精品解析：辽宁省朝阳市朝阳市一中联盟校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度九年级期末考试 数学试卷 考试时间120分钟，满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，无理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，无理数得概念是解题的关键．分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是分数，为有理数，符合题意； C、，是无理数，不符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：B． 2. 如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解、直接开平方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．分别求出各选项中一元二次方程的解即可解答． 【详解】解：A、， ∵ ∴方程无解， 故此选项不符合题意； B、 ∴ ∴， 故此选项符合题意； C、 ∴ ∴，， 故此选项不符合题意； D、 ∴ ∴， 故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、既是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘方的运算法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，负整数指数幂将各选项化简，即可得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查乘方的运算法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，负整数指数幂．掌握相应的运算法则是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据交点坐标得到方程，即的解为：，把代入，求出的值，即可得出方程组的解集． 【详解】解：直线与直线相交于点， ∴，即：的解为：， 把代入，得：， ∴关于的方程组的解为； 故选C． 6. 下列命题正确的是（ ） A. 已知：线段，则是比例线段 B. 方程没有实数根 C. 已知点是函数图像上的两点，则 D. 角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题真假判断，涉及比例线段定义、一元二次方程判别式、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义等知识，熟记相关定义是解决问题的关键．根据比例线段定义、一元二次方程判别式、反比例函数增减性比较函数值大小及多边形相似的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据线段成比例的定义，线段，有，从而不是成比例线段，该命题错误，不符合题意； B、方程，，没有实数根，该命题为真命题，符合题意； C、已知点是函数图像上的两点，结合反比例函数图象的增减性，当时，在每一个象限内，y随x的增大而增大，因此当时，，该命题错误，不符合题意； D、根据多边形相似的定义，各角都对应相等、且各边都对应成比例的两个多边形是相似多边形，该命题错误，不符合题意； 故选：B． 7. 把抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：； 故选：A． 8. 中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：①，，可证，故①符合题意； ②，，可证，故②符合题意； ③，，可证，故③符合题意； ④，，不能证明，故④不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键． 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点落在上．已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，得到，，根据平行线的性质，求出，由等边对等角，求出，再根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 10. 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ） ①；②；③若是方程的两个根，则 A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等内容，关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系．①根据抛物线的性质判断a、b、c的正负性，即可判断；②由抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，得当时，函数值为负，则，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；③由函数与方程的关系，即可判断得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点A在点和之间，抛物线开口向下， ，，即， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，则当时，函数值为负， ∴，即， ∴，故②正确． ∵是方程的两个根， ∴是直线与抛物线两个交点的横坐标， ∴，故③正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，再建立方程，可得答案． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， ∴， 解得：， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，掌握“关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数”是解本题的关键． 12. 已知，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比的性质，运用特殊值解法，令，，（）代入求值即可． 【详解】解：∵，令，，（） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，求分式的值，令特殊值法求解，掌握比例的运算，代入求值是解题的关键． 13. 在中，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切值，设，，勾股定理求出的长，再利用余弦的定义进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴设，，则：， ∴； 故答案为：． 14. 如图，点F，G分别在正方形的边，上，E为中点，连接，正方形的边恰好在上，若正方形边长为7，则正方形面积为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】设，则，设根据正切值表示出、、，再利用余弦值求出x，即可求出答案． 【详解】如图，设，则，， 设，，，， 由， ， ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，解题关键是掌握正方形的相关性质，利用三角函数进行转化． 15. 如图，直线与双曲线相交于A、B两点，与x轴相交于点C， ．若将直线沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线有且只有一个交点，则n的值为________ ． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征以及即可得出点B的纵坐标，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，然后联立方程组，整理得，由题意，即，解方程即可求得． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， ∴， ∴， 代入，得， ∴， ∵直线沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线有且只有一个交点， ∴有唯一的解， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，（不符合题意，舍去） 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. （1）解不等式组： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集； （2）先通分求出括号内，除法变乘法，进行求解即可． 【详解】解：（1）， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； （2）原式 ． 17. 为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 取最大值为12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个． 18. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】（1）162；162 （2）175；108 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得答案． （2）先用选择项目的男生人数除以扇形统计图中的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中的百分比可得选择项目的男生人数；用乘以扇形统计图中得百分比即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162， 该组数据的中位数是． 该组数据中出现次数最多的为162， 该组数据的众数为162． 故答案为：162；162． 【小问2详解】 全校的男生人数为（人， 选择项目的男生共有（人． 扇形统计图中项目所占圆的圆心角为． 故答案为：175；108． 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， 甲和乙同学同时被选中的概率为． 19. 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， 即AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝EC， ∴四边形AECF是菱形； （2）DG＝． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质判定四边形AECF是平行四边形，根据AF=FC，即可得结论； （2）根据矩形和菱形的性质证明△ADG∽△EAB，对应边成比例即可求出DG的长． 【详解】解：（1） 略 （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC， 在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3， 根据勾股定理，得 AE＝＝＝5， ∵四边形AECF是菱形， ∴EC＝AE＝5， ∴AD＝BC＝BE+EC＝3+5＝8， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠AEB， ∵DG⊥AE， ∴∠DGA＝∠B＝90°， ∴△ADG∽△EAB， ∴＝，即＝， ∴DG＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 20. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）（30+30）米； （2）20米． 【解析】 【分析】（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通过解直角三角形ADE求出x即可； （2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt△BCF中，求出CF，继而可求出AB． 【小问1详解】 解：过点A作AE⊥l，垂足为E， 设CE＝x米， ∵CD＝60米， ∴DE＝CE+CD＝（x+60）米， ∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米）， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴tan30°＝＝＝， ∴x＝30+30， 经检验：x＝30+30是原方程的根， ∴AE＝（30+30）米， ∴河的宽度为（30+30）米； 【小问2详解】 过点B作BF⊥l，垂足为F， 则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF， ∵∠BCD＝120°， ∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°， 在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米， ∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米）， ∴古树A、B之间的距离为20米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是通过作高构造直角三角形，利用直角三角形解决问题． 21. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）每盒产品的成本为30元 （2）当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设原料单价为元，则原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ， 每盒产品的成本是：（元， 答：每盒产品的成本为30元 【小问2详解】 根据题意，得， 关于的函数解析式为：； ∴， ， 抛物线开口向下， 当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 22. 综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点． （1）【操作判断】 如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，四边形是哪种特殊四边形？并证明你的结论； （2）【问题探究】 如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：； （3）【拓展延伸】 点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，请直接写出的值． 【答案】（1）过点作于点，如图，连接， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∵点在的平分线上， ∴平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形； （2）过点作于点，如图， 由（1）知：四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为矩形，再根据角平分线的定义，推出为等腰直角三角形，进而得到，即可得出结论； （2）过点作于点，证明，得到，再根据线段的和差关系即可得证； （3）分点在线段上和线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①当点在线段上时，如图：延长交于点， 由（2）知：四边形为正方形， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图：过点作，延长交于点， 同法可得：四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等和相似三角形，是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． （1）判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； （2）如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 【答案】（1） 解：是，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵，当时，， ∴在直线上， ∴抛物线是直线的关联抛物线； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，代入直线解析式，进行判断即可； （2）根据抛物线过点，得到，进而得到顶点坐标为，代入直线的解析式求出的值，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵过点， ∴， ∴， ∴， ∴顶点坐标为：， ∵抛物线是直线的一条关联抛物线， ∴点在直线上， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：（2）可知：， 当点在点下方时：取点， ∵， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在直线上， 又由题意，可知：点在直线上， ∴点为直线与直线的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点上方时，取点， 则：， ∴， ∴， 同理：点为直线与直线的交点， 同理可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用数形结合的和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级期末考试 数学试卷 考试时间120分钟，满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列三角函数值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 已知：线段，则是比例线段 B. 方程没有实数根 C. 已知点是函数图像上的两点，则 D. 角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 7. 把抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点落在上．已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ） ①；②；③若是方程的两个根，则 A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 1个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____． 12. 已知，则的值等于__________． 13. 在中，，则的值为________． 14. 如图，点F，G分别在正方形的边，上，E为中点，连接，正方形的边恰好在上，若正方形边长为7，则正方形面积为__________． 15. 如图，直线与双曲线相交于A、B两点，与x轴相交于点C， ．若将直线沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线有且只有一个交点，则n的值为________ ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. （1）解不等式组： （2）化简： 17. 为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 18. 为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图． （1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______； （2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率． 19. 如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE＝EC，在AD边上取一点F，使得DF＝BE，连接CF．过点D作DG⊥AE于G． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB＝4，BE＝3，求DG的长． 20. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号） 21. 在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； （2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 22. 综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点． （1）【操作判断】 如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，四边形是哪种特殊四边形？并证明你的结论； （2）【问题探究】 如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：； （3）【拓展延伸】 点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，请直接写出的值． 23. 在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． （1）判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； （2）如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $