精品解析：山东省潍坊市青州市2024-2025学年八年级上学期期末试卷数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 八年级数学 （时间：120分钟 满分：150分） 2025.1 注意事项： 1．本试题分为第I卷和第II卷两部分．第I卷为选择题，44分；第II卷为非选择题，106分：共150分．考试时间为120分钟． 2．答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效． 第I卷（选择题，44分） 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每题四个选项中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，对称轴最多的图形是（ ） A. 等边三角形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 平行四边形 2. 在中，与的度数之比为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是雨伞在开合过程中某时刻截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则表示的代数式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，面积是10．的垂直平分线分别交，于点E，F．若点为上的动点，点P为上的动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多项选择题（共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 7. 如图，期中考试后，班里的两位同学就考试情况进行了对话，对话反映出的统计量有（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 如图，在四边形中，若，添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 等腰三角形两腰上的高相等 C. 顺次连接菱形各边中点所得到四边形是矩形 D. 若等腰三角形的两边，满足，则三角形的周长是或 10. 如图，菱形和菱形全等，且摆放在一起．已知，点和点在对角线上，点和点在直线上，为菱形对角线的交点．两个菱形的公共点为，，，．对于八边形，下列结论正确的是（ ） A 该八边形各边长都相等 B. 该八边形各内角都相等 C. 点到该八边形各顶点的距离都相等 D. 点到该八边形各边所在直线的距离都相等 第II卷（非选择题，106分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果） 11. 分式，则__________． 12. 如图，在中，，，平分，则__________． 13. 某学校招聘一名教师，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面试测试，他们的各项测试成绩如右表所示．根据要求，学校把笔试、面试得分按的比例确定各人的最后成绩，然后录用得分最高的候选人，则最终被录用的是__________． 项目 测试成绩 甲 乙 丙 笔试 90 80 85 面试 70 80 75 14. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 解分式方程： （1）； （2）． 16. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 17. 如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 18. 列分式方程解应用题： 王亮和李明相约周末去体育馆打篮球： 信息一：王亮家到体育馆的路程为，李明家到体育馆的路程为； 信息二：李明从家门口乘坐早上的公交车去体育馆；王亮早上从家骑自行车去体育馆； 信息三：公交车的速度是王亮骑自行车速度的倍，且两人同时到达体育馆． 速根据以上信息，求公交车的速度． 19. 劳动课上，老师要将一块平行四边形的试验田均分给甲乙两组进行花卉栽培，且试验田中的灌溉点O在分界线上，以满足甲乙两组共同使用灌溉点． （1）如图1，在中，老师决定把相对的两块三角形试验田（与）分给甲组，剩下的部分分给乙组．方案公布后，两个小组的同学议论纷纷，有的认为这样不公平．在学习平行四边形的性质之后，你认为这种方案公平吗？请说明理由． （2）如图2，你能否找到一种仅借助直尺将试验田（）分成两块的方法，使两个小组分得的试验田一样大，并且共用灌溉点？请在图2上画出来． 20. 在某次射击测试中，每位选手要进行8次射击，教练对参加测试的甲、乙、丙三位选手的成绩（成绩为整数，单位：环）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、乙两位选手的测试成绩如下图； 信息二：选手丙8次测试中的6次成绩分别是9，9，8，7，7，6； 信息三：甲、乙、丙三位选手8次测试成绩的相关数据如下表： 甲 乙 丙 平均数 a 8 8 中位数 6.5 b 8 方差 ■ 1 ■ 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中a，b的值：_________，__________； （2）从甲、乙选手的成绩图表可知，选手发挥的稳定性更好（填“甲”或“乙”）； （3）该校准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 21. 如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为． （1）在点，运动过程中，___________，___________； （2）连接，，若与互相平分，求此时值； （3）在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 22. 【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 八年级数学 （时间：120分钟 满分：150分） 2025.1 注意事项： 1．本试题分为第I卷和第II卷两部分．第I卷为选择题，44分；第II卷为非选择题，106分：共150分．考试时间为120分钟． 2．答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效． 第I卷（选择题，44分） 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每题四个选项中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，对称轴最多的图形是（ ） A. 等边三角形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形里边对称轴的定义，熟练掌握对称轴的定义是解答本题的关键． 依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以作出正确选择． 【详解】解：等边三角形有条对称轴，正五边形有条对称轴，正方形有条对称轴，一般的平行四边形没有对称轴， 对称轴最多的图形是正五边形， 故选：B． 2. 在中，与的度数之比为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ， 故选：D． 3. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：∵，点D，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 4. 已知，则表示的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解答本题的关键． 根据题意得：，根据分式的乘法法则计算即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 即表示的代数式是， 故选：A． 5. 如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，进而得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 6. 如图，在中，，，面积是10．垂直平分线分别交，于点E，F．若点为上的动点，点P为上的动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、垂线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当点共线，且时，的值最小，最小值为的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 由两点之间线段最短、垂线段最短可知，当点共线，且时，的值最小，最小值为的长， ∵在中，，面积是10， ∴此时， ∴， 即的最小值是5， 故选：B． 二、多项选择题（共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 7. 如图，期中考试后，班里的两位同学就考试情况进行了对话，对话反映出的统计量有（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，熟练掌握众数与中位数的定义是解答本题的关键． 根据众数与中位数的定义解答即可． 【详解】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数， 故选：BC． 8. 如图，在四边形中，若，添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定，适当选择平行四边形的判定定理证明四边形为平行四边形是解题的关键．由，证明四边形为平行四边形，可判断A正确；因为，所以四边形为平行四边形或等腰梯形，可判断B不正确；由，得，可证明四边形为平行四边形，可判断C正确；由，得，而，可根据证明，得，则四边形为平行四边形，可判断D正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ∴四边形为平行四边形，故A正确； ， ∴四边形平行四边形或等腰梯形， ∴四边形不一定为平行四边形，故B不正确； ， ， ， ∴四边形为平行四边形，故C正确； ， ， 在和中， ， ， ∴四边形为平行四边形，故D正确， 故选：ACD． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 等腰三角形两腰上的高相等 C. 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形 D. 若等腰三角形的两边，满足，则三角形的周长是或 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质、矩形的判定、绝对值的性质等知识点逐项判断命题的真假即可解答． 【详解】解：A、若，则或，所以不一定等于，故A选项为假命题； B、等腰三角形两腰上的高相等，正确，故B选项为真命题； C、顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是矩形，正确，故C选项为真命题； D、若等腰三角形的两边，满足，则，，则等腰三角形的三边长为，则三角形的周长是，错误，故D选项为真命题； 故选：BC ． 【点睛】本题考查了命题的真假、等腰三角形的性质、矩形的判定、菱形的性质、绝对值的性质等知识，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 10. 如图，菱形和菱形全等，且摆放在一起．已知，点和点在对角线上，点和点在直线上，为菱形对角线交点．两个菱形的公共点为，，，．对于八边形，下列结论正确的是（ ） A. 该八边形各边长都相等 B. 该八边形各内角都相等 C. 点到该八边形各顶点的距离都相等 D. 点到该八边形各边所在直线的距离都相等 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 通过和可判断A选项；根据角平分线的性质定理判断D选项；通过角度计算判断B选项；通过长度计算判断C选项． 【详解】解：延长和，连接， 四边形是菱形，， ，， 由题意旋转的性质可得： 点、、、一定在对角线，上，且，， ，， ， ， ，， 同理可证：，，， ，，， ， ， ， 该八边形各边长都相等，故A正确； 根据角平分线的性质定理得：点到该八边形各边所在直线的距离都相等，故D正确； 由图形可得：， ，， ， 该八边形各内角不相等，故B错误； 根据，，， ， ， ， 故， 点到该八边形各顶点的距离都相等错误，故C错误； 故选：AD． 第II卷（非选择题，106分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果） 11. 分式，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键． 根据分式的性质，可把原式化为，整理可得，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，平分，则__________． 【答案】##2厘米 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明出，得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：在中，，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点． 13. 某学校招聘一名教师，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面试测试，他们的各项测试成绩如右表所示．根据要求，学校把笔试、面试得分按的比例确定各人的最后成绩，然后录用得分最高的候选人，则最终被录用的是__________． 项目 测试成绩 甲 乙 丙 笔试 90 80 85 面试 70 80 75 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的概念分别计算出三人的得分，从而得出答案． 【详解】解：甲的最后成绩为：， 乙的最后成绩为：， 丙的最后成绩为：， 可知乙的最后成绩最高，最终被录用的是：乙， 故答案为：乙． 14. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而得出答案． 【详解】∵， ∴； ； ； ； 可知三个数一个循环， ， ∴． 故答案为：． 四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键． （1）根据去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为解出的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）根据去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为解出的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 经检验，是原分式方程的根； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 则是分式方程的增根，故原方程无解． 16. 先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件确定的值，将字母的值代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 17. 如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，由平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据，得到，即可得证． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点，分别是，的中点， ，， ， ，， ， 在和和中， ， ； 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，（或因为，所以）， 所以， 四边形是平行四边形． 18. 列分式方程解应用题： 王亮和李明相约周末去体育馆打篮球： 信息一：王亮家到体育馆的路程为，李明家到体育馆的路程为； 信息二：李明从家门口乘坐早上的公交车去体育馆；王亮早上从家骑自行车去体育馆； 信息三：公交车的速度是王亮骑自行车速度的倍，且两人同时到达体育馆． 速根据以上信息，求公交车的速度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键． 根据“两人同时到达体育馆”列出分式方程并解出，即可求解． 【详解】解：设王亮骑自行车的速度为，则公交车的速度为． 根据题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意． ， 答：公交车的速度是． 19. 劳动课上，老师要将一块平行四边形的试验田均分给甲乙两组进行花卉栽培，且试验田中的灌溉点O在分界线上，以满足甲乙两组共同使用灌溉点． （1）如图1，在中，老师决定把相对的两块三角形试验田（与）分给甲组，剩下的部分分给乙组．方案公布后，两个小组的同学议论纷纷，有的认为这样不公平．在学习平行四边形的性质之后，你认为这种方案公平吗？请说明理由． （2）如图2，你能否找到一种仅借助直尺将试验田（）分成两块的方法，使两个小组分得的试验田一样大，并且共用灌溉点？请在图2上画出来． 【答案】（1）公平，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的应用，关键是根据题意求出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，题目较好，主要培养了学生运用所学的数学知识解决实际问题的能力． （1）是公平的，过作交于，交于，根据三角形的面积公式求出和的面积之和等于，再根据平行四边形的面积即可求出答案； （2）作出平行四边形的两条对角线，过对角线的交点和O点的直线能将平行四边形平分． 【小问1详解】 解：公平． 理由是：过作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 和的面积之和等于平行四边形的面积的一半； 方案公平． 【小问2详解】 如图，作出平行四边形的两条对角线，过对角线的交点和O点的直线能将平行四边形平分．． 20. 在某次射击测试中，每位选手要进行8次射击，教练对参加测试的甲、乙、丙三位选手的成绩（成绩为整数，单位：环）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、乙两位选手的测试成绩如下图； 信息二：选手丙8次测试中的6次成绩分别是9，9，8，7，7，6； 信息三：甲、乙、丙三位选手8次测试成绩的相关数据如下表： 甲 乙 丙 平均数 a 8 8 中位数 6.5 b 8 方差 ■ 1 ■ 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中a，b的值：_________，__________； （2）从甲、乙选手的成绩图表可知，选手发挥的稳定性更好（填“甲”或“乙”）； （3）该校准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 【答案】（1）， （2）乙 （3）应该推荐乙，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数、方差，中位数以及折线统计图，理解中位数、平均数以及方差的定义，掌握中位数、平均数以及方差的计算方法是正确解答的关键． （1）根据算术平均数和中位数的定义进行分析即可； （2）甲、乙两位选手成绩图的波动情况进行判断即可； （3）根据算术平均数、中位数以及方差的意义进行分析即可． 【小问1详解】 解：甲选手的8次测试成绩分别为5，5，6，6，7，8，9，10， （分）， 把乙选手的测试成绩由小到大排序：7，7，7，8，8，8，9，10， （分） 故答案为：7，8； 【小问2详解】 甲选手的8次测试成绩的方差： ， ∵乙选手的8次测试成绩的方差为1， ∴乙选手发挥的稳定性更好． 故答案为：乙； 【小问3详解】 选择乙选手，理由如下： ∵丙选手的平均数为8，8次测试中的6次成绩分别是9，9，8，7，7，6， ∴丙选手其他2次成绩的和为18， ∵中位数为8， ∴丙选手8次测试成绩为6，7，7，8，8，9，9，10， 选手丙的8次测试成绩的方差： ， ∴乙、丙选手成绩的平均数，中位数均比甲选手高， ∴从乙、丙选手中选择， ∵乙选手的方差小于丙选手， ∴乙选手发挥稳定． ∴选择乙选手． 21. 如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为． （1）在点，运动过程中，___________，___________； （2）连接，，若与互相平分，求此时的值； （3）在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，有两种情况； 点在线段上， 点在线段的延长线上， 【解析】 【分析】（1）根据，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，列出代数式即可解决； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解答； （3）有两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：，点从点出发，以的速度向点运动， ， ， ，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：若与互相平分，则是平行四边形， ， 即， 解得：； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 点在线段上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 点在线段的延长线上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质、列代数式、解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 22. 【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 【答案】（1）①；；②见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得出，，进而由全等三角形对应边和对应角相等推出为的中位线，以及，即可得出结论． ②从和的中点D、E作的垂线，垂足分别为M、N，由和得到拼接方法． （2）把四边形由对角线分为两个三角形参考（1）①中的方法，或参考题干中四边形对边中点的方法拼接平行四边形的方法，把其中一组对边连线改为由中点向另一组对边中点连线作垂线进行分割操作即可． 【详解】解：（1）①如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ， 为的中位线． ． 又∵四边形是矩形． ， 和的位置关系为． 故答案为：①；； ②如图，D，E分别是的中点，，．再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和． （2）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，．沿虚线和剪开四边形，把和分别拼接到①、②、③和④处即可． ． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形四条边的中点，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． ． 【点睛】本题考查了任意四边形拼接矩形，涉及到三角形中位线定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．对灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$