专题8.14 重难点突破之圆锥曲线中的范围问题、最值问题（三大重难点题型精讲）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题8.14 重难点突破之圆锥曲线中的范围问题、最值问题 【基础知识】 1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则； 2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为 【知识拓展】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【方法技巧】 求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 重难点题型【一】、几何法或定义求最值 例1、（2023·西藏日喀则·一模）已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线方程为， 则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则， 由图知，当共线，且在线段上时，最短， 此时，而， 则，所以. 故选：B 例2、（2024·山东威海·一模）已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、的长；利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解的最大值问题，利用三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值，由此可得结果. 【详解】由圆方程得：圆心，半径； 由椭圆方程得：，，设椭圆下焦点为，则， 由椭圆定义知：，； （当且仅当三点共线时取等号）， ， 又（当且仅当三点共线时取等号）， ，即的最大值为. 故选：D. 例3、（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】作准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得，故当P，A，M三点共线时取最大值. 【详解】根据抛物线方程，可得，准线方程为， 作准线l，M为垂足，又知， 由抛物线的定义可得， 故当P，A，M三点共线时，取最大值， 最大值为． 故答案为：4.    例4、（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据双曲线方程求a、b、c、双曲线定义的理解 【分析】设，，根据双曲线的定义得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】双曲线中，，则， 设，， 由双曲线的定义可得， 则 ， 当且仅当，即，即，时取等号， 所以的最大值为． 故答案为：． 1、（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．10 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】利用抛物线的焦点弦性质可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由抛物线焦点弦性质可得，则， 所以，令，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9. 故选：B. 2、（2023·河南周口·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆中的参数及范围、求椭圆中的最值问题 【分析】由对称性和椭圆定义得到，从而表达出，并计算出，从而得到最值，求出答案. 【详解】由对称性和椭圆定义可知，其中， 故， 不妨设，，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为4， 当时，取得最大值，最大值为64， 故， 故当时，取得最小值，最小值为51， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是. 故选：C 3．（2024·四川德阳·模拟预测）过点作直线交椭圆于，两点，其中在线段上，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】若直线的斜率存在，设，，，可得，由可得范围，结合，计算的范围，再计算直线的斜率不存在时的值，即可求解. 【详解】若直线的斜率存在，设，，， 所以， 由，消去可得， ，即， 又， 所以， 令，则，由，得， 解得，即，解之得且， 又在线段上，所以，所以， 若直线的斜率不存在，易得， 综上的取值范围为． 故答案为：. 4．（2024·广东珠海·一模）已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则 ． 【答案】25 【难度】0.65 【知识点】半角公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设P在双曲线右支上，由双曲线定义得到，由余弦定理和面积公式，得到，进而得到，从而求出，求出答案. 【详解】设P在双曲线右支上，则， 由余弦定理得 ， 所以， 又 所以，解得，结合， 则， ， 又， 故， 故. 故答案为：25 重难点题型【二】、借助不等式求范围（最值） 【常用方法】 指构建所求式子的不等关系，通过不等式变形或不等式的求解确定范围的方法．解决问题的关键如下： (1)构建所求式子的不等关系，可根据已知条件中的不等式(组)建立不等关系或根据题意建立不等关系．一般通过以下几何条件建立不等关系：三角形两边之和大于第三边、直角三角形斜边大于直角边、点的横(纵)坐标大小比较、直线的斜率、圆锥曲线中线段长的范围等． (2)求范围，利用不等式的性质或解不等式求解所要求的式子的范围． 例5、（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、由标准方程确定圆心和半径、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 例6、（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】根据椭圆以及双曲线定义利用余弦定理和基本不等式计算可得当时，取得最小值为3. 【详解】设，由余弦定理得，即； 在椭圆中，等于椭圆的长轴长，因此， 在双曲线中，等于双曲线的实轴长，因此， 则． 所以， 当且仅当时等号成立 故选：A 例7、（2024·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为 ；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为 . 【答案】 （或） 【难度】0.65 【知识点】双曲线中的通径问题、已知方程求双曲线的渐近线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意可知：.若是虚轴长的倍，列式整理可得，即可得渐近线方程；若的周长为8，分析可知，结合定义整理可得，代入结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：，且该双曲线的焦点在x轴上， 若是虚轴长的倍，则，即， 所以该双曲线的一条渐近线为（或）； 由题意可知：∥，且为线段的中点，可知分别为，的中点， 则， 可得，结合对称性可知， 又因为点A在双曲线上，则，即， 可得，整理可得，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：（或）；. 1．（2024·广东广州·模拟预测）若双曲线的右支上存在两点，使直线垂直于双曲线在点处的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】不妨设在轴上方，则双曲线在点处的切线斜率，结合垂直直线的斜率关系可得，由直线与双曲线的位置关系可得，解不等式可得的范围. 【详解】由题，不妨在轴上方，则双曲线在点处的切线的斜率为， 因为双曲线上一点的切线斜率的绝对值大于渐近线斜率的绝对值， 所以， 又，故， 又与双曲线右支有两个交点且斜率为负， 所以， 故 所以. 故选：D. 2．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线：的一条渐近线与圆O：交于两点，设圆O在两点处的切线与轴分别交于两点、若双曲线的焦距为，则四边形周长的最大值为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据相切以及勾股定理，结合对称性可得周长的表达为，即可里利用向量数量积的性质求解. 【详解】由题意可知渐近线方程为，， 故，故， 又, 由于焦距为，故，则， 由对称性可知四边形为平行四边形，故周长为， 设，由可得，当且仅当，即时等号成立， 故， 故最小值为4 故答案为：4 3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知正方形PQRS的边长为，两个不同的点A，B都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若，则面积的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】双曲线中的参数及范围、求双曲线的轨迹方程 【分析】建立平面直角坐标系，由求出点的轨迹，由轨迹特征求点的直线的距离的取值范围，可求面积的取值范围. 【详解】以PR为x轴，QS为y轴建系，则，， 设，，且，，所以，， 因为，所以， 即A位于双曲线的右支上，渐近线方程为或， 设点A到直线PS的距离为h，又直线与直线PS的距离为，点到直线PS的距离为， 则，又， 所以面积的取值范围是． 故答案为： 重难点题型【三】、构造函数求范围（最值） 【常用方法】求解范围问题的常见求法 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系求解． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系． (3)利用几何条件构造不等关系． (4)利用基本不等式求出参数的取值范围． (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 例8、（2024·广东韶关·一模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点.动点满足直线的斜率之积为，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与轴相交于点，与相交于两点，若.求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，根据斜率公式代入上式，进行化简即可得曲线方程； （2）方法一、二，设出直线的方程为，与曲线方程联立，由韦达定理可得，结合向量关系求解；方法三，由题，的中点即的中点，由点差法可得弦中点坐标与弦所在直线的斜率的关系，列式运算得解. 【详解】（1）设点，由题意知. 直线的斜率分别， 所以， 化简得 点的轨迹方程为. （2）方法一，设， 由题意知直线的方程为，所以， 联立方程组，消去整理得， ，， 由得，， 故有，即， 解得. 方法二：设，由题意知直线的方程为，所以， 联立方程组，消去整理得. ，， 由得，， 故有，即， 解得. 方法三：设，由题意知直线的方程为，所以. 因为，所以线段的中点为， ，又因为，所以点也是的中点， 联立方程组， ①-②得，即， 所以， 又因为，所以， 解得. 例9、（2024·四川宜宾·一模）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点，点N满足； ①证明：点M在一条定直线上； ②求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）根据双曲线过定点，结合离心率列方程组可得曲线方程； （2）①由已知直线斜率一定存在，可设直线与，联立直线与双曲线，结合韦达定理可得点Q及直线方程，联立直线与可得点M，进而得证； ②由已知，结合弦长公式可得，则面积，设，则，设，利用导数法求解最值即可得解. 【详解】（1）由已知双曲线离心率，即， 则双曲线方程为，又曲线过点，即，解得， 所以双曲线方程为； （2）由（1）得，    ①由已知直线的斜率k存在且，设直线，， 且， 联立直线与双曲线，得，恒成立，且，即，解得，又Q为A，B中点， 则，则，即， 则直线，又直线过点，且过点F，则， 联立与，即，解得，即， 即点M在直线上； ②，，又点N满足， 则四边形为平行四边形，且， 则， 设，则，则， 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值为， 即当时，的最小值为. 1．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知椭圆：上的点到焦点距离最短为，到焦点距离最长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于，两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）由题意可得，进而解出，求得，进而求解即可； （2）当直线的斜率不存在，可得，当直线的斜率存在时，联立直线和椭圆方程，由韦达定理以及三角形面积公式表示出，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，， 解得，则， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，，， 当直线的斜率不存在时，，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得， 设，则， 所以，， 由于异号，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为． 综上所述，的最大值为． 2．（2019·上海黄浦·一模）已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义．若两点，满足，称点在曲线同侧；若，称点在曲线两侧． (1)直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中、，求直线的斜率的取值范围； (2)已知曲线，为坐标原点，求点集的面积； (3)记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，求曲线的方程与实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)和， 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求平面轨迹方程、抛物线中的参数范围问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】（1）设直线，由可解不等式求得结果； （2）根据方程的几何意义，将问题转化为圆在直线下方的部分（不含边界）的面积的求解，结合扇形和三角形面积公式可求得结果； （3）根据已知等量关系可整理得到曲线的方程，将整理为，，通过讨论曲线上的点到的距离可构造不等关系求得结果. 【详解】（1）由题意知：直线斜率存在，可设其方程为，即， ，解得：， 直线斜率的取值范围为. （2），， ，即， 点集表示圆在直线下方的部分（不含边界），如下图阴影部分所示， 设直线与圆交于两点， 则圆心到直线的距离为，， ，， 阴影部分面积， 即点集的面积为. （3）设曲线上的动点为，则， 化简得曲线的方程为：和，其轨迹为两段抛物线弧； 由得：； 设曲线上的点，点到点的距离为， 则； 当时，； 当时，； 则曲线上的点到的距离的范围是， 曲线上总存在两点在曲线两侧， ，解得：，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线中的位置关系的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解新定义的含义，将所求式子利用几何意义进行转化，从而采用数形结合的方式来帮助求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.14 重难点突破之圆锥曲线中的范围问题、最值问题 【基础知识】 1.已知P是椭圆C：一点，F是该椭圆焦点，则； 2.已知P是双曲线C：一点，F是该椭圆焦点，则；双曲线C的焦点弦的最小值为 【知识拓展】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【方法技巧】 求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 重难点题型【一】、几何法或定义求最值 例1、（2023·西藏日喀则·一模）已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2、（2024·山东威海·一模）已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3、（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 例4、（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为 . 1、（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．10 2、（2023·河南周口·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·模拟预测）过点作直线交椭圆于，两点，其中在线段上，则的取值范围为 . 4．（2024·广东珠海·一模）已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则 ． 重难点题型【二】、借助不等式求范围（最值） 【常用方法】 指构建所求式子的不等关系，通过不等式变形或不等式的求解确定范围的方法．解决问题的关键如下： (1)构建所求式子的不等关系，可根据已知条件中的不等式(组)建立不等关系或根据题意建立不等关系．一般通过以下几何条件建立不等关系：三角形两边之和大于第三边、直角三角形斜边大于直角边、点的横(纵)坐标大小比较、直线的斜率、圆锥曲线中线段长的范围等． (2)求范围，利用不等式的性质或解不等式求解所要求的式子的范围． 例5、（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例6、（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 例7、（2024·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为 ；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为 . 1．（2024·广东广州·模拟预测）若双曲线的右支上存在两点，使直线垂直于双曲线在点处的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线：的一条渐近线与圆O：交于两点，设圆O在两点处的切线与轴分别交于两点、若双曲线的焦距为，则四边形周长的最大值为 ． 3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知正方形PQRS的边长为，两个不同的点A，B都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若，则面积的取值范围是 ． 重难点题型【三】、构造函数求范围（最值） 【常用方法】求解范围问题的常见求法 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系求解． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系． (3)利用几何条件构造不等关系． (4)利用基本不等式求出参数的取值范围． (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 例8、（2024·广东韶关·一模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点.动点满足直线的斜率之积为，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与轴相交于点，与相交于两点，若.求的值. 例9、（2024·四川宜宾·一模）已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点. (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点，点N满足； ①证明：点M在一条定直线上； ②求四边形面积的最小值. 1．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知椭圆：上的点到焦点距离最短为，到焦点距离最长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于，两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值． 2．（2019·上海黄浦·一模）已知曲线，对坐标平面上任意一点，定义．若两点，满足，称点在曲线同侧；若，称点在曲线两侧． (1)直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中、，求直线的斜率的取值范围； (2)已知曲线，为坐标原点，求点集的面积； (3)记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，求曲线的方程与实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$