精品解析：浙江省绍兴市上虞区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

2024学年第一学期高三期末教学质量调测试卷 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对数函数和一元二次函数的图象和性质化简集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由解得，由解得， 所以，， 所以， 故选：A 2. 的展开式中，不含的项是（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项或第项 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由的幂指数为0求得答案. 【详解】二项式的展开式通项， 由，得，所以展开式中不含项是第13项. 故选：C 3. 已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量在方向上的投影向量为，代入数据计算可得. 【详解】由题意：. 故选：C 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 5. 已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对通项公式化简变形后可求得当或时，，当时，，从而可求出取到最小值时的值. 【详解】， 由，得，解得或， 因为，所以当或时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故选：B 6. 设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B. 方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然） 由最大角定理，故选B. 方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得 ，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法. 7. 如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对箱子进行编号，根据定序问题解法得到答案. 【详解】如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走， 4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：C. 8. 设分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作切线交轴于点，若，，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的光学性质可知切线为的角平分线，求得各个内角，再结合正弦定理即可求解； 【详解】 连接，由双曲线的光学性质可知切线为的角平分线； 则， 又，所以， 所以 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 也即， 所以， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件相互独立，且，，则 B. 样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11 C. 某分层抽样有层，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，则总方差为 D. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与点的残差相等，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用独立事件的概率求法判断A，根据百分位数的定义判断B，根据平均数、方差公式判断C，根据残差的概念判断D. 【详解】选项A：因为事件与事件相互独立，且，， 所以，，说法正确； 选项B：样本数据共10个，从小到大排列为2，2，3，4，6，8，9，10，12，12， 因为，所以该组数据的上四分位数为从小到大排列的第8个数，即10，说法错误； 选项C：两层的样本总数为，总平均数为， 总方差为，说法正确； 选项D：因为经验回归方程为，若样本点与点的残差相等， 则，解得，说法正确； 故选：ACD 10. 已知函数的最大值为，则下列说法中，正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数图象的一个对称中心为 D. 函数在区间上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】先对函数化简，然后根据函数的最大值为2，求出的值，从而可求出函数解析式，再逐个分析判断即可. 【详解】 ， ，其中， 因为的最大值为2，所以， 所以，得， 因为，所以，所以A正确， 所以 ， 对于B，由于，所以的最小正周期为，所以B正确， 对于C，令，则，当时，， 所以图象的一个对称中心为，所以C错误， 对于D，由，得，则， 因为在上递减， 所以在上单调递增，所以D错误. 故选：AB 11. 在边长为的正三角形中，分别是上的动点（不含端点），将沿着翻折至，则（ ） A. 四棱锥必存在一个外接球 B. 当∥时，四棱锥体积的最大值是 C. 当是的中位线，且时，则是等腰直角三角形 D. 当是的中位线，且时，四棱锥外接球表面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，当与不平行时，四边形对角不互补，则四边形没有外接圆，所以四棱锥没有外接球，判断A；当∥时，设时，要使四棱锥体积的最大，则平面平面，求出体积，利用导数求最值判断B；当是的中位线，结合条件可得平面，从而得，又平面，从而得则是等腰直角三角形，进而可判断C；根据C选项，点为四棱锥外接球球心，半径为2，可求表面积，判断D. 【详解】根据题意，在边长为的正三角形中， 分别是上的动点（不含端点）， 当与不平行时，四边形对角不互补， 则四边形没有外接圆，所以四棱锥没有外接球，故A错误； 当∥时，设时，则， 则， 要使四棱锥体积的最大，则平面平面， 此时四棱锥的高为， 所以四棱锥体积， 则， 当，，则单调递增， 当，，则单调递减， 所以，当时，，B正确； 当是的中位线，连接，则，又， 平面，所以平面， 而平面，所以， 所以， 取中点，连接， 由于，而，则， ，平面，所以平面， 所以平面，则，所以， 则是等腰直角三角形， 又，所以是等腰直角三角形，C正确； 根据C选项，可知， 所以点为四棱锥外接球球心，半径为2， 所以四棱锥外接球表面积为，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项B中，求出四棱锥体积，利用导数求最值. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则 ____________. 【答案】 【解析】 【分析】令，则可求得，然后代入化简可求得结果. 【详解】令，则，所以， 所以. 故答案为： 13. 设抛物线的焦点为，点. 若线段的中点在抛物线上，则焦点到准线的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由点是线段的中点求得，代入抛物线方程计算即得. 【详解】由可得， 因点是线段的中点，则， 又点在抛物线上，则得，解得， 故焦点到准线的距离为. 故答案为：. 14. 设函数的定义域为.对于，定义集合.已知函数.若对于任意的，都有，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据，判定与的大小，从而确定函数的单调性，再求导，确定导函数的符号，结合基本不等式求参数的取值范围. 【详解】由对于任意的，都有， 这等价于函数在其定义域内为增函数. 由，所以函数的定义域为. 又，所以. 由，恒成立，得，. 因为， （当且仅当时取“”）. 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意，确定函数在其定义域内的单调性. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 加强儿童青少年近视防控，促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的“光明工程”．为了解青少年的视力与学习成绩间的关系，对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查．借助视力表测量视力情况，测量值5.0及以上为正常视力，5.0以下为近视．现从中随机抽取40名学生的视力测量值和中考成绩数据，得到视力的频率分布直方图如图： 其中，近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为，成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为． （1）根据频率分布直方图的数据，将下面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关； 学习成绩视力情况 视力正常 近视 合计 成绩优秀 成绩一般 合计 （2）将频率视为概率，从该地区今年初中毕业生中随机抽取3人，设近视的学生数为，求的分布列与期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关；（2）分布列见解析，期望为． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图结合题意，求出表中的数据，由列联表中的数据，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案； （2）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可． 【详解】（1）根据频率分布直方图，在抽取的40名学生样本中，视力正常的有人， 近视的有， 因为近视的学生中成绩优秀与成绩一般的比例是， 所以近视的学生中成绩优秀的有，成绩一般的有人； 因为成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为， 所以成绩一般的学生中，视力正常的学生有人， 根据上述信息可填写下列列联表： 视力正常 近视 合计 成绩优秀 4 8 12 成绩一般 12 16 28 合计 16 24 40 根据列联表的数据可得，， 故没有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关； （2）以频率视为概率，样本中近视的概率为， 视力正常的概率为， 由题意可知，近视的学生数的所有可能取值为0，1，2，3， 以样本估计总体，可知， 所以， ， ， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 故． 16. 已知△中，是边上的点且，面积是面积的 倍. （1）求 的值； （2）若， ，求和的面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角平分线性质定理，结合正弦定理可求的值. （2）设，并用结合余弦定理分别表示，，结合（1）中的结论，可求边，，进而求和的面积. 【小问1详解】 如图： 由题意，为的角平分线，根据三角形角平分线的性质可知：， 又，， 所以，即. 【小问2详解】 设， 在中，因为，，所以，所以. 在中，，，所以， 所以. 所以，又，所以，. 在中，，，，因为，所以角为直角， 所以， 所以. 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，按实数的取值分类讨论，利用函数单调性与导数符号的关系求单调性即可； （2）先将函数代入利用参变分离得到，再构造新函数，利用导数研究函数的单调性求的最大值即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得当时，在上单调递增， 当时，，令解得， 若，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，当时，，单调递增，当时，，单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）可得若有极大值点，则，， 此时， 当时，；当时，，故为的极大值点， 故符合. 当时恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，只需即可， ， 令，则恒成立， 故在上单调递减，， 所以恒成立， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以的取值范围为. 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性、导数研究函数的极值，还考查了构造法、参变分离法、分类讨论等思想方法，属于较难题. 18. 已知数列中，，. （1）计算的值； （2）记，证明：数列为等比数列； （3）记，求使成立的最大值（其中表示不超过的最大整数）. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）63 【解析】 【分析】（1）根据递推式和的值求出，再由结合递推式求出； （2）由已知递推式可得，然后两边减1化简，再两边取倒减1化简变形，结合等比数列的定义可证得结论； （3）由（2）可求得，从而可求得，则可得，从而可求得，进而可求得使不等式成立的的最大值. 【小问1详解】 当时，由，得， 因，所以，解得， 当时，由，得， 所以，解得. 【小问2详解】 由题意可得，则， 于是， 即， 因为， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列. 【小问3详解】 由（2）可知：，则. 由得： ， 因当时，，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 所以 ， 整理得，解得， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查由递推式写出数列的项，考查等比数列的证明，考查等差数列求和，考查数列与不等式的综合问题，第（3）问解题的关键表示出后，由不等式的性质得出，考查计算能力，属于较难题. 19. 在平面直角坐标系中，过椭圆中心作斜率为的一条弦，将坐标平面沿轴折成一个直二面角. （1）求折起后的连线与轴所成夹角的大小； （2）若此椭圆的离心率为，且过点，求： （ⅰ）椭圆标准方程； （ⅱ）设点，过点作平面的垂线，且，问：椭圆上是否存在点，使得三角形的面积与三角形的面积之比为最小？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，. 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，转化为空间向量夹角即可； （2）（i）利用待定系数法设，根据和关系即可得到椭圆方程； （ii）作作，垂足为，利用三角形面积公式转化为求的最小值，即转化为求出的最大值，再结合点到直线的距离公式和基本不等式即可求出其最大值. 【小问1详解】 在折后的平面内作轴，因为坐标平面沿轴折成一个直二面角， 则折后平面底面，又因为平面底面，且平面， 则底面，则建立如图所示空间直角坐标系， 则由题意知，折后，，则， 轴的方向向量，则， 则，则连线与轴所成夹角的大小为， 所以是等腰直角三角形，即与轴所成夹角为. 【小问2详解】 （ⅰ）由离心率， 不妨设，则，得：，， 所以椭圆的坐标方程为：. （ⅱ）在底面内过点作，垂足为，连， 则由坐标平面，即平面，因为平面，则， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面,所以，即. ， 则题意就是要使二面角的平面角最小， 即当最大时，最小. 假设这样的点存在，令，则： 当时，则， 当时，， 当且仅当是取到等号. 此时，的方程是，代入椭圆方程， 即联立，解得或（舍去） 则点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是将面积比转化为求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期高三期末教学质量调测试卷 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 展开式中，不含的项是（ ） A 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项或第项 3. 已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ） A. B. C. D. 6. 设三棱锥底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则 A. B. C. D. 7. 如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A. B. C. D. 8. 设分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作切线交轴于点，若，，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件相互独立，且，，则 B. 样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11 C. 某分层抽样有层，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，则总方差为 D. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与点的残差相等，则 10. 已知函数的最大值为，则下列说法中，正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数图象的一个对称中心为 D. 函数在区间上单调递减 11. 在边长为的正三角形中，分别是上的动点（不含端点），将沿着翻折至，则（ ） A. 四棱锥必存在一个外接球 B. 当∥时，四棱锥体积的最大值是 C. 当是的中位线，且时，则是等腰直角三角形 D. 当是的中位线，且时，四棱锥外接球表面积是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则 ____________. 13. 设抛物线的焦点为，点. 若线段的中点在抛物线上，则焦点到准线的距离为____________. 14. 设函数的定义域为.对于，定义集合.已知函数.若对于任意的，都有，则实数的取值范围是____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 加强儿童青少年近视防控，促进儿童青少年视力健康是中央关心、群众关切、社会关注的“光明工程”．为了解青少年的视力与学习成绩间的关系，对某地区今年初中毕业生的视力和中考成绩进行调查．借助视力表测量视力情况，测量值5.0及以上为正常视力，5.0以下为近视．现从中随机抽取40名学生的视力测量值和中考成绩数据，得到视力的频率分布直方图如图： 其中，近视的学生中成绩优秀与成绩一般的人数比例为，成绩一般的学生中视力正常与近视的人数比例为． （1）根据频率分布直方图的数据，将下面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为视力情况与学习成绩有关； 学习成绩视力情况 视力正常 近视 合计 成绩优秀 成绩一般 合计 （2）将频率视为概率，从该地区今年初中毕业生中随机抽取3人，设近视学生数为，求的分布列与期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 16. 已知△中，是边上的点且，面积是面积的 倍. （1）求 的值； （2）若， ，求和的面积. 17. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围. 18. 已知数列中，，. （1）计算的值； （2）记，证明：数列为等比数列； （3）记，求使成立的的最大值（其中表示不超过的最大整数）. 19. 在平面直角坐标系中，过椭圆中心作斜率为的一条弦，将坐标平面沿轴折成一个直二面角. （1）求折起后的连线与轴所成夹角的大小； （2）若此椭圆的离心率为，且过点，求： （ⅰ）椭圆的标准方程； （ⅱ）设点，过点作平面的垂线，且，问：椭圆上是否存在点，使得三角形的面积与三角形的面积之比为最小？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$