小专题13 四种方法求圆中阴影部分的面积-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（北师大版）

小专题13 四种方法求圆中阴影部分的面积 方法1公式法 阴影部分的面积为 模型晨示 A.32-8π B.16√3-4π 若阴影部分是规则图形，直接用几何图 C.32-4π D.163-8x 形的面积公式求解，如图： S=S 第2题图 第3题图 1.(2023·菏泽)如图，正八边 形ABCDEFGH的边长为 3.(2023·重庆A卷)如图，⊙O是矩形ABCD 4,以顶点A为圆心，AB的 的外接圆.若AB=4,AD=3,则图中阴影部 长为半径画圆，则阴影部分 分的面积为 ,(结果保留π》 的面积为 (结果保留π) 4.(2023·鄂州改编)如图，在△ABC中，∠ABC D方法2和差法 90°，∠ACB=30°，AB=4,点O为BC的中点，以 银里很示 点O为圆心，OB的长为半径作半圆，交AC于点 (1)直接和差法 ++ D,则图中阴影部分的面积是 所求不规则阴影部分的面积可以看成几 个规则图形面积相加减.如图： =S-S. 0 D 第4题图 第5题图 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1, S1=SMO-SiCD AC=,以点C为圆心，BC的长为半径作圆 (2)构造和差法 弧，交AC于点D,交AB于点E,则阴影部分 所求不规则阴影部分的面积需要添加辅 t+ 的面积为 助线构造规则图形，然后进行相加减.如图： 方法3等积转换法 限型良示 所求阴影部分面积无法直接计算时，可 利用等积转化为规则图形的面积或规则图形 面积的和或差 S-Su+Sa-S心 (1)直接等面积转化法 当CD∥AB时： 2.(2024·重庆A卷)如图，在矩形ABCD中， 分别以点A,C为圆心，AD的长为半径画弧， S路=S 两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中 88名校便·物华1小九年盟下，修 A.4x-2 B.16x-2 (2)平移转化法 C.2x D.14x 当E,F分别是AB,CD的中点时： 9.如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O 移到OB的中点O'处，得到扇形A'OB'.若 ∠O=90°，OA=2,则阴影部分的面积为 (3)对称转化法 当点D是AB的中点时： B (4)旋转转化法 第9题图 第10题图 10.如图，在⊙O中，OA⊥OB,CD=DE=√2， S:=S-S MB D AM B D ∠CDE=90°，则图中阴影部分的面积为 6.如图，在⊙O中，半径OC∥弦AB,且弦AB= 方法4容斥原理 CO=2,则图中阴影部分面积为 ( 模型展示 若不规则图形是由若干图形叠加形成的， 1 B.3 考虑先找出叠加前的若干图形，然后理清图形 之间的重叠关系，计算方法为：S翻=叠加前 的几个图形面积之和一（重叠部分面积十空白 D.元 部分面积). 7.(2023·广元)如图，在半径为5的扇形AOB 【方法示例】如 中，∠AOB=90°，C是AB上一点，CD⊥OA, 图，阴影部分是扇形 CE⊥OB,垂足分别为D,E.若CD=CE,则图 CAE和扇形CBD的 D 中阴影部分面积为 ( 重叠部分，则Sm影=S菲CE十S角利(D c. SAAC· 11.(2023·广安)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，以点A为 圆心，AC为半径画弧，交AB于点E,以点B 为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F,则图 第7题图 第8题图 中阴影部分的面积是 8.如图，在⊙O中，AB为直径，点C是圆上一 A.π-2 点，连接AC,BC,以点C为圆心，AC的长为 半径作弧，恰好经过点B,将⊙O分别沿AC, B.2π-2 BC向内翻折.若AB=4,则图中阴影部分的 C.2π-4 面积是 D.4x-4 名校置管 89(3)80* 7. 60x cm 8. B 9.D 10.3 000* 11.B 12.4t 13.38148 4.解:(1)连接OD,.FD是O的切线..ODF-90”。.DF/ AB...乙AOD=180“-0DF=90”.:.乙ACD=AOD= 15.解;(1)'点D是AB的中点,PD经过则心O...PD1AB. A=30”'.POC- AOD-60”,OA=2OD.'OA=OC 45. 'CF-cD.. 乙F-cDF-180"-45°-67.5.(2):oA AD=BD...OD是△ABC的中位线...BC-2OD...OA-BC -$D.AOD=90..EAD-45. ACD=45.. EAD 180= 1. AC,.2oPF-30”.:0F-oP-1.. PF- P'-oF-3. Swn-Ssor-SA 60-2-- 360 pA-2.:0的半径为2. 37--# 5.解:(1)证明:连接OD,OA.作OH1AB于点H,·'△ABC为等 16.A 腰三角形,O是底边BC的中点,'.AO1BC,AO平分BAC. 小专题13 四种方法求圆中阴影部分的面积 .AC与O相切于点D...OD1AC:OHAB,..OH= OD.即OH为半圆O的半径..AB与半圆O相切.(2)由(1)知 1.6n 2.D 3.25--12 4.53-2r 5.+1 6.C 7.B ODIAC,在Rt△OCD中.CD=4.OC=OF+CF=OD+2.OD 8.C9+# +CD=OC..OD+4=(OD+2)..OD=3..OC=5..' 1n0.--211.c 回顾与思考(三)圆 1.A 2.40* 3.B 4.A 5.A 6.55° 7.60 6.解:(1)证明:连接OC,.AD是O的直径.'.乙ACD-90”。 8.解:(1)证明:FA-FE,.' FAE=AEF.' FAE= 乙BCE,AEFCEB,.CEBBCE 'CE平分 ADC+CAD-90”:'OC=OD,'.乙ADC-OCD.". ACD.. ACE DCE.AB是直径.'/ACB-90' DCF-CAD..DCF+OCD-90..OC1CF.又:OC CEB+ DCE- BCE+ ACE- ACB-90”CDE 是O的半径...CF是O的切线.(2):B-乙ADC,cosB =180*-(CEB+DCE)=90”。*.CDIAB.(2)由(1)知, BEC= BCE...BE=BC.'AF=EF,FM 1AB..'$MA= ME-OM+OE-2.'AF=MA+ME-4.'OB-OA-AE- $E=3.'$AB=OA+OB=6,BC=BE=OB-OE-2.·' ACB : FCD- FAC. F-F.).△FCD△FAC.:ACD-FC CD FC -90”,AC-AB-BC-6-2-4/2. 14.解:(1)证明:连接OA.'·'BE是O的直径..乙BAE-90”. +10..(42):-3-c(3x+10),解得x-30或x-0(舍去).1.FD . BAO+ OAE-90”:OA-OB.ABCBAO.: EAC=乙ABC.CAE=BAO.'CAE+OAE --. 90”..OAC-90”.OA是O的半径..CA是O的切 线.(2):乙EAC-乙ABC.C-C.△ABC△EAC. 7.解:(1)CD与⊙O相切,理由如下:连接OD.DB.·'点E是线段 OB的中点,DE1AB交⊙O于点D...DE垂直平分OB...DB BD..AD平分 BAE.'. BAD= EAD.:B=DE.. BD-DE..BE是O的直径../BDE-90.DE-BD DOE-COD.△EOD△DOC.:. CDO=DEO": #1B一62.# DE1AB...CDO=DEO=90*.ODCD.又':OD为O 的半径..CD为O的切线.(2)这个确定的值是.证明:连 15.70* 16.B 17.C 18.20 19.解:(1)证明:·AB是半圆O的直径.'ACB-90”。D ABC-60”,乙CAB-90*-ABC-30”。.乙ABD-180° 一CAB-D-90”。*.BD1OB.又'OB是半圆O的半径, '.BD是半圆O的切线。(2)连接OC.'OC=QB./ABC $ 0”.$△OCB为等边三角形...COB-60”,OC-CB-3 8 圆内接正多边形 A0C-180-c0B=120”..1-120π×3-2r. 1.B 2.C 3.C 4. B 5.A 6. D 7.3cm 8.A 180 9.图略. 20.C 21.(8-2/2)22.-1 10.D 11.A 12.A 13.A 14.解:连接OB,OC,OD.·等边三角形ABC内接于O.BD为 新课标·新情境·新题型·引领训练 0内接正十二边形的一边,.乙B0C-3×360”-120”, 1.7 2.C3.D BOD-x360*=30{.COD- BOC- BOD-90” 4.解:(1)240(2)乙BAD=乙FAD.理由如下:连接BD.FD.: 六边形ABCDEF是等边半正六边形...AB-BC-CD-DE= VOC-OD..OCD-45 .:.0C=CD·cos45'-5v2x2 EF=FA.C=/E..△BCD△FED($AS).'BD=FD.在 (AB-AF. 5(cm)...O的半径R为5cm. △ABD和△AFD中.BD-FD,'.△ABD△AFD(SSS).:. 15.解:(1)连接OA,OB.·'正三角形ABC内接于O..'AB= 1AD-AD. BC$OA=OB, OAM- OBN-30{*, AOB=120*$:BM- 乙BAD一 FAD.(3)如图(答案不唯一). CN..'AM=BN...△AOM△BON(SAS)... AOM= BON.:乙AOM+BOM- BON十BOM.:乙MON- <A0B-120”.(2)90* 72*(3)MON-360” 9 狐长及扇形的面积 1.(1)4* (2)10 (3)40” 2.10t 3.4* 4.45* 6.(1)4r(2)4 图5 图6 4218九下·参考答案