1.5 三角函数的应用-【名校课堂】2024-2025学年九年级下册数学同步课时训练（北师大版）

5 三角函数的应用 A基础题一 时,位于海平面R处的雷达测得点R到点A 的距离为a千来,仰角为θ,则此时火箭距海 知识点1 方向角问题 平面的高度AL为 ( ) 1.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55^*方 B.千米 A.asin9千米 向,距离灯塔2海里的点A处,如果海轮沿正 南方向航行到灯塔的正东方向,那么海轮航 D.米 C.acos千米 ( 行的距离AB的长是 ) A.2海里 B. 2sin55*海里 C. 2cos55*海里 D. 2tan55*海甲 北 对__-- 第4题图 第5题图 第1题图 第2题图 5.(教材P20随堂练习T1变式)如图,建筑物BC 2.(教材P21习题T4变式)如图,海中有一个小 岛A,一艘轮船由西向东航行,在点B测得小 上有一旗杆AB,在距离BC10m的D处测得旗 岛A在北偏东60{方向上,航行12nmile到达 杆顶部A的仰角为53{},旗杆底部B的仰角为 45^{},则旗杆AB的高度约为 点C,这时测得小岛A在北偏东30{方向上, _.(结果保 则小岛A到航线BC的距离是 n mile. 留整数,参考数据:sin53{~0.80,cos53{~0.60. tan53*~1.33) (/3~1.73,结果精确到0.1nmile) 知识点3 坡角问题 3.(2024·甘孜州)如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东37*}方向,距离灯塔100海里的A 6.(教材P20随堂练习T2变式)如图,我市在建 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于 高铁的某段路基横断面为梯形ABCD,DC/ 灯塔P的南偏东45{方向上的B处.B处距离 AB,BC长为6米,坡角B=45^{*},AD的坡角 A处有多远?(参考数据:sin37*}~0.60. a一30{,则AD的长为 米,(结果保留 cos37*~0.80,tan37*~0.75) 根号) 2-- 第6题图 第7题图 7.(教材P19“做一做”变式)河泽某超市计划更 换安全性更高的手扶电梯,如图,把电梯坡面 的坡角由原来的37{}减至30{},已知原电梯坡 面AB的长为8米,更换后的电梯坡面为 知识点2仰角、俯角问题 AD,点B延伸至点D,则调整后的电梯坡面 4.(2024·长春)2024年5月29日16时12分 加长了 米.(结果精确到0.1米,参考数 “长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在 据:sin37*~0.60,cos37*~0. 80,tan37*~0. 75 黄海海域成功发射,如图,当火箭上升到点A 3~1.73) 14 名校课堂·数学1·九年级下·BS B中档题 C综合题 8.(2024·德阳)某校学生开展综合实践活动. 10.(2024·河北)中国的探月工程激发了同学 测量一栋建筑物CD的高度,在建筑物旁边有 们对太空的兴趣,某晚,湛湛在家透过窗户 一栋高度AB为10米的小楼房,小李同学在 的最高点P恰好看到一颗星星,此时淇淇距 小楼房楼底B处测得C处的仰角为60{},在小 窗户的水平距离BQ-4m,仰角为a;淇淇向 楼房楼顶A处测得C处的仰角为30{*}(AB. 前走了3m后到达点D,透过点P恰好看到 CD在同一平面内,B,D在同一水平面上),则 建筑物的高CD为来 月亮,仰角为B,如图,这是示意图,已知,淇 A.20 其的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD= 1.6m,点P到BQ的距离PQ=2.6m.AC B.15 □□口 的延长线交PQ于点E.(注:图中所有点均 C.12 在同一平面) D.(10+5③) 60。 (1)求8的大小及tana的值. 9.某校科技节当天,无人机社团向全校师生展 (2)求CP的长及sinAPC的值 示无人机飞行技巧.如图,BC是平行于地面 DE的无人机表演展台,展台与地面相连的斜 坡CD的坡度i一3!4(i为铅直高度与水平宽 度的比),无人机在展台的点B处垂直于展台 飞起,并且悬停于点A处,此时在点E处观察 无人机的仰角为 /AED=55{*},若BC=2米, CD-2.5米,DE-1米,图中点A.B.C.D.E 均在同一平面内,求此时无人机到展台的距离 AB.(结果精确到0.1米,参考数据;sin55*~ 0.82,cos55*~0.57,tan55*~1.43) DE A 158.解：∠A=902-∠B=90°-55°=35.：1anB=AC, BC,sinB= AC 一BF-AF-CG-7.15一1.55.7（米）.答：无人机到展台的 AB 距离AB约为5,7米. ∴BC=AC=an55≈2.8，AB-m点=← nE5in53≈4.9 10.解：(1)由题意可得，PQAE,PQ=2.6m,AB=CD=EQ= 1.6m,AE=BQ=4m,AC=BD=3m,.CE=4-3=1(m), 9.2或1410.B11.C2.913. PE=2.6-1.6=1(m),∠CEP=90°..CE=PE.∴.3 PE 1 1+.解：(1)在Rt△DEA中，：DE=2,inA= 3AD=DE 2 nA=2 ∠PCE=45,ana=tn∠PAE-AE=T.(2):CE=PE- 1m.∠CEP=g0',.CP=√T+1=2(m).过点C作CHI ×2=3.AB=BD+AD=12.在R△ABC中，：AB=I2, CH I AP于点H.:tna=tan∠PAE=A月=子CH=rm,则 smA-号BC-AB·nA-12×号-&.(2)在R△ABC AH=4rm+(4=9,解得r=7.“CH=3y .m. 中，AB=12,BC=8,∴.AC=AB-BC=45,在Rt△DEA 317 中，DE=2,AD=3,.AE=AD-DE=5.∴CE=45 17 334 5=35.∴.CD=CE+DB=/(3,5)+2=7,在 sin∠Pc-C是_ CP 34 R△DBC啡，os∠CDE--号，'DE/BC,∠CDE 6利用三角函数测高 1.30°2.3.73.8.44.51 ∠BCD.cos∠BCD=cos∠CDE= 5.解：过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D,设CD=xm,在 7 Rt△CBD中，∠CBD=45°=∠BCD,.BD=CD=xm.在 15.解：探究：过点B作BD⊥AC于点D.AB=c,∠A=a,BD =c·ina.Sam=之AC·BD=专bosine,.应用：过点C作 R△CADt.∠CAD=42.AD=am2=09“AB=10m, CE CE⊥D0于点E.ina=C品CE=CO·sina.在□ABCD 六0.9一x=10,解得r=90.山顶点C处的海拔为1600+0 -1690(m). 中，AC=a,BD-6.C0-za.Sm-2CE·BD-× 6.解：(1)根据题意，得3=90°一a,(2)设AD=xm,,'∠ACD 45.∠ADB=90°.∴∠ACD=∠CAD=45..CD=AD=xm 7 asina·=-ubsina.∴5mn=2Sm=7 absina… BC=20m,.BD=(20十x)m.在Rt△ABD中，tan∠ABD AD 小专题1解直角三角形的常用方法 D六tnn37-20十，甲0,520千，解得x-60.AD 1A2.c3D4.号5A6.B 60m.答：气球A高地面的高度AD约为60m, T,解：连接DF交AH于点G.,DC⊥CE,FE⊥CE,∴.DC∥FE 7.解：，在△ABC中，∠ACB=90,AC=BC=4,∠A=∠B.由 :DC=EF=I.6m,.四边形DCEF为平行四边形..DF∥ 折叠的性质，得△AEF≌△DEF,.∠EDF=∠A,AE=DE= CE,DF=CE=182m..∠AHE=∠AGF.AH⊥CE, 3.·∠EDF=∠B..∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+ ∠AHE=∠AGF=∠AGD=∠DGH=90°，，四边形DCHG ∠BDF+∠B=180',∴.∠CDE=∠BFD,:AE=3.AC=4, 为矩形..DC=GH=1.6m.设AG=xm,在Rt△ADG巾， CE=4-3=1.'在Rt△BCD中，in∠CDE=票= 1 ∠ADG-瓷m5-六DG=rm.在R△AFG中 ÷sin∠BFD- 3 m∠APG-瓷an53=元FG子mr+子r 182,解得x=104.AG=104m,.AH=AG+GH=105.6m 8B9D10.D.C12.号1a8 ∴.风电塔筒AH的高度约为105.6m, 10 I4.解：过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D,则∠BCD 小专题2构造直角三角形解决实际应用问题 180°-∠BCA=45BD=CD=号BC.设AC=k(k>0),则 1.解：过点C作CD⊥AB于点D,在R1△ADC中，AC一6千米 AD ∠CAD=60'.cos∠CAD= AC.AD-AC. C=EAC=k.BD=CD-号BC-无AD=AC+(CD AC·sin∠CAD-CP. eos∠CAD=6Xcos60°=3（千米），CD=AC·sin∠CAD=6X 2kamA-0-嘉- sin60°-33（千米）.在Rt△CDB中，∠CBD-37,CD-33千 CD CD 33.35 15.解：过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,则∠ADC 米.an∠CBD=D品DB-an CBD-an分≈.元-4，（千 90,在R△ADC中，∠C=45dAD=DC-号AC=6,反.y 米).∴.AB=AD+DB=3+433+4×1.73≈9.9（千米）.答： 改造后公路AB的长约为9.9千米。 ∠ABC=120°，·∠ABD=60.在R1△ABD中，，n∠ABD 2.解：(1)根据题意，得∠NAC=80°，∠BAS=25,,∠CAB= BD=tan60*=/3,AD=6:BD=26.BC=DC-DB 180°-∠NAC-∠BA5=75°.∠ABC=45..∠ACB=180 一∠CAB一∠ABC一60°，(2)过点A作AD⊥BC,垂足为D,在 =6√2-26， Rt△ABD中，AB=3,2km,∠ABD=45",.AD=AB·sinl5 5三角函数的应用 =3v2×-3(km,BD=AB·cos45=32×号-3(kn. 1.C2.10.4 3.解：过点P作PC⊥AB于点C,由题意，得∠A-37°，∠B-45 在R△ADC中，∠ACD=60,∴.CD= AD 3 =√3(km) 在R△APC中，，∠A=37,AP=100海里，.PC=AP·simA =100·sin37≈100×0.60=60（海里），AC=AP·cos37=100 .BC=BD+(CD=(3十3)km.答：检查点B和C之间的距离 ×0,80=80(海里).在R△PBC中，，∠B=45,.BC=PC (3+√3)km 60海里..AB=AC+BC=80十60=140（海里）.答：B处距离 3.解：过点C作CF LAB.垂足为F,,”AE LAB,∠EAD=45”, A处140海里. ∠BAD=45..在R1△ABD中，BD=AB=873m.ABI 4.A5.3m6.627.1.68.B BD.CF⊥AB,DC⊥BD,.∠CDB=∠B=∠CFB=90..四边 9.解：延长AB交DE于点F,过点C作CG⊥EF于点G,则四边 形CDBF是矩形，.BF=CD,CF=BD=873m,,'CF∥AE, 形BCGF为矩形，，BF=CG,PG=BC=2米，在R1△CG中， tan∠CDG=i-3t4.CD=2.5米，∴.设CG=3.r米.则DG=4u ∠EAC=∠ACF=37.在R△ACF中，tanLACF=F,:AF 米.，CG+DG=CD,,(3.x)十(4x)=2.5,解得T=0.5 =CF·tan,∠ACF=873×tan37≈654.75(m)..CD-FB (负值舍去)，.CG=1.5米.DG=2米..EF=FG十DG+DE AB-AF=873-654.75=218.25≈218.3(m).答：吉塔的高度 =2+2+1=5(米).在Rt△AEF中，∠AEF=55,tan∠AEF CD约为218.3m. AF=EF·tan∠AEF≈5X1,43-7,15(米)，AB=AF AF 4.解：延长BA交PQ的延长线于点C,则∠ACQ=90°，根据题意 得BC=225m.PQ=200m,在Rt△BCQ中，∠BQC=45,. 34心九下·参考每贵