精品解析：辽宁省大连市高新技术产业园区2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题

七年级（上）期末检测 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 七年一班某次数学测试的平均成绩是105分，小明得了110分，记作分，小丽的成绩记作分，则小丽本次数学测试的成绩为（ ） A. 118分 B. 112分 C. 108分 D. 103分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正负数在实际成绩表示中的应用，解题的关键是理解以平均成绩为基准，高于平均成绩记为正，低于平均成绩记为负． 先根据小明的成绩和记分情况确定记分规则，再依据此规则求出小丽的成绩． 【详解】已知平均成绩是105分，小明得了110分，记作+5分，，说明是以平均成绩105分为基准，高于平均成绩的部分用正数表示． 小丽的成绩记作分，这表示小丽的成绩比平均成绩105分低2分，所以小丽的成绩是分． 故选：D． 2. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“传”字一面的相对面上的字是（ ） A. 弘 B. 扬 C. 文 D. 化 【答案】D 【解析】 【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“传”字相对的面上的汉字是“化”． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题． 3. 预计到年我国高铁运营里程将达到，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减法运算中的合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项的法则． 根据合并同类项的法则，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】A、与是同类项，根据合并同类项法则，同类项的系数相加，字母和指数不变，，该选项正确． B、与同类项，合并同类项可得，该选项错误． C、3a与是同类项，合并同类项可得，该选项错误． D、与，相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，该选项错误． 故选：A． 5. 若代数的值为，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式的求值，能根据已知条件将代数式变形，然后整体代入求值是解答本题的关键． 根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， 故选：C． 6. 下列利用等式的性质，错误的是（ ） A. 由，得到 B. 由，得到 C. 由，得到 D. 由，得到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、根据等式性质1知，等式两边加上同一个数c，得到的仍是等式，故正确； B、根据等式的性质1与2知，等式两边乘，再两边加上1，得到的仍是等式，故正确； C、根据等式性质2，等式两边同乘不为零的数c，得到的仍是等式，故正确； D、根据等式性质2知，当时，两边不能除以为零的数，故错误； 故选：D． 7. 如图，小强将自己用的一副三角板摆成如图形状，其中，若，则的度数为（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用与的度数求出，再结合的度数，通过角的和差关系求出． 【详解】， ， ， ． 故选：B． 8. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有个人，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据物品的价格是定值，列出方程即可． 【详解】解：每人出8元，还盈余3元，得到物品的价格为：；每人出7元，则还差4元，得到物品的价格为：， ∴可列方程为； 故选A． 9. 如图，线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的定义，利用好是线段的中点，是线段的中点是解此题的关键． 先根据中点的定义结合已知条件求出，，进而求出，，再由算出即可． 【详解】∵点是线段的中点，， ， ∵点是线段的中点， 故选：C． 10. 如图是年月的月历表，用“”型框框中个数（如阴影部分所示），移动“”型框，当框中的五个数的和是时，则框中的五个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设个数中最小的数为，根据“”型框框中个数的位置关系可得：、、、，当框中的五个数的和是时，可列方程：，解方程求出的值即可． 【详解】解：设个数中最小的数为，则其他个数分别为、、、， 根据题意得：， 整理得：， 解方程得：， 答：当框中五个数的和是时，则框中的五个数中，最小的数是.   故选：C ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______． 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，解题的关键是掌握两个负数比较大小的方法． 先求出两个数的绝对值，再根据绝对值大的反而小来比较两个负数的大小． 【详解】，， 因为，即， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 可得． 故答案为：＜． 12. 已知，则的余角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义和角度的计算，解题的关键是掌握余角的概念以及度分之间的换算． 根据余角的定义，用减去已知角的度数，再进行度分的运算得出结果． 【详解】因为互为余角的两个角的和为，已知，则的余角为． 由于，那么，所以 ． 故答案为： 13. 小张驾驶汽车从甲地到乙地，汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为，，对应的数值如下表，则______． 60 2 1.5 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数关系式是解题的关键． 根据题意得出函数关系式，再把代入求出的值，即可得出函数关系式． 【详解】解：由题意设，， 把代入得，， ， 当时，， 解得：， 故答案为：80． 14. 王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘，张华平均每小时采摘．采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出给了张华，这时两人的樱桃一样多，则她们采摘了______小时． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 设她们采摘了小时，根据王芳从她采摘樱桃中取出给了张华，这时两人的樱桃一样多得：，即可解得答案． 【详解】设她们采摘了小时， 根据题意得：， 解得， ∴她们采摘了2小时； 故答案为：2． 15. 如图，点在直线上，平分，射线在内部，，设，则______（用含的代数式表示）。 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 根据角平分线的定义和平角的定义，可以用含的代数式表示. 【详解】， ， ， ， 平分， ， 故答案为：. 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的求解，解题的关键是掌握运算法则和方程的求解步骤． （1）先算乘方，再算括号内的运算，接着算乘除，最后算加减； （2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1来求解方程． 【详解】解：（1） （2）去分母（方程两边乘12），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 17. 如图，已知三点，，， （1）画直线；画射线； （2）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）：在射线上作线段，使； （3）在（2）的条件下，若，，是线段的中点，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、两点间的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线、射线的定义画图即可． （2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，则线段即为所求． （3）由题意得，根据可得答案． 【小问1详解】 解：如图，直线为所画；射线为所画； 【小问2详解】 解：如图，线段为所求； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， 是线段的中点， ， ， ． 【点睛】画直线AB；画射线AC； 尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）：在射线AC上作线段AD，使AD=2AB； 在（2）的条件下，若AB=3cm，AC=4cm，F是线段CD的中点，求线段AF的长． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练运用去括号法则与合并同类项法则． 先根据去括号法则去掉式子中的括号，再通过合并同类项对式子进行化简，最后将x，y的值代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 将代入化简后的式子可得： 原式， ． 19. 学校准备利用寒假进行校舍维修，如果甲工程队单独进行维修需要10天，乙工程队单独进行维修需要15天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先维修5天，然后甲，乙两个工程队合作完成剩下的维修任务． （1）甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ （2）乙工程队每天的工程费为1700元，甲工程队每天的工程费比乙多300元，校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共多少工程费？ 【答案】（1）甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天； （2）校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共23300元工程费 【解析】 【分析】本题考查了工程问题，解题的关键是将工作总量看成单位 “1”，并根据工作时间、工作效率和工作总量的关系来求解。 （1）设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要天，依据题意列出方程求解即可； （2）根据甲乙各自工作时间和每天工程费求出总工程费。 【小问1详解】 解：设甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要天，根据题意得， ， 解方程，得， 答：甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要4天； 【小问2详解】 解：（元）， 答：校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共23300元工程费 20. 如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． （1）如图1， ①若射线的方向为北偏东，则射线的方向为_______； ②请说明与互为补角． （2）如图2，平分，平分，求证：． 【答案】（1）①南偏东；②见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线，互为余角，互为补角，掌握角平分线以及互为余角，互为补角的定义是正确解答的关键． （1）①根据角平分线的定义，互为余角、互为补角的定义进行计算即可； ②根据互为补角的定义进行解答即可； （2）根据角平分线以及互为余角的定义进行解答即可． 【小问1详解】 解：①由题意得， ∵，， ∴， ∴射线的方向为南偏东， 故答案为：南偏东； ②，， ， ，， ， ， 与互为补角； 【小问2详解】 证明：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 即. ， ． 21. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形按如图的规律摆下去． （1）用含的代数式填空：摆第个图形需要_______个白色正方形，需要_______个黑色正方形； （2）第个图形中，黑白两种颜色的正方形共有2025个，求的值； （3）设第个图形与第个图形中白色正方形的个数和为，第个图形中黑色正方形的个数为，是否存在？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）337 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了规律探究； （1）第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：，第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：，第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：，据此找出规律，即可求解； （2）由黑色的正方形白色的正方形2025个，解一元一次方程，即可求解； （3）可得，由，均为正整数进行判断，即可求解； 找出规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 第个图形中需要白色正方形的个数：，黑色正方形的个数：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 解得， 答：的值为337； 【小问3详解】 解：不存在， 理由： 由题意得：， 整理得，， ， ，均为正整数， 为整数， 不成立， 不存在． 22. 商场经销，两种商品，种商品每件进价60元，售价75元；种商品每件售价117元，利润率为． （1）每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______元； （2）若该商场同时购进，两种商品共80件，全部售出后的总利润为1800元，该商场购进种商品多少件？ （3）元旦期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动： 打折前购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折，超过800元的部分打七折 按上述优惠条件，若小颖购买商品实际付款719.1元，求小颖此次购物打折前总金额． 【答案】（1），90； （2）该商场购进种商品30件； （3）小颖此次购物打折前的总金额为799元或913元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法的运用，销售问题的数量关系利润进价利润率的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据甲乙两种商品的进价之和建立方程是关键． （1）先列式计算利润率即可；设种商品的进价为元，根据利润除以进价利润率就可以直接求出结论； （2）设种商品购进y件，则种商品购进件，由A，B两种商品的利润之和为1800建立方程求出其解即可． （3）设小华一次性购买A，B商品的实际总金额为元，分两种情况：当小华此次购物打折前的总金额超出500元，但不超过800元时；当小华此次购物打折前的总金额超出800元时，分别列方程求解． 【小问1详解】 解：种商品每件的利润为元， 根据利润率， 可得种商品利润率为：， 设种商品每件进价为元，由利润率公式可得， 即， 解得：元， 够答案为：，90； 【小问2详解】 解：设该商场购进种商品件，则购进种商品件， 根据题意得，， 解得：， 答：该商场购进种商品30件； 【小问3详解】 解：设小颖此次购物打折前的总金额为元， ， ， 当时，， 解得：，符合题意； 当时，， 解得：，符合题意． 答：小颖此次购物打折前的总金额为799元或913元． 23. 已知、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，则称点是点的“倍距点”．如图1中，点表示的数为1，点表示的数为4，点表示的数为3，点表示的数为2，则点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”，点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”．对于角，我们定义角的一条三等分线为这个角的两边的“倍角线”．如图2，射线，是的三等分线，即，则称射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”，射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”． （1）、、为数轴上三点，点表示的数是，点表示的数是4，点在点，点之间，若点是点的“倍距点”，求点表示的数； （2）在（1）的条件下，动点从点出发，沿数轴向右以2个单位长度／秒的速度运动，设点的运动时间为秒，当点是点的“倍距点”时，求的值； （3）如图3，，平分，射线是射线的“倍角线”． ①求的度数； ②绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，射线，对应的射线分别为，，当射线与射线重合时，停止旋转，设旋转的时间为秒，当射线是射线的“倍角线”时，求的值； ③在②的条件下，当射线，，三条射线中，有一条射线是另外两条射线的“倍角线”时，直接写出的值． 【答案】（1）点表示的数是2； （2）的值为或； （3）①；②10；③，，， 【解析】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用，新定义的问题，掌握角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据“倍距点”的定义，设点表示的数为，列方程求解即可； （2）在点运动的过程中，点表示的数为．分情况讨论，①当点在点，点之间时，②当点在点右侧时，列方程求解即可； （3）根据角平分线的定义和“倍角线”的定义，分类讨论，即可解答； 【小问1详解】 解：设点表示的数为， 点在点，点之间，点是点的“倍距点”，， 解得， 点表示的数是2； 【小问2详解】 解：在点运动的过程中，点表示的数为． ①当点在点，点之间时， 点是点的“倍距点”， ， 解得； ②当点在点右侧时， 点是点的“倍距点”， ， 解得． 综上所述，的值为或． 【小问3详解】 解：①，平分， ， 射线是射线的“倍角线”， ， ， ②射线是射线的“倍角线”， ， ， ， ， 的值为10； ③解：如图1，是射线的“倍角线”时， ，则，此时和重合， ， ； 如图2，当是射线的“倍角线”时，， ， ， ； 如图3，当是射线的“倍角线”时，， ， ； 如图4，当是射线的“倍角线”时，， ， ． 答：的值为，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级（上）期末检测 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 七年一班某次数学测试的平均成绩是105分，小明得了110分，记作分，小丽的成绩记作分，则小丽本次数学测试的成绩为（ ） A. 118分 B. 112分 C. 108分 D. 103分 2. 如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，有“传”字一面的相对面上的字是（ ） A. 弘 B. 扬 C. 文 D. 化 3. 预计到年我国高铁运营里程将达到，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若代数的值为，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 6. 下列利用等式的性质，错误的是（ ） A. 由，得到 B. 由，得到 C. 由，得到 D. 由，得到 7. 如图，小强将自己用的一副三角板摆成如图形状，其中，若，则的度数为（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 8. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有个人，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，线段，点在线段上，是线段中点，是线段的中点，若，则线段的长为（ ） A B. C. D. 10. 如图是年月的月历表，用“”型框框中个数（如阴影部分所示），移动“”型框，当框中的五个数的和是时，则框中的五个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______． 12. 已知，则的余角的度数是______． 13. 小张驾驶汽车从甲地到乙地，汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为，，对应的数值如下表，则______． 60 2 1.5 14. 王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘，张华平均每小时采摘．采摘结束后王芳从她采摘樱桃中取出给了张华，这时两人的樱桃一样多，则她们采摘了______小时． 15. 如图，点在直线上，平分，射线在内部，，设，则______（用含的代数式表示）。 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，已知三点，，， （1）画直线；画射线； （2）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）：在射线上作线段，使； （3）在（2）的条件下，若，，是线段的中点，求线段的长． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 学校准备利用寒假进行校舍维修，如果甲工程队单独进行维修需要10天，乙工程队单独进行维修需要15天，学校经过与甲、乙两个工程队协商后，决定让乙工程队先维修5天，然后甲，乙两个工程队合作完成剩下维修任务． （1）甲、乙两个工程队合作完成剩下的维修任务需要多少天？ （2）乙工程队每天的工程费为1700元，甲工程队每天的工程费比乙多300元，校舍维修完成后，学校需支付给甲、乙两个工程队共多少工程费？ 20. 如图，直线，相交于点，以为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． （1）如图1， ①若射线的方向为北偏东，则射线的方向为_______； ②请说明与互为补角． （2）如图2，平分，平分，求证：． 21. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形按如图的规律摆下去． （1）用含的代数式填空：摆第个图形需要_______个白色正方形，需要_______个黑色正方形； （2）第个图形中，黑白两种颜色的正方形共有2025个，求的值； （3）设第个图形与第个图形中白色正方形的个数和为，第个图形中黑色正方形的个数为，是否存在？若存在，请求出，的值；若不存在，请说明理由． 22. 商场经销，两种商品，种商品每件进价60元，售价75元；种商品每件售价117元，利润率为． （1）每件种商品利润率为______，种商品每件进价为______元； （2）若该商场同时购进，两种商品共80件，全部售出后的总利润为1800元，该商场购进种商品多少件？ （3）元旦期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动： 打折前购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折，超过800元的部分打七折 按上述优惠条件，若小颖购买商品实际付款719.1元，求小颖此次购物打折前的总金额． 23. 已知、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，则称点是点的“倍距点”．如图1中，点表示的数为1，点表示的数为4，点表示的数为3，点表示的数为2，则点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”，点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”．对于角，我们定义角的一条三等分线为这个角的两边的“倍角线”．如图2，射线，是的三等分线，即，则称射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”，射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”． （1）、、为数轴上三点，点表示的数是，点表示的数是4，点在点，点之间，若点是点的“倍距点”，求点表示的数； （2）在（1）的条件下，动点从点出发，沿数轴向右以2个单位长度／秒的速度运动，设点的运动时间为秒，当点是点的“倍距点”时，求的值； （3）如图3，，平分，射线是射线的“倍角线”． ①求的度数； ②绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，射线，对应的射线分别为，，当射线与射线重合时，停止旋转，设旋转的时间为秒，当射线是射线的“倍角线”时，求的值； ③在②的条件下，当射线，，三条射线中，有一条射线是另外两条射线的“倍角线”时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $