-3×4,化简，得y=x+ 7x(2)当x=1时，y=1+7×1=8,当x=2时，y=22+7×2 1A2B3号4A5.等边三角形 一18：当x=3时，y=32十7×3一30.答：当矩形每边长都分别 增加1cm,2cm,3cm时，矩形的面积分别增加8cm,18.cm2, 6.解：原式=1+2巨-2×号+巨=3厄， 30cm. 11.B12.113.①③⑤14.36496481100会 7.D8.D9.5 15.y--3x+252x-486030≤x≤54 10.解：(1)AD⊥BC,AB=10,AD=6,.BD=AB-AD 16.解：(1)上部半圆的半径为rm,矩形的另一边长为2rm 10-6=8..'tanACB=1,..CD=AD=6...BC=BD+ “隧道截面的面积S=Sm十S0=之r+2r·2.5=2矿 CD=8+6=14.(2):AE是BC边上的中线，.CE=2BC +5r.∴S与r之间的函数关系式为S=号+5r.(2)当r 7...DE CE-CD=7-6=1.AD L BC,.AE= 、 AD +DE--37.:sin/DAE-DE- 2时，S=x×2+5×2=2m十10.答：当上部半圆的半径为 37 2m时，截面面积是(2x十10)m2. 37 17.解：(1)由题意，得AP=2xcm,BQ=4xcm,则BP=(12一2x) 37 11.0.8812.(30-53) cm,六y=2BC·AB-7BQ·BP=2×24X12-7·4u 13.解：过点C作CE⊥AB于点E.由题意，得∠CAE=90°一45° ·(12-2x)=4x2-24x+144.(2)0<AP<AB,0<BQ 45°，∠ECB=30°，∠ECD=60°，.△CAE是等腰直角三角形. BC,.0<x<6.(3)不能.理由：令4x一24x+144=172.解得 'AC=30 n mile,AE=CE=AC·cos45°=15√2 n mile,在 x1=7,x1=一1，义"0<x<6,.四边形APQC的面积不能等 R△BCE中，BC-C5-10,后n mile..在△BCD中，∠CBD 于172cm 2二次函数的图象与性质 =30°+60°=90°，∠DCB=∠ECD-∠ECB=30°.在 R△BCD中，CD-0-20,nmile.答：C,D同的距离为 第1课时 抛物线的认识 1.抛物线上y轴(0,0)2.A3.C4.B5.D6.A 7.C8.C9.C 20√2 n mile, 10.解：(1)一9(2)减小(3)(3,9)（一3，-9）(-3,9) 14.解：(1)，AD∥EF,AM⊥MN,DN⊥MN,.四边形AMND (4)点C在抛物线y=一x上，点B,D在抛物线y=x上 是矩形..AD=ME+EF+FD=20.0+40.0+20.0=80.0(m). 【拓展变式】B 答：“大碗"的口径AD的长为80.0m.(2)延长EB交AD于点 11.D12.B13.C14.2x H.'碗底BEFC是矩形，.EH⊥AD.四边形AMEH是矩 形.，∠ABE-152,.∠ABH-180°-∠ABE-28°，∠HAB 15.解：1)由圆柱的体积公式，得V=子心=P(>0).图象如图 90°-28°=62.=an62”≈1.88.BH≈20.0X1 所示.(2)当x=1时，V=1,即圆柱的体积为1.(3)当r≥2时 V≥4. =37.6(m)..AM=EH=BH+BE=37.6+2.4=40.0(m) 16.解：(1)点A(2,4)在抛物线y=ax2上，.4=4a,解得a=1 答：“大碗”的高度AM的长约为40,0m ,抛物线的表达式为y=x.(2),四边形CDFE为正方形，， 新课标·新情境·新题型·引领训练 CD∥EF,CD=EC=EF,又'AB⊥y轴，.EF⊥y轴，即EF ∥x轴.设点E的横坐标为m(m>0),则EF=2m.,点E在 1.22.(6-23 抛物线上，.E(m,m).又ABLy轴，CE⊥x轴，A(2,4), 3.解：在Rt△ABC中，AB=8尺，∠ACB=73.4°，.tan73.4° C(m,4)..EC=4一m2,EC=EF,.4一m=2m.解得m1= Can73.4≈3.35，一BC≈3.35≈2.4（尺）.在R△ABD -1-√5（台去），m=-1+√5，.CD=2m=一2+25. 第2课时二次函数y=axr2和y=ax2十c 中，AB=8尺，∠ADB=26.6,an26.6°=BDan26.6≈ 的图象与性质 0.50,∴.BD16.0尺.”春分和秋分时日影长度等于夏至和冬 1.三，四下y轴(0,0)减小002.C3.B 至日影长度的平均数，“春分和秋分时日影长度为24牛16.0 4.解：(1)将点(1，一4)代人y=ar,得a=-4.(2)由(1)得，抛物 2 线的表达式为y=一4z,,当x>0时，y随x的增大而诚小， =9.2(尺). 且0<√7<3，.1<为. 4.C5.128 6.解：(1)过点A'作A'B⊥OA于点B.设秋千绳索的长度为x尺， 5上y轴(0，-2)>0小-26C1.A&y=号-1 由题可知，OA=OA'=x尺，AB=5-1=4(尺)，AB=10尺， 9.<10.y=3x2-4 OB-OA一AB-(x一4)尺.在Rt△OA'B中，由勾股定理，得 11.解：图略.(1)二次函数y=一2x2的图象开口向下，对称轴为y A'B2+0B=0A2,∴.102+(x一4)=x2,解得x=14.5.答：秋 轴，顶点坐标为(0,0).二次函数y=一2x2+3的图象开口向 千绳索OA的长度为14.5尺，(2)能，由题可知，∠OPA' 下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,3).(2)上3 ∠0QA"=90,0A'=0A=0A.在R△0A'P中，coa=85, 12.-4<y≤413.D14.C15.a>b>d>c 16.解：(1)A(一2,0)，B(2,0),C(0,4).(2),四边形ABCD是平 ∴OP=OA'·cosa=OA·coa.同理可得，OQ=OA”·cos3= 行四边形，AB=4,C(0,4),·CD=AB=4,CD∥AB. OA·co8"OQ-OP=h,.OA·cos明-0A·co8a=h..OA D(一4,4)，设平移后抛物线的表达式为y=一x十4+m,则4 s九下·参考着案35