专题8.13 重难点突破之圆锥曲线中的定点问题、定值问题（三大重难点题型精讲）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题8.13 重难点突破之圆锥曲线中的定点问题、定值问题 【直线过定点的解题策略】 （1） 如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关. （2） 直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点. （3） 若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 【重要结论】 1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)． 2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点． 4.只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点 【定值问题的常见类型及解题策略】 (1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 【知识拓展】 1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点； 2. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点； 3. 设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点； 重难点题型【一】、定点问题 例1、（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程； （2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可. 【详解】（1）由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为， 因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以， 又点在双曲线上，所以，整理得： 因为的面积为8，所以，则， 故双曲线的方程为； （2）由（1）可得，所以为 当直线的斜率存在时，设方程为：，， 则，所以，则 恒成立，所以， 假设在轴上是否存在定点，设，则 要使得为常数，则，解得,定点，； 又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取， 若，则，符合上述结论； 综上，在轴上存在定点，使为常数，且. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点，设，验证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况. 例2、（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)直线经过定点. 【难度】0.4 【知识点】椭圆中的定值问题、由韦达定理或斜率求弦中点、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）根据椭圆方程确定、，利用解出即可求解； （2）设直线的方程，直曲联立根据韦达定理得：，结合为中点解出坐标，再利用，解出，即可求解； (3)分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时，设出方程，直曲联立，利用韦达定理，结合已知条件，求出直线过定点；斜率不存在时，设出、两点坐标，根据中点坐标公式，求出、坐标，结合已知条件，求出直线过定点，两种情况综合即可求解. 【详解】（1）由得，所以焦距，离心率 . （2）   ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. （3）    ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于设分斜率存在与不存在两种情况设出直线方程， 利用直曲联立得到方程，结合韦达定理解决问题. 1、（2024·湖北·一模）如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点. (1)求抛物线的方程； (2)若，证明：； (3)若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、根据韦达定理求参数、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线的中点弦 【分析】（1）先求直线再联立抛物线得出韦达定理应用中点坐标得出,进而得出抛物线； （2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用，即可得到结论. （3）先设直线过点P得出,同理结合理过点Q得出,最后得出的直线得出定点. 【详解】（1）当时，， 联立消去， 可得， 设， 拋物线C方程为：. （2）由题知，设， ，代入抛物线可得， ， 又， 同理. （3）因为， 所以，代入点得①， 设，同理， 过点② ， 结合①②可得 又因为 所以，整理得 所以直线过定点. 【点睛】关键点点睛：解题定点的关键是先点斜式设出直线方程结合抛物线方程得出直线,同理得出的直线方程进而得出定点. 2、（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知椭圆过点，其长轴长为4，下顶点为，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)当点横坐标的乘积为时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线过定点，坐标为. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）先求出，再代入点解出，进而得到椭圆方程； （2）设直线的方程为，直曲联立解出，再由，解出值即可. 【详解】（1）由椭圆长轴长为，可知，将代入椭圆方程：， 所以椭圆的方程为：. （2）设直线的方程为，，由 则直线的方程为，令，得， 同理可得， 所以， 所以， 把直线代入椭圆方程中，得出， 所以， 代入， 化简得， 所以直线过定点. 【点睛】关键点点睛：由题意得出再代入化简是本题的关键点. 重难点题型【二】、定值问题 例3、（2024·浙江台州·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)准线的方程为，双曲线的渐近线方程为 (2)证明见解析 (3)是，． 【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、抛物线中的定值问题、根据抛物线方程求焦点或准线、判断直线与抛物线的位置关系 【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解； （2）结合题意联立方程组和，化简即可求解； （3）由题意得，设，联立方程组和，利用韦达定理表示和，化简即可证明. 【详解】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为． （2）联立方程组， 消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取， 又由，求得直线的方程为， 联立方程组，消去得， 因为，所以直线与抛物线相切． （3）因为，得准线为线段的中垂线， 则直线与直线的倾斜角互补，即， 设，由条件知， 联立方程组，消去得， 则， 联立方程组，消去得， 则， 所以， 故为定值． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 例4、（2024·浙江金华·一模）已知和为椭圆：上两点. (1)求椭圆的离心率； (2)过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据给定的点A和B在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率； （2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可. 【详解】（1）由可知，求出， 代入，得，， 则，， 可知椭圆的离心率为. （2）（i）由（1）可知椭圆的方程为， 设，，过点的直线为， 与联立得：.恒成立. 所以， 得，所以，直线的方程为：. （ii）由（i）可知， 直线的方程为，令，得 直线的方程为，令，得， 记以为直径的圆与轴交于，两点， 由圆的弦长公式可知， 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 1、（2023·河北·三模）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若不过点的直线与椭圆交于两点，且满足.证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据题意求得的值，即可得到椭圆的方程； （2）联立椭圆与直线方程，根据题意利用韦达定理算出即可. 【详解】（1）由题意知，离心率为，，那么， 把代入椭圆，可得：，所以，那么椭圆的标准方程：. （2）设，联立直线和椭圆的方程：, 可得：， 由题意可知：， 整理可得：， 即：， 整理可得：， 即：， 那么或， 当时，过点，所以舍去， 所以为定值. 【点睛】关键点点睛：依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值. 2、（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由和在椭圆上求出，即可. （2）求出直线BF的方程，并与椭圆方程联立求得点坐标，再由给定条件结合面积公式求解即可． 【详解】（1）由，，得：，解得， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为． （2） 证明:依题意，令，直线，由，得， 直线AB的斜率，直线AP的斜率， 则，即，有，得，， 于是得点，，， 所以为定值. 重难点题型【三】、探索性问题 例5、（2024·宁夏吴忠·一模）设椭圆的离心率为，短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点. ①若直线与轴相交于点，且，求的值； ②已知椭圆的上､下顶点分别为，是否存在实数，使直线平行于直线？ 【答案】(1); (2)①，②不存在. 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中向量共线比例问题、求直线与椭圆的交点坐标、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）利用椭圆方程的知识，即可求解； （2）①利用直线与椭圆联立方程组，把转为坐标关系，再结合韦达定理，即可求解； ②先假设存在平行关系，再利用斜率关系转化为坐标关系，同样结合韦达定理，求解判断. 【详解】（1）由题意，有，，， 解得， 故椭圆的方程为. （2）根据题意可知直线，与联立， 得， 其中， 设，，. ①由，则 有，即， 有，解得. ②由椭圆方程可知上下顶点， 假设存在直线平行于直线， 有，有，又， 有，得， 有， 代入，得， 则有，代入， 有， 整理，得，有，显然矛盾， 故不存在实数，使直线平行于直线. 例6、（2024·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数、求椭圆上点的坐标、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）根据给定条件，求出点的纵坐标，再利用两点间距离公式计算即得. （2）设，求出，再利用给定关系求出的范围，进而求出的范围. （3）设，利用向量坐标运算及共线向量的坐标表示可得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求解即得. 【详解】（1）设，由点为椭圆上一点，得，即，又， 所以. （2）设，而， 则，由，得， 即，又，则，解得，， 所以的范围是. （3）设，由图象对称性，得、关于轴对称，则， 又，于是， 则，同理， 由，得， 因此，即，则， 设直线，由消去得， 则，即，而，解得，， 由，得，所以. 【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 1、（2024·福建福州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线交于两点. （i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.65 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题、根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据椭圆离心率为，且过点可得； （2）（i）由点差法可得，进而有； （ii）联立可得，故由重心坐标公式可得，由在上的投影向量相等可知在的垂直平分线上，根据其方程，可得，由在上进而可得. 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以的方程为； （2）依题意可设点，且， （i）证明：因为点关于原点的对称点为，所以， 因为点在上，所以，所以，即， 因为直线的斜率为，直线的斜率为 所以，即为定值； （ii）设弦的中点的坐标为， 点的坐标为的重心的坐标为， 由，得， 所以，且， 因为的重心在轴上，所以， 所以， 所以， 因为在上的投影向量相等，所以，且， 所以直线的方程为， 所以， 所以点， 又点在上，所以， 即 又因为，所以，所以直线的方程为. 2、（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，． (1)求椭圆的方程； (2)当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点. 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、斜率公式的应用、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定条件，求出即可求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式求解即得. 【详解】（1）直线l过坐标原点O时，，， 由椭圆离心率为，得，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）假设存在定点，，设直线l：，， 由消去y得， ，，， 直线的斜率有 ， 则当时，为定值， 所以存在定点，使得直线QA与直线QB的斜率之和恒为0.    【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.13 重难点突破之圆锥曲线中的定点问题、定值问题 【直线过定点的解题策略】 （1） 如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关. （2） 直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点. （3） 若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 【重要结论】 1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)． 2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点． 4.只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点 【定值问题的常见类型及解题策略】 (1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 【知识拓展】 1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点； 2. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点； 3. 设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点； 重难点题型【一】、定点问题 例1、（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 例2、（2024·上海宝山·一模）已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.    (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若，求直线的方程； (3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 1、（2024·湖北·一模）如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点. (1)求抛物线的方程； (2)若，证明：； (3)若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标. 2、（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知椭圆过点，其长轴长为4，下顶点为，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)当点横坐标的乘积为时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 重难点题型【二】、定值问题 例3、（2024·浙江台州·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 例4、（2024·浙江金华·一模）已知和为椭圆：上两点. (1)求椭圆的离心率； (2)过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 1、（2023·河北·三模）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若不过点的直线与椭圆交于两点，且满足.证明：为定值. 2、（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． (1)若，，求椭圆C的方程 (2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 重难点题型【三】、探索性问题 例5、（2024·宁夏吴忠·一模）设椭圆的离心率为，短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点. ①若直线与轴相交于点，且，求的值； ②已知椭圆的上､下顶点分别为，是否存在实数，使直线平行于直线？ 例6、（2024·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点的横坐标为2，求的长; (2)设的上、下顶点分别为、，记的面积为的面积为，若，求的取值范围 (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立?若存在，请求出点的坐标;若不存在，请说明理由. 1、（2024·福建福州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线交于两点. （i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程. 2、（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，． (1)求椭圆的方程； (2)当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$