小专题1 解直角三角形的常用方法-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（北师大版）

小专题1解直角三角形的常用方法 方法1设参法求解 方法2利用等角转化法求解 厅法布得 厅活指身 若已知两边的比值或一个锐角三角函 若锐角三角函数值不容易求出，且这个 数值，但不能直接求出直角三角形的边长， 角可以转化为其他角，则可以直接求转化后 的角的锐角三角函数值 则可采用设参数的方法，先用含参数的式子 表示出直角三角形的边长，再根据锐角三角 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB 函数的定义即可得出锐角三角函数值， 的中点，连接CD.若BC=4,CD=3,则 sin∠ACD的值为 ( 1.在△ABC中，∠C=90°，tanA=2,则cosA的 C.5 D.6 值为 ( A号 3 2 B26 5 c D.2 2.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB,sinC= 5 则cos∠DBE ( ) 第5题图 第6题图 C.⑤ 6.(2024·达州)如图，由8个全等的菱形组成 A.5 B.2 5 的网格中，每个小菱形的边长均为2， ∠ABD=120°，其中点A,B,C都在格点上， 则tan∠BCD的值为 () A.2 B.23 c D.3 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 第2题图 第3题图 4,将△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 处，EF为折痕.若AE-3,求sin∠BFD的值. 于点D,若BD:CD=3:2,则tanB=( A B号 c D 4.在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸 板按如图所示的方式放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A,B恰好分别落在函数y=一1 (x<O),y=4(x>O)的图象上，则sin∠ABO 的值为 2 12 名校课套+数单1·九年道下·图 方法3构造直角三角形求解 12.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， 厅法指身 AB=3,BC=2,aA=等，则CD= 作垂线构造直角三角形时“不破坏”特 殊角(30°，45°，60)，部分常见构造方法 如下： B h0≥g 44560 B D 第12题图 第13题图 13.如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方 8.(2024·临夏州)如图，在△ABC中，AB 形的顶点上，则cos∠BAC的值为 AC=5,sinB=等，则BC的长是 14.如图，在△ABC中，BC=2AC,∠BCA= A.3 B.6 C.8 D.9 135°，求tanA的值. 105 30 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠A=105°，AB= 4,则BC= () A.2+√3 B.22+√3 C.√2+23 D.2+23 10.如图，在△ABC中，CA=CB=4,cosC=1 则sinB的值为 () 3 C.6 4 D.v10 4 15.如图，在△ABC中，AC=12,∠C=45°， ∠B=120°，求BC的长. 第10题图 第11题图 11.如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在 x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上， OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP∥ AB,交AC的延长线于点P.若P(1,1),则 tan∠OAP的值是 () A号 B号 c D.3 4名胶管138解：∠A-90-∠B-90-5-35.7amB-瓷smB- 一BF=AF一CG=7.15一1.5≈5.7（米），答：无人机到展台的 AB' 距离AB约为5.7米. m家28，A8-品-高4.g .BC=AC4 10.解：(1)由题意可得，PQ LAE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ= 1.6m,AE=BQ=4m,AC=BD=3m..CE=4-3=1(m), 9.2减1410.B11.C12.913.号 PE=2.6-1.6=1(m),∠CEP=90.∴.CE=PE.∴B= 14.解：1)在R△DEA中，DE=2,nA=号AD=D=2 ∠PCE-45,w-m∠PAE--.2:cE-PE sinA 1m,∠CEP=90°，.CP=I+1=√2(m).过点C作CH⊥ ×号=3.AB=BD+AD=12.在R△ABC中，：AB=12, AP于点H,tana-tan∠PAE-号-子，CH-xm,则 sA=号，BC=AB·snA=12×号=8.(2)在R△ABC 17 中，AB=12,BC=8,.AC=AB-BC=4√5.在Rt△DEA A月-红+-9，解得-3CH-3m 317 中，DE=2,AD=3,∴AE=/AD-D=5.CE=45 :.ain∠APC=CP CH 17 334 5=35..CD=CE+DE=W(35)+2=7.在 34 RtADEC中，os∠CDE-8-号，：DE/BC.∠CDE= 6利用三角函数测高 1.30°2.3.73.8.44.51 ∠BCD.:eos∠BCD=eOs∠CDE=号 5.解：过点C作CD⊥AE交AE的菇长线于点D,设CD=xm.在 Rt△CBD中，∠CBD=45”=∠BCD,.BD=CD=xm.在 15.解：探究：过点B作BD⊥AC于点D,:AB=c,∠A=a,BD -c·ina,Sac-立AC·BD-besin,应用：过点C作 Rt△CAD中，∠CAD=42,.AD= m420g'AB-10m, CE CE⊥D0于点E.ina-65CE=CO·ina.:在口ABCD ÷高)一x=10,解得x=90.山顶点C处的海拔为1600十90 =1690(m). 中，AC=a,BD=6C0=74.5am=2CE·BD=号× 6.解：(1)根据题意，得3=90°一a.(2)设AD=xm,∠ACD= 45°，∠ADB=90°，，∠ACD=∠CAD=45,∴.CD=AD=xm 7 asina·b-absina..5amn-2Sam-号absina.. :BC=20m,∴.BD=(20十x)m.在Rt△ABD中，tan∠ABD= AD 小专题1解直角三角形的常用方法 ,an37”=20千2即0.75≈20千z解得x=60.AD= 1.A2.C3D4.55.A6.B 60m.答：气球A离地面的高度AD约为60m, T.解：连接DF交AH于点G.DC LCE,FE⊥CE,.DC∥FE 7,解：'在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,.∠A=∠B.由 DC=EF■1.6m,.四边形DCEF为平行四边形..DF∥ 折叠的性质，得△AEF2△DEF,'∠EDF-∠A,AE=DE- CE,DF=CE=182m.∠AHE=∠AGF.'AH⊥CE, 3..∠EDF=∠B.:∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+ ∠AHE=∠AGF=∠AGD=∠DGH=90°.，.四边形DCHG ∠BDF+∠B-180°，.∠CDE-∠BFD.AE-3,AC-4, 为矩形，.DC=GH=1.6m.设AG=xm,在Rt△ADG中， CE-4-3=L.在Rt△ECD中，sim∠CDE-F- 31 an∠ADG=C∴anA5=DG=xm在RIAAFG中 AG sin∠BFD= 3 tan∠AFG-tan53-元FG≈子xmx+ T= 182,解得x=104.AG=104m..AH=AG+GH=105.6m. 8B9D10.D1.C12.号13.30 ,∴.风电塔筒AH的高度约为105.6m. 10 14.解：过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D,则∠BCD= 小专题2构造直角三角形解决实际应用问题 180°-∠BCA=45.∴BD=CD=号BC.设AC=k(>0),则 1.解：过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ADC中，AC=6千米 2 ∠CAD=60,os∠CAD=A2m∠CAD-是.AD=AC BC-EAC-EBD-CD-号BC-k∴AD-AC+CD- cos∠CAD=6Xeos60°=3（千米），CD=AC·sin∠CAD=6X 2kamA-器-京-宁 sim60°=33（千米）.在Rt△CDB中，∠CBD=37,CD=3√3千 CD CD3533 15.解：过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,则∠ADC 米，an∠CBD=品，DB=mCBD-am≈0.芳=4，（千 90,在R△ADC中，∠C=45,∴AD=DC-号AC-6E. 米)..AB一AD十DB-3十43≈3+4×1.73≈9.9（千米）.答 改造后公路AB的长约为9,9千米 ∠ABC=120°，·∠ABD=60°，在Rt△ABD中，，tan∠ABD 2.解：(1)根据题意，得∠NAC=80°，∠BAS=25,·∠CAB= AD 180°-∠NAC-∠BAS-75.∠ABC-45°，.∠ACB-180 -Bp-tan60*-/3,AD-6BD-2/6..BC-DC-DB 一∠CAB-∠ABC=60°.(2)过点A作AD⊥BC,垂足为D,在 =6√2-26. Rt△ABD中，AB=3√2km,∠ABD=45°，.AD=AB·sin45° 5三角函数的应用 =32×号=3(km),BD=AB·e0s45=32×号=3(km). 1.C2.10.4 3.解：过点P作PC⊥AB于点C,由题意，得∠A=37°，∠B=45 在Rt△ADC中，∠ACD-60.∴.CD- AD tan60 -3-(km) 在Rt△APC中，，∠A=37°，AP=100海里，.PC=AP·sinA √3 =100·sin37100X0.60=60(海里)，AC=AP·cos37=100 .BC=BD十CD=(3十√3)km.答：检查点B和C之间的距离 X0.80=80(海里).在Rt△PBC中，，∠B=45°，.BC=PC= (3+√3)km 60海里..AB=AC十BC=80+60=140(海里).答：B处距离 3.解：过点C作CF⊥AB,垂足为F.AE⊥AB,∠EAD=45°， A处140海里. ∠BAD=45.',在Rt△ABD.中，BD=AB=873m.AB⊥ 4.A5.3m6.6√27.1.68.B BD,CF⊥AB,DC⊥BD,∠CDB=∠B=∠CFB=90°..四边 9.解：延长AB交DE于点F,过点C作CG⊥EF于点G,则四边 形CDBF是矩形..BF=CD,CF=BD=873m.CF∥AE, 形BCGF为矩形，.BF-CG,FG-BC-2米，在Rt△CDG中， tan∠CDG=i=34,CD=2,5米，∴.设CG=3x米，则DG=4x ∠EAC=∠ACF=37.在Rt△ACF中，tan∠ACF=5,∴AF 米.CG+DG-CD,.(3x)十(4x)1=2.52,解得x-0.5 =CF·tan∠ACF=873Xtan37°≈654.75(m).'.CD=FB= (负值舍去)，.CG=1.5米，DG=2米..EF=FG+DG+DE AB-AF-873一654.75-218.25≈218.3(m).答：吉塔的高度 =2+2+1=5(米).在Rt△AEF中，∠AEF=55°，tan∠AEF= CD约为218.3m. EFAF=EF·tan∠AEF≈5X1.43=7.15(米).AB=AF A 4.解：延长BA交PQ的延长线于点C,则∠ACQ=90°，根据题意， 得BC=225m,PQ=200m,在Rt△BCQ中，∠BQC=45°，∴. 34s九下·参考答案