中考重难点真题提分练01 几何最值问题专练（瓜豆原理系列等模型压轴题+其他几何常考最值问题补充练）-备战2025年九年级中考数学中档压轴题解题模型

中考重难点真题提分练01 几何最值问题专练 题型1 将军饮马系列最值问题 2 题型2 胡不归最值问题 7 题型3 瓜豆原理1（直线型）最值问题 10 题型4 瓜豆原理2（圆弧型）最值问题 14 题型5 阿氏圆最值问题 18 题型6 费马点最值问题 21 题型7 其他几何常考最值问题 25 题型1 将军饮马系列最值问题 一、单选题 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 3．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 二、填空题 4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 5．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 7．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      8．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    三、解答题 9．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．    (1)求证：； (2)求的最小值． 10．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 11．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 2025年中考数学重难点【真题提分练】 几何最值问题专练 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 题型2 胡不归最值问题 一、单选题 1．（2023·安徽合肥·一模）如图，为等边三角形，平分，，点E为上动点，连接，则的最小值为（        ） A．1 B． C． D．2 2．（2021·辽宁锦州·二模）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 二、填空题 3．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    4．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 三、解答题 5．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 6．（2020·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．      （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 题型3 瓜豆原理1（直线型）最值问题 一、单选题 1．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D．3 2．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    4．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为 ； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为 5．（2023·辽宁·中考真题）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．    6．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 7．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则 ．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．    三、解答题 8．（2021·湖北十堰·中考真题）已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连． （1）如图1，直接写出线段与的数量关系； （2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； （3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度． 9．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 题型4 瓜豆原理2（圆弧型）最值问题 一、单选题 1．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    3．（2022·江苏盐城·一模）如图，在直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），以B点为圆心，2长为半径的圆交轴于C、D两点，若P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为一直角边作Rt△PAQ，使得，连接DQ，则DQ的最小值为 4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是 ；点到达点时，线段扫过的面积为 ． 5．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 ． 三、解答题 6．（2022·辽宁沈阳·中考真题）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点C在上，点D在线段延长线上，连接，．线段与的数量关系为______； （2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由． （3）如图3，若，点C是线段外一动点，，连接， ①若将绕点C逆时针旋转 得到，连接，则的最大值______； ②若以为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值． 7．（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 8．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°． （1）求证：直线AC是⊙O的切线； （2）求△ABC的面积； （3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F． ①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长； ②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长． 题型5 阿氏圆最值问题 一、单选题 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 2．（2020·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    3．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题 4．（2020·湖北黄冈·二模）如图，一条抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点，点在轴上． （1）求抛物线解析式； （2）若，求点的坐标； （3）过点作直线交抛物线于，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）坐标平面内一点到点的距离为1个单位，求的最小值．        5．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点． （1）求二次函数的表达式； （2）求顶点的坐标及直线的表达式； （3）判断的形状，试说明理由； （4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值． 题型6 费马点最值问题 一、单选题 1．（2023·四川·模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 二、填空题 2．（22-23九年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将绕点顺时针旋转60°得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 三、解答题 3．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 4．（2020·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在中，，，P为内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将绕点A顺时针旋转60°得到，则，连接．此时小明发现，且，则为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值． （2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点E在边上且米，F为边上任意一点，点A关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点P处打一口井，并修建地下管道，，．请问：是否存在一点P，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由． 6．（2021·重庆·一模）如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转． （1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离； （2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：； （3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值． 题型7 其他几何常考最值问题 一、单选题 1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 2．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D．10 二、填空题 3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．    4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 5．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 三、解答题 6．（2021·广西贺州·中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点，且，对称轴为直线． （1）求该抛物线的函数达式； （2）直线过点且在第一象限与抛物线交于点．当时，求点的坐标； （3）点在抛物线上与点关于对称轴对称，点是抛物线上一动点，令，当，时，求面积的最大值（可含表示）． 7．（2021·广西柳州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标； （3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 8．（2021·甘肃武威·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别交直线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当，连接，求的面积； （3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值． 9．（2021·贵州遵义·中考真题）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． $$中考重难点真题提分练01 几何最值问题专练 题型1 将军饮马系列最值问题 2 题型2 胡不归最值问题 24 题型3 瓜豆原理1（直线型）最值问题 36 题型4 瓜豆原理2（圆弧型）最值问题 54 题型5 阿氏圆最值问题 72 题型6 费马点最值问题 85 题型7 其他几何常考最值问题 102 题型1 将军饮马系列最值问题 一、单选题 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 3．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 二、填空题 4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 5．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 7．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      【答案】 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 【详解】解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 8．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 三、解答题 9．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．    (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明； （2）过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：过点N作于点F，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：      即， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键． 10．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 11．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 【答案】（1）2（2）（3）（4） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可. 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由（2）可得：， ∴当三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴； ∴的最小值为； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 2025年中考数学重难点【真题提分练】 几何最值问题专练 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 题型2 胡不归最值问题 一、单选题 1．（2023·安徽合肥·一模）如图，为等边三角形，平分，，点E为上动点，连接，则的最小值为（        ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】过A作于F，过点P作于E，故，故，求出即可． 【详解】解：过A作于F，过点P作于E， ∵为等边三角形，平分， ∴， ∴， ∴，即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形中，所对的直角边等于斜边一半，作出垂线，得到是解决本题的关键． 2．（2021·辽宁锦州·二模）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由四边形是菱形结合其性质，将进行转化，再由“垂线段最短”的思想进行求解即可得解． 【详解】连接AC交OB于点M，过M点作MH⊥OC于点H，过点A作AG垂直OC于点G，交OB于点P ∵四边形是菱形 ∴AM⊥OB，，， ∵ ∴， ∵MH⊥OC，AM⊥OB ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG，如下图所示 ∵菱形的面积 ∴ ∴的最小值为4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质、勾股定理、菱形面积求法等相关知识是解决本题的关键． 二、填空题 3．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    【答案】6 【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可． 【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接    ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形的外接圆，其半径为4 ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为的长度 ∵是等边三角形，， ∴ ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 三、解答题 5．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为： 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； （3）解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（2020·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．      （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）存在点P，点P坐标为（2＋，1＋）或（2−，1−）或（2，−3）；（3）＋ 【分析】（1）分别求出A、B坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线，即可得出其解析式； （2）首先假设存在点P，然后分点P在直线AB上方时和点P在直线AB下方时两种情况讨论，即可得解； （3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，），则点F（m，m−2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝−（m−2）2＋4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN＝ON，可得MN＋ON＝MN＋KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）由题意，令，即 ∴A的坐标为（4,0） 令，即 ∴B的坐标为（0，-2） 将A、B、C三点坐标代入抛物线，得 解得 ∴抛物线解析式为：； （2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，      ∵OP∥AB， ∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形， ∴S△PAB＝S△ABO， ∵OP∥AB， ∴直线PO的解析式为y＝x， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点P（2＋，1＋）或（2−，1−）； 当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP"∥AB，交抛物线于点P"，连接AP"，BP"， ∴AB∥EP"∥OP，OB＝BE， ∴S△AP"B＝S△ABO， ∵EP"∥AB，且过点E（0，−4）， ∴直线EP"解析式为y＝x−4， 联立方程组可得， 解得， ∴点P"（2，−3）， 综上所述：点P坐标为（2＋，1＋）或（2−，1−）或（2，−3）； （3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，      设点M（m，），则点F（m，m−2）， ∴MF＝m−2−（）＝−（m−2）2＋2， ∴△MAB的面积＝×4×[−（m−2）2＋2]＝−（m−2）2＋4， ∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值， ∴点M（2，−3）， 如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，    ∵∠KOB＝30°，KN⊥OK， ∴KN＝ON， ∴MN＋ON＝MN＋KN， ∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP， ∵∠KOB＝30°， ∴直线OK解析式为y＝x， 当x＝2时，点Q（2，2）， ∴QM＝2＋3， ∵OB∥QM， ∴∠PQM＝∠PON＝30°， ∴PM＝QM＝＋， ∴MN＋ON的最小值为＋． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键． 题型3 瓜豆原理1（直线型）最值问题 一、单选题 1．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段，则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线段的距离问题． 【详解】解：与固定夹角是，，点的轨迹是线段， 的轨迹也是一条线段． 两点确定一条直线，取点分别与重合时，所对应两个点Q， 来确定点的轨迹，得到如下标注信息后的图形： 求的最小值，转化为点到点的轨迹线段的距离问题， , 在中，, ,， 将逆时针绕点转动后得到， 为等边三角形，, 为的中点，根据三线合一知， , 过点作的垂线交于点, 在中，对应的边等于斜边的一半， ， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口． 2．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径． 过点C作交于点H，根据，四边形是菱形，得出 垂直平分，再证明垂直平分，点M在上运动，根据解直角三角形 ．即可求解． 【详解】解：过点C作交于点H，连接， ∵，四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵点P和点Q关于点C对称， ∴，即垂直平分， ∵交于点M． ∴ ∴点M在上运动， 当点P与点B重合时，点M位于点， 此时，∵，四边形是菱形，， ∴， ∴． 故点M的运动路径长为． 故选：B． 二、填空题 3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为高上的动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示，    作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 4．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为 ； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为 【答案】 120°/120度 75°/75度 【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论． 【详解】 解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′． ∵△BPP′是等边三角形， ∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE， ∴∠ABP＝∠EBP′， 在△ABP和△EBP′中， ∴△ABP≌△EBP′（SAS）， ∴∠BAP＝∠BEP′＝90°， ∴点P′在射线EP′上运动， 如图1中，设EP′交BC于点O， 当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°－60°＝120°， 当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°， ∴EO＝OB，OP′＝OC， ∴EP′＝EO＋OP′＝OB＋OC＝BC， ∵BC＝2AB， ∴EP′＝AB＝EB， ∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°， ∴∠BP′C＝45°＋90°＝135°， ∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－60°＝75°． 故答案为：120°，75°． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 5．（2023·辽宁·中考真题）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．    【答案】 【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，交于点P，如图， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴, ∴是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴点F在射线上运动， ∴当时，最小， 此时， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴；    故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点． 6．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 7．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则 ．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为 ．    【答案】 【分析】过作交延长线于点，证明，得到即可求解；过作交于点，交于点，证明，得到，故点的运动轨迹是一条平行于的线段，当点与重合时，，当点与重合时，由得到，即，从而求解． 【详解】解：过作交延长线于点    则四边形为矩形， ∴ 由题意可得： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 过作交于点，交于点，如下图    ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴， 故点的运动轨迹是一条平行于的线段， 当点与重合时， 当点与重合时，， ∴ ∵ ∴ ∴，即 解得 ∵、分别为、的中点 ∴是的中位线 ∴，即点运动的路径长为 故答案为：， 【点睛】本题考查了正方形的性质，点的轨迹，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关基础性质，确定出点的轨迹，正确求出线段． 三、解答题 8．（2021·湖北十堰·中考真题）已知等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连． （1）如图1，直接写出线段与的数量关系； （2）如图2，当点P、B在同侧且时，求证：直线垂直平分线段； （3）如图3，若等边三角形的边长为4，点P、B分别位于直线异侧，且的面积等于，求线段的长度． 【答案】（1）AP=BQ；（2）见详解；（3）或或 【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，进而即可得到结论； （2）先证明是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论； （3）过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，根据，可得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，设AP=x，则BQ=x，MQ=x-，QF=( x-)×，再列出关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵线段绕点C逆时针方向旋转得到， ∴CP=CQ，∠PCQ=60°， ∵在等边三角形中，∠ACB=60°，AC=BC， ∴∠ACP=∠BCQ， ∴， ∴=； （2）∵，CA⊥l， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形，∠CBQ=90°， ∵在等边三角形中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°， ∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°， ∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°， ∴∠CBD=180°-75°-60°=45°， ∴PD平分∠CBQ， ∴直线垂直平分线段； （3）①当点Q在直线上方时，如图所示， 延长BQ交l与点E，过点Q作与点F， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 即， 解得或， 即AP的长度为或； ②当点Q在直线l下方时， 过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l， 由（1）小题，可知：， ∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°， ∵∠ACB=60°，∠CAM=90°， ∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°， ∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4， ∴BE=， ∴BM=BE÷sin60°=2÷=， 设AP=x，则BQ=x，MQ=x-，QF= MQ×sin60°=( x-)×， ∵的面积等于， ∴AP×QF=，即：x×( x-)×=，解得：或（不合题意，舍去）， ∴AP=． 综上所述，AP的长为：或或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 9．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可； （）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可； （）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴，即，则， 解得：或， ∴或； （2）设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，有最大，最大值为； （3）连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即点在对角线所在直线上运动， 如图，作关于的对称点，连接，过作于点， ∴，四边形为矩形， 则点三点共线，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 题型4 瓜豆原理2（圆弧型）最值问题 一、单选题 1．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 二、填空题 2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 3．（2022·江苏盐城·一模）如图，在直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），以B点为圆心，2长为半径的圆交轴于C、D两点，若P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为一直角边作Rt△PAQ，使得，连接DQ，则DQ的最小值为 【答案】/ 【分析】由题意根据“瓜豆原理-主从联动”可得Q的点轨迹也是一个圆，找到此圆即可解决问题． 【详解】解：如图，取点M（2，-2），连接AM，MQ、PB， ∵∠MAB=∠QAP=90°， ∴∠MAQ=∠BAP， ∵， ∴△MAQ∽△BAP， ∴MQ= PB=1， ∴Q点在以M为圆心，以1为半径的圆上， 由图象可得： DQ的最小值为：DM-MQ， AD=OD-OA=6+2-2=6， 由勾股定理可得：DM=， ∴DQ的最小值等于：−1. 故答案为：−1． 【点睛】本题考查轨迹圆问题，熟悉掌握利用相似三角形的性质解决动点的轨迹是快速解题的关键． 4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是 ；点到达点时，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）通过分析点A′的运动轨迹，是以点C为圆心，CA为半径的圆上，从而求解； （2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解 【详解】解：（1）由题意可得点A′的运动轨迹是以点C为圆心，CA为半径的圆上， ∵点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，，点关于直线的对称点为， ∴∠ACA′最大为90° 当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，如图 过点B作BE⊥AC ∵，，， ∴在Rt△ABE中，BE=1，AE=， 在Rt△BCE中，BE=CE=1 ∴CA′=CA= 又∵CA′⊥AB ∴在Rt△ACF中，CF= ∴A′F=A′C-CF= 即点到直线距离的最大值是； 点到达点时，线段扫过的面积为： == 故答案为：； 【点睛】本题考查轨迹，含30°直角三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 ． 【答案】2 【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小． 【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N． ∵AC=CB，AM=OM， ∴MC=OB=1， ∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′． ∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点D、E， ∴D（4，0），E（0，-3）， ∴OD=4，OE=3， ∴， ∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE， ∴△DNM∽△DOE， ∴， ∴， ∴， 当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值， 故答案为2． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题 6．（2022·辽宁沈阳·中考真题）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点C在上，点D在线段延长线上，连接，．线段与的数量关系为______； （2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由． （3）如图3，若，点C是线段外一动点，，连接， ①若将绕点C逆时针旋转 得到，连接，则的最大值______； ②若以为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）①，②或． 【分析】（1）由题意易得，，，然后可证，进而问题可求解； （2）由题意易得，，然后可证，进而问题可求证； （3）①过点作，使，连接，易证，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，即可得解；②分点在线段的上方和下方，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ， 故答案为：； （2）结论仍成立，理由如下： ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，即， ∴， ； （3）①过点作，使，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∴当在的延长线上时，的值最大，最大值为； 故答案为：； ②当点在上方时，如图，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点． ，； ∴， ， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴   当点在下方时，如图，在上方作，过点作于点，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，四点共圆及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定方法，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 7．（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； (2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长； (3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解． （3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，且，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）∵，且，， ∴，， 延长交于点，如图所示，    ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，    同（1）可得 则， ∵，则， 在中，，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，    在中， ∴,， ∵， ∴， 过点作，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 8．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°． （1）求证：直线AC是⊙O的切线； （2）求△ABC的面积； （3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F． ①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长； ②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①3；② 【分析】（1）连接OC，利用切线的判定定理，证明OC⊥AC即可； （2）要求的面积，结合（1）题，底边AB可求，只需再求出底边上的高CH即可； （3）根据垂径定理可求CE的长，再利用锐角三角函数，可求CF的长； 由可知，点E在运动过程中，始终有，所以，求出CE的最大值，即可得到CF的最大值． 【详解】（1）证明：连结OC，如图所示． ∵AD＝CD ，∠A＝30°， ∴∠ACD＝∠A=30°． ∴∠CDB＝60°． ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC=60°． ∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°． ∴OC⊥AC． ∴直线AC是⊙O的切线． （2）过点C作CH⊥AB于点H，如图所示． ∵OD=OC，∠ODC=60°， ∴是等边三角形． ∴． ∴在中， ． ∵AB＝AD＋BD＝3， ∴． （3）当点运动到与点关于直径BD对称时，如图所示． 此时，CE⊥AB，设垂足为K． 由（2）可知，． ∵BD为圆的直径，CE⊥AB， ∴CE＝2CK＝． ∵CF⊥CE， ∴∠ECF＝90°． ∵， ∴∠E=∠CDB＝60°． 在中， ∵， ∴． 如图所示： 由可知，在中， ∵， ∴． ∴当点E在上运动时，始终有． ∴当CE最大时，CF取得最大值． ∴当CE为直径，即CE=2时，CF最大，最大值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、锐角三角函数、求线段的最值等知识点，熟知切线的判定方法、垂径定理、圆周角定理、锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型5 阿氏圆最值问题 一、单选题 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题 2．（2020·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    【答案】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4      ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴ ∵∠ECD=∠ACD ∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB ∴ 在Rt△ECB中，EB= ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为：． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD． 3．（2020·江苏常州·一模）如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 4．（2020·湖北黄冈·二模）如图，一条抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点，点在轴上． （1）求抛物线解析式； （2）若，求点的坐标； （3）过点作直线交抛物线于，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）坐标平面内一点到点的距离为1个单位，求的最小值．        【答案】（1）；（2）或（6，0）；（3）Q（2，3）或或；（4）． 【分析】解：（1）把A，B，C三点坐标代入求出解析式即可； （2）先求出直线DB的解析式，再分①当点P在点B左侧时，②当点P在点B右侧时，分别求出P点坐标即可； （3）分①当四边形APQC为平行四边形时，②当四边形AQPC为平行四边形时两种情况求出Q点坐标； （4）先证△MBE∽△OBM得到，则当点D、M、E在同一直线上时，最短，求出最小值即可. 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点， ∴设此抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）， 将点C（0，3）代入，得a=-1， ∴， （2）∵， ∴顶点D（1，4）， 设直线DB解析式为y＝kx+b， 将D（1，4），B（3，0）代入得，， 解得：k＝﹣2，b＝6， ∴直线DB解析式为y＝﹣2x+6， ①如图1﹣1，当点P在点B左侧时，    ∵∠PCB＝∠CBD， ∴CP∥BD， 设直线CP解析式为y＝﹣2x+m， 将C（0，3）代入，得m＝3， ∴直线CP解析式y＝﹣2x+3， 当y＝0时，， ∴， ②如图1﹣2，当点P在点B右侧时，    作点P关于直线BC的对称点N，延长CN交x轴于点P'，此时∠P'CB＝∠CBD， ∵C（0，3），B（3，0）， ∴OC＝OB， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠CPB＝45°， ∴∠NBC＝45°， ∴△PBN为等腰直角三角形， ∴， ∴， 将C（0，3），代入直线CN解析式y＝nx+t， 得：， 解得，，t＝3， ∴直线CN解析式为， 当y＝0时，x＝6， ∴P'（6，0）； 综上所述，点P坐标为或（6，0）； （3）①如图2﹣1，当四边形APQC为平行四边形时，    ∴CQ∥AP，CQ＝AP， ∵yC＝3， ∴yQ＝3， 令﹣x2+2x+3＝3， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴Q（2，3）， ②如图2﹣2，当四边形AQPC为平行四边形时，    AC∥PQ，AC＝PQ， ∴yC﹣yA＝yP﹣yQ＝3， ∵yP＝0， ∴yQ＝﹣3， 令﹣x2+2x+3＝﹣3， 解得，，， ∴， 综上所述，点Q的坐标为Q（2，3）或或； （4）∵点M到点B的距离为1个单位， ∴点M在以点B为圆心，半径为1的圆上运动，如图3    在x轴上作点，连接BM、EM、DE， ∴， ∵BM＝1， ∴， ∵∠MBE＝∠OBM， ∴△MBE∽△OBM， ∴， ∴， ∴， ∴当点D、M、E在同一直线上时，最短， ∵D（1，4）， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，本题难度较大，属于中考压轴题． 5．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点． （1）求二次函数的表达式； （2）求顶点的坐标及直线的表达式； （3）判断的形状，试说明理由； （4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值． 【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4） 【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可； （2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标求出AB解析式即可； （3）根据二次函数对称性可知为等腰三角形，再根据O、A、B三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可； （4）根据题意可知动点的运动时间为，在上取点，使，可证明，根据相似三角形比例关系得，即，当、、三点共线时，取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可． 【详解】解：（1）二次函数的图象经过，且与轴交于原点及点 ∴，二次函数表达式可设为： 将，代入得： 解这个方程组得 ∵二次函数的函数表达式为 （2）∵点为二次函数图像的顶点， ∴， ∴顶点坐标为：， 设直线的函数表达式为，则有： 解之得： ∴直线的函数表达式为 （3）是等腰直角三角形， 过点作于点，易知其坐标为 ∵的三个顶点分别是，，， ∴， 且满足 ∴是等腰直角三角形 （4）如图，以为圆心，为半径作圆，则点在圆周上，依题意知： 动点的运动时间为 在上取点，使， 连接，则在和中， 满足：，， ∴， ∴， 从而得： ∴ 显然当、、三点共线时，取得最小值， 过点作于点，由于， 且为等腰直角三角形， 则有，， ∴动点的运动时间的最小值为： ． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键． 题型6 费马点最值问题 一、单选题 1．（2023·四川·模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 【答案】A 【分析】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，先证得，可得，由中位线可得，由等边三角形性质可得，当三点共线时即可求得的最小值，最终求出的最小值． 【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示， ∵取、中点， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是利用手拉手模型构造辅助线． 二、填空题 2．（22-23九年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将绕点顺时针旋转60°得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于点，首先证明，求出的值即可解决问题． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于点， 在中，∵，， ∴， 由旋转的性质可知：，、是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当共线时，的值最小， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，理由旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 三、解答题 3．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形的边长为 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，由旋转的性质可得，，据此利用即可证明； （2）证明是等边三角形，得到，则根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．过点作交的延长线于，求出，设正方形的边长为，则，．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明，是等边三角形， ，． 由旋转的性质可得， ．即， ． （2）解：连接， 由（1）知，， ， ，， 是等边三角形． ． ． 根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为． 过点作交的延长线于， ． 设正方形的边长为，则，． 在中， ， ． 解得，（舍去负值）． 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键． 4．（2020·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF． （1）求证：； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论； （2）连接AF，由（1）得，，，推出，然后根据现有条件说明 在中，，点A，D，C，E四点共圆，F为圆心，则，在中，推出，即可得出答案； （3）在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，证明点P位于线段CE上，同理得到点P位于线段BF上，证明∠BPC=120°，进而得到，设PD为， 得出，，得出，解出a，根据即可得出答案． 【详解】解：（1）证明如下：∵， ∴， ∵，， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，F为DE中点（同时），， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）连接AF，由（1）得，，， ∴， 在中，， ∵F为DE中点， ∴， 在四边形ADCE中，有，， ∴点A，D，C，E四点共圆， ∵F为DE中点， ∴F为圆心，则， 在中， ∵， ∴F为CG中点，即， ∴， 即； （3）如图1，在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP， ∴AP+BP+CP=DE+DP+CP， ∴当的值取得最小值时，点P位于线段CE上； 如图2，将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP， ∴AP+BP+CP=GF+GP+BP， ∴当的值取得最小值时，点P位于线段BF上； 综上所述：如图3，以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点， ∴△AEC≌△ABF， ∴∠AEC=∠ABF， ∴∠EPB=EAB=60°， ∴∠BPC=120°， 如图4，同理可得，，    ∴， 设PD为， ∴， 又， ∴， 又 ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在中，，，P为内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将绕点A顺时针旋转60°得到，则，连接．此时小明发现，且，则为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值． （2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点E在边上且米，F为边上任意一点，点A关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点P处打一口井，并修建地下管道，，．请问：是否存在一点P，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，的最小值为300，的长为米 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的性质，特殊角三角函数，相似三角形的判定及性质． （1）连接，由旋转的性质得到，，，再由勾股定理得即可解答． （2）连接，作点A关于的对称点，则点的轨迹为弧，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，，，．由旋转的性质得，，，，当E，，P，，C五点共线时，取得最小值，过点作于点H，交于点M，证得为等边三角形，再由特殊角的三角函数得到，米，则，再根据勾股定理得的值，设交于点N，过点B作于点Q，易证，即可解答． 【详解】解：（1）如图①，连接． 根据小明的思路可知，，，则． ∵，， 在中，， 当C，P，，E四点共线时取得最小值，的最小值为． （2）存在．∵点A，关于对称， 米， 点在以点E为圆心，50米为半径的圆弧上． 如图②，连接，作点A关于的对称点，则点的轨迹为弧． 由（1）同理可得，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，，，．由旋转的性质得，，， 为等边三角形， ， ∵， 米． 当E，，P，，C五点共线时，取得最小值，最小值为，此时点为与弧的交点． 过点作于点H，交于点M． ∵， 为等边三角形， 米． ∵，， ， （米）， 在中，（米）． 易得米，米， 则（米），（米）， 在中，（米）， （米）， 的最小值为300． 设交于点N，过点B作于点Q． ， ， ，即， 米，米， 米， ， ， ， ， 米， 易知当取得最小值时，， 在中，（米）． 答：的最小值为300，此时的长为米． 6．（2021·重庆·一模）如图，和均为等腰直角三角形，．现将绕点C旋转． （1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离； （2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：； （3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）由旋转性质易证，从而可得， ，再求的CE边高即可； （2）通过倍长中线构造，得，由即可证明； （3）利用费马点模型构造图形，过点G作，且，过点G作，且，可得，，将问题由转化为两点之间距离最短即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵，， ∴， ∵若三点共线， ∴， 如图，过B点作BH⊥CE交CE延长线于点H， ∴， ∴， 即：点B到直线的距离为； （2）延长CF到N，使FN=CF，连接BN， ∵FD=FB，， ∴（SAS） ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， （3）的最小值为； 过程如下：如解图3，过点G作，且，过点G作，且，连接OC、、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，仅当C、O、、在同一条直线上等号成立； 如解图4，过点作，垂足为H，过点作，垂足为P， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴的最小值为：， ∴的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，涉及了三角形旋转全等和旋转相似的综合、解三角形等知识点，解（2）关键是倍长中线构造三角形全等证明；解（3）关键是掌握费马点求最值模型，利用旋转转化线段关系． 题型7 其他几何常考最值问题 一、单选题 1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的底边为定值， ∴使得底边上的高最大时，面积最大， 点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，    ∵，的半径为1， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键． 2．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】过点C作，过点B作，需使最小，显然要使得和越小越好，则点F在线段的之间，设，则，求得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】解：过点C作，    ∵，， ∴， 过点B作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 需使最小，显然要使得和越小越好， ∴显然点F在线段的之间， 设，则， ∴， ∴当时取得最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题 3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵于点D，于点E，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小， 此时，， 代入数据：， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键． 4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【答案】 【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 5．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为 cm． 【答案】 【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 ， ，所以平分 和 ，加上平分 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则得到是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为，接着证明为等腰直角三角形得到，设，则，，然后证明 ，利用相似比可计算出． 【详解】解：连接，作的平分线，交于点O，作 于， 在和 中， ， ∴， ∴ ， 平分 和 ， 平分 ， 点到四边形的各边的距离相等， ∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，其半径为， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则，， ∵，， ∴， ， 即 ， ． 即的半径为， ∴圆形纸片的半径为． 故答案为： 【点睛】本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 三、解答题 6．（2021·广西贺州·中考真题）如图，抛物线与轴交于、两点，且，对称轴为直线． （1）求该抛物线的函数达式； （2）直线过点且在第一象限与抛物线交于点．当时，求点的坐标； （3）点在抛物线上与点关于对称轴对称，点是抛物线上一动点，令，当，时，求面积的最大值（可含表示）． 【答案】（1）；（2）点的坐标是（6，7）；（3）当时，的最大面积为，当时，的最大面积为64 【分析】（1）根据已知点和对称轴，用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）由得等腰直角三角形，从而求得坐标； （3分情况讨论，在对称轴的左右两边，即当，时分别求得面积的最大值 【详解】（1）∵抛物线过，对称轴为， ∴， 解得 ∴抛物线表达式为． （2）过点作轴于点， ∵， ∴， 设点的横坐标为， 则纵坐标为， ∴， 代入，得： ． 解得（舍去），， ∴ ∴点的坐标是（6，7）． （3）由（2）得的坐标是（6，7） ∵对称轴， ∴点的坐标是（－2，7）， ∴， ∵与轴平行，点在轴下方， 设以为底边的高为 则， ∴当最大值时，的面积最大， ∵，， ①当时，， 此时在上随的增大而减小． ∴， ∴， ∴的最大面积为： ． ②当时，此时的对称轴 含于内 ∴， ∴， ∴的最大面积为： ． 综上所述：当时，的最大面积为， 当时，的最大面积为64. 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，二次函数求最值问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键． 7．（2021·广西柳州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标； （3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可； （2）先根据和勾股定理求得，，过点E做平行于交y轴于T，易证，利用相似三角形的性质求得，，进而求得点E坐标，求得直线OE的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点D坐标； （3）延长于至点F，使轴，过A点作于点H，作轴交于点T，过M点作于点D，证明，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得，利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而可求得AF，设，则，根据二次函数求最值的方法求的MT的最大值，进而可求得的最大值． 【详解】解：（1）依题意，设， 代入得：，解得： ∴； （2）由， 设=x，则， ∵BE⊥OD， ∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得：， 即，解得：（舍）， ∴，， 过点E做平行于交y轴于T， ∴， ∴， ∴， 即，解得：， ∴， ∴ ， ∴直线的解析式为， ∵的延长线交抛物线于点D， ∴，解得：（舍）， 当时，， ∴  ；           （3）如图所示，延长于至点F，使轴，过A点作于点H 作轴交于点T，过M点作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，           设直线的解析式为，将B，C两点代入得 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ ，        ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程、三角形的面积、勾股定理、求函数的最值等知识，解答的关键是结合图象，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质和数形结合法进行推理、探究和计算． 8．（2021·甘肃武威·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别交直线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当，连接，求的面积； （3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出答案． （2）由题意可求出，．利用三角函数可知在和中，，由此即可求出，从而可求出．即可求出D点坐标，继而求出．再根据，即可求出FD的长，最后利用三角形面积公式即可求出最后答案． （3）①连接，交于点．根据矩形的性质可知，．由可推出．由，可推出．再根据直线BC的解析式可求出C点坐标，即可得出OC的长，由此可求出AC的长，即可求出CH的长，最后即得出OH的长，即可得出H点坐标． ②在中，利用勾股定理可求出的长，再根据结合可推出，即要使最小，就要最小，由题意可知当点在上时，为最小．即求出BC长即可．在中，利用勾股定理求出的长，即得出周长的最小值为． 【详解】解：（1）∵抛物线过两点， ， 解得，， ． （2） ． 同理，． 又轴，轴， ∴在和中，，即，      ． 当时，， ，即．      ， ． （3）①如图，连接，交于点． ∵四边形是矩形， ． 又， ∴， ． ∵四边形是矩形， ． ， ∵当x=0时，， ∴， ， ， ， ． ②在中，， ． ∴要使最小，就要最小．      ， ∴当点在上时，为最小． 在中，． 周长的最小值是．     【点睛】本题为二次函数综合题．考查二次函数的图象和性质，解直角三角形，一次函数的图象和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系以及勾股定理等知识，综合性强，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 9．（2021·贵州遵义·中考真题）点A是半径为2的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB． （1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整． 解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′． 由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形． ∴OO′＝BO＝6 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝60°，AB＝BC ∴∠OBO′＝∠ABC＝60° ∴∠OBA＝∠O′BC 在△OBA和△O′BC中， ∴　 　（SAS） ∴OA＝O′C 在△OO′C中，OC＜OO′+O′C 当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C 即OC≤OO′+O′C ∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 　 　． （2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值； （3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长． 【答案】（1），；（2）；（3）OC的最小值为或，△ABC的周长为 【分析】（1）根据全等三角形的性质，，从而求得OC的最大值； （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′，按照（1）中的思路，求证，从而求得OC的最小值； （3）分别以为顶角进行讨论，按照上述方法求证，从而求得OC的最小值，过点作于点，根据勾股定理求得长度，从而求得△ABC的周长． 【详解】解：（1）根据上下文题意可得： ∴ ∴ （2）将线段OB绕点B顺时针旋转90°到O′B，连接OO′，CO′ 由旋转的性质知：∠OBO′＝90°，BO′＝BO＝6，为等腰直角三角形 ∴ 又∵四边形为正方形 ∴ ∴ 在△OBA和△O′BC中， ∴（SAS） ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 （3）以为顶点，构建等腰三角形，将线段OB绕点B顺时针旋转120°到O′B，连接OO′，CO′，过点作于点，如下图： 由旋转的性质知：∠OBO′＝120°，BO′＝BO＝6，为等腰三角形 在中，，，∴ ∴， ∴ 由（2）可得 ∴ 在△OO′C中， 当O，O′，C三点共线，且点C在线段OO′上时， 即 又∵，在线段上 ∴ ∴ ∴ 的周长为 以为顶点，构建等腰三角形，将线段OA绕点A顺时针旋转120°到O′A，连接OO′，CO′，如下图： 由旋转的性质得：，，为等腰三角形 ∴ 由（2）可得 ∴ 在中， ∴当点在线段上时，最小 ∴点与点重合， 的周长为 【点睛】此题主要考查了旋转、圆、三角形、正方形等有关性质，充分理解题意并熟练掌握有关性质是解题的关键． $$