第1章 新课标 新情境 新题型 引领训练-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（北师大版）

新课标·新情境·新题型·引领训练 类型1数学文化 1.(2024·江西)将图1所示的七巧板拼成图2所 示的四边形ABCD,连接AC,则tan∠CAB= 266 图1 图2 2类型2传统文化 2.(2024·湖南)如图，图1为《天工开物》记载 的用于春(chong)捣谷物的工具一“碓 (du)”的结构简图，图2为其平面示意图.已 知AB⊥CD于点B,AB与水平线I相交于点 O,OE⊥L.若BC=4分米，OB=12分米， 类型3跨学科问题 ∠BOE=60°，则点C到水平线I的距离CF 4.(2024·山西)一只杯子静止在斜面上，其受力 为 分米（结果用含根号的式子 分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持 表示) 力F的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与 斜面平行.若斜面的坡角a=25°，则摩擦力F2 与重力G方向的夹角B的度数为 A.155 B.125° C.115°D.65 航行方向 图1 图2 3.(2024·成都)中国古代运用“土圭之法”判别 ,帆 0 四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春 风向 分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长 度的平均数.某地学生运用此法进行实践探 索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂 G B 直于地面，AB长8尺.在夏至时，杆子AB在 第4题图 第5题图 太阳光线AC照射下产生的日影为BC;在冬至 5.(2024·福建)无动力帆船是借助风力前行 时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日 的.如图，这是帆船借助风力航行的平面示意 影为BD.已知∠ACB=73.4°，∠ADB=26. 图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹 6°，求春分和秋分时日影长度（结果精确到0.1 角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角 尺，参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈ ∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N. 0.89,tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96， 根据物理知识，F可以分解为两个力F,与 cos73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35). F2,其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂 日光 直的力F2又可以分解为两个力f与f2,f 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消：f2与航行 方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物 表 夏至立秋秋分立冬冬至 理学上常用线段的长度表示力的大小，据此， 建立数学模型：F=AD=400,则f:=CD ,(单位：N,参考数据：sin40°≈0.64， 圭立夏春分立春 c0s40°≈0.77) 22 名校深发·数华1·九年下 类型4阅读理解问题 类型5综合与实践 6.(2024·乐山)我国明朝数学家程大位写过一 7.(2024·新疆)数学活动课上为了测量学校旗 本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与 杆的高度，某小组进行了以下实践活动： 荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌 (1)准备测量工具 写的： ①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角 平地秋千未起，踏板一尺离地 器的圆心处，细线的另一端系一个小重 送行二步与人齐，五尺人高曾记 物，制成一个简单的测角仪（图1），利用 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉. 它可以测量仰角或俯角； ②皮尺 良工高士素好奇，算出索长有几？ (2)实地测量数据 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有 ①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使 一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它 视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆 往前推进10尺(5尺为一步)，秋千的踏板就 的最高点（图2）： 和某人一样高，这个人的身高为5尺.（假设 ②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距 秋千的绳索拉得很直) 离为16.8m,眼睛到地面的距离为 (1)如图1，请根据词意计算秋千绳索OA的 1.6m. 长度 (3)计算旗杆高度 (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为a的 ①根据图3中测角仪的读数，得出仰角α 位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直 的度数为 方向夹角为B的地方OA”,两次位置的高 ②根据测量数据，画出示意图4，AB= 度差PQ=h.根据上述条件能否求出秋千 1.6m,BC=16.8m,求旗杆CD的高度 绳索OA的长度？如果能，请用含a,B和h (精确到0.1m,参考数据：sin35°≈ 的式子表示；如果不能，请说明理由 0.57,cos35°≈0.82，tan35°≈0.70， 0 sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43) ③若测量者仍站在原处（点B),能否用三 角板替代测角仪测出仰角α？若能，请 写出测量方法；若不能，该如何调整位 置才能用三角板测出仰角α，请写出测 量方法。 地面 地面 图1 图2 图2 读数为55 图3 图4 名道 23CQ=BC=225m.∴.PC=PQ+CQ=425m.在Rt△PCA中， h m∠APC=m15=瓷-瓷，27，AC=14,5mAB .(cosB-cosa)-h.OA-cosg-cosa' 7.解：①35°②，BC=16.8m,.AE=BC=16.8m在 =BC-AC=225一114.75=110.25≈110(m).答：奇楼AB的 高度约为110m. Rt△ADE中，ae-PE,DE-AE·tana≈16,8X0,70 5.解：(1)过点E作EF⊥BC,垂足为F,,CD的坡度i=1t2, 11.76(m).∴.CD=CE+DE=1.6+11.76=13.36≈13.4(m) 票=子设EP=x米，则CP=2z米在△CEF中，CE 答：旗杆CD的高度约为13.4m.③a=35°，不能用三角板 测出仰角a.∴.当测量者从点B处走到点B处，使BC一A'E √CF十EF=/(2x)+x=√5x米，CE=8√5米，∴5x DE时，可以用三角板的45角测量仰角a..BB=BC一B'C 8√5..x=8..EF=8米，CF=16米.答：点E到水平地面的 BC-DE=16.8-11.76≈5(m).答：测量者向旗杆走约5m可 距离为8米，(2)延长FE交AH于点G,则四边形ABFG为矩 以用三角板测量柳角a, 形..AG=BF=BC+CF=24+16=40(米)，AB=GF,∠AGE 第二章二次函数 =90°，在Rt△AGE中，∠GAE=43",.GE=AG·tan43° 1二次函数 40×0.93=37.2(米).AB=GF=EF+GE=8+37.2=45.2 1.C2.D3.1-6-14.(1)m≠-3(2)35.(1)-4 (米)，答：楼房AB的高度约为45,2米。 6.31 (2)1或-46.x+2y=x2+2x,7.C8.D9.B 回顾与思考（一）直角三角形的边角关系 10.解：(1)由题意，得y=(4+x)(3+x)-3×4,化简，得y=x+ 7x(2)当x=1时，y=1+7×1=8,当x=2时，y=22+7×2 1A2B3号4A5.等边三角形 一18：当x=3时，y=32十7×3一30.答：当矩形每边长都分别 增加1cm,2cm,3cm时，矩形的面积分别增加8cm,18.cm2, 6.解：原式=1+2巨-2×号+巨=3厄， 30cm. 11.B12.113.①③⑤14.36496481100会 7.D8.D9.5 15.y--3x+252x-486030≤x≤54 10.解：(1)AD⊥BC,AB=10,AD=6,.BD=AB-AD 16.解：(1)上部半圆的半径为rm,矩形的另一边长为2rm 10-6=8..'tanACB=1,..CD=AD=6...BC=BD+ “隧道截面的面积S=Sm十S0=之r+2r·2.5=2矿 CD=8+6=14.(2):AE是BC边上的中线，.CE=2BC +5r.∴S与r之间的函数关系式为S=号+5r.(2)当r 7...DE CE-CD=7-6=1.AD L BC,.AE= 、 AD +DE--37.:sin/DAE-DE- 2时，S=x×2+5×2=2m十10.答：当上部半圆的半径为 37 2m时，截面面积是(2x十10)m2. 37 17.解：(1)由题意，得AP=2xcm,BQ=4xcm,则BP=(12一2x) 37 11.0.8812.(30-53) cm,六y=2BC·AB-7BQ·BP=2×24X12-7·4u 13.解：过点C作CE⊥AB于点E.由题意，得∠CAE=90°一45° ·(12-2x)=4x2-24x+144.(2)0<AP<AB,0<BQ 45°，∠ECB=30°，∠ECD=60°，.△CAE是等腰直角三角形. BC,.0<x<6.(3)不能.理由：令4x一24x+144=172.解得 'AC=30 n mile,AE=CE=AC·cos45°=15√2 n mile,在 x1=7,x1=一1，义"0<x<6,.四边形APQC的面积不能等 R△BCE中，BC-C5-10,后n mile..在△BCD中，∠CBD 于172cm 2二次函数的图象与性质 =30°+60°=90°，∠DCB=∠ECD-∠ECB=30°.在 R△BCD中，CD-0-20,nmile.答：C,D同的距离为 第1课时 抛物线的认识 1.抛物线上y轴(0,0)2.A3.C4.B5.D6.A 7.C8.C9.C 20√2 n mile, 10.解：(1)一9(2)减小(3)(3,9)（一3，-9）(-3,9) 14.解：(1)，AD∥EF,AM⊥MN,DN⊥MN,.四边形AMND (4)点C在抛物线y=一x上，点B,D在抛物线y=x上 是矩形..AD=ME+EF+FD=20.0+40.0+20.0=80.0(m). 【拓展变式】B 答：“大碗"的口径AD的长为80.0m.(2)延长EB交AD于点 11.D12.B13.C14.2x H.'碗底BEFC是矩形，.EH⊥AD.四边形AMEH是矩 形.，∠ABE-152,.∠ABH-180°-∠ABE-28°，∠HAB 15.解：1)由圆柱的体积公式，得V=子心=P(>0).图象如图 90°-28°=62.=an62”≈1.88.BH≈20.0X1 所示.(2)当x=1时，V=1,即圆柱的体积为1.(3)当r≥2时 V≥4. =37.6(m)..AM=EH=BH+BE=37.6+2.4=40.0(m) 16.解：(1)点A(2,4)在抛物线y=ax2上，.4=4a,解得a=1 答：“大碗”的高度AM的长约为40,0m ,抛物线的表达式为y=x.(2),四边形CDFE为正方形，， 新课标·新情境·新题型·引领训练 CD∥EF,CD=EC=EF,又'AB⊥y轴，.EF⊥y轴，即EF ∥x轴.设点E的横坐标为m(m>0),则EF=2m.,点E在 1.22.(6-23 抛物线上，.E(m,m).又ABLy轴，CE⊥x轴，A(2,4), 3.解：在Rt△ABC中，AB=8尺，∠ACB=73.4°，.tan73.4° C(m,4)..EC=4一m2,EC=EF,.4一m=2m.解得m1= Can73.4≈3.35，一BC≈3.35≈2.4（尺）.在R△ABD -1-√5（台去），m=-1+√5，.CD=2m=一2+25. 第2课时二次函数y=axr2和y=ax2十c 中，AB=8尺，∠ADB=26.6,an26.6°=BDan26.6≈ 的图象与性质 0.50,∴.BD16.0尺.”春分和秋分时日影长度等于夏至和冬 1.三，四下y轴(0,0)减小002.C3.B 至日影长度的平均数，“春分和秋分时日影长度为24牛16.0 4.解：(1)将点(1，一4)代人y=ar,得a=-4.(2)由(1)得，抛物 2 线的表达式为y=一4z,,当x>0时，y随x的增大而诚小， =9.2(尺). 且0<√7<3，.1<为. 4.C5.128 6.解：(1)过点A'作A'B⊥OA于点B.设秋千绳索的长度为x尺， 5上y轴(0，-2)>0小-26C1.A&y=号-1 由题可知，OA=OA'=x尺，AB=5-1=4(尺)，AB=10尺， 9.<10.y=3x2-4 OB-OA一AB-(x一4)尺.在Rt△OA'B中，由勾股定理，得 11.解：图略.(1)二次函数y=一2x2的图象开口向下，对称轴为y A'B2+0B=0A2,∴.102+(x一4)=x2,解得x=14.5.答：秋 轴，顶点坐标为(0,0).二次函数y=一2x2+3的图象开口向 千绳索OA的长度为14.5尺，(2)能，由题可知，∠OPA' 下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,3).(2)上3 ∠0QA"=90,0A'=0A=0A.在R△0A'P中，coa=85, 12.-4<y≤413.D14.C15.a>b>d>c 16.解：(1)A(一2,0)，B(2,0),C(0,4).(2),四边形ABCD是平 ∴OP=OA'·cosa=OA·coa.同理可得，OQ=OA”·cos3= 行四边形，AB=4,C(0,4),·CD=AB=4,CD∥AB. OA·co8"OQ-OP=h,.OA·cos明-0A·co8a=h..OA D(一4,4)，设平移后抛物线的表达式为y=一x十4+m,则4 s九下·参考着案35