热点02 平面向量的数量积（9大热点+真题精炼）-2024-2025学年《高分引擎》高一数学热难点精讲与单元卷特训（人教A版2019必修第二册）

热点02 平面向量的数量积 考点一、向量的数量积 1.向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 2.向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 3.数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 4.向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 5.向量的投影 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 考点二、数量积的坐标运算 1.平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 2.平面向量的模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,与的夹角为θ,则 热点一 向量数量积的简单计算 例1．（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则与的夹角为钝角 D． 例2．已知，，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 变式1-1．正六边形ABCDEF的边长为1，则 . 变式1-2．在平面直角坐标系xOy中，点，，． (1)求； (2)若实数满足，求的值． 变式1-3．已知单位向量夹角为，若，则实数 . 热点二 向量的垂直问题 例3．写出一个与向量垂直且模为2的向量 ． 例4．已知向量，满足，，且，则，的夹角是 . 变式2-1．已知向量，，若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 变式2-2．已知向量，，，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 变式2-3．已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 . 热点三 向量的模长 例5．若向量，，且，则（   ） A． B．45 C． D． 例6．若向量满足，且，则 . 变式3-1．已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 变式3-2．已知向量，则的最大值为 . 变式3-3．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．3 D． 热点四 求向量的夹角 例7．已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 例8．已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则 . 变式4-2．已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是 （用区间表示）. 变式4-3．已知平面向量满足，则向量与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 热点五 求向量的投影向量 例9．已知向量，，若，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 例10．已知，若与的夹角为，则在的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．在平面直角坐标系中，点在直线上，若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 变式5-3．对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 热点六 拆分向量求数量积 例11．在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（    ） A． B． C． D． 例12．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    变式6-1．在平面四边形ABCD中，若，，且，，则（    ） A． B．8 C．10 D．3 变式6-2．已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则 . 变式6-3．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 热点七 利用向量求几何中线段长，夹角 例13．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 例14．如图，，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是 . 变式7-1．在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 变式7-2．如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 变式7-3．在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 热点八 向量与物理 例15．在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 例16．某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 变式8-1．已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，的合力对质点所做的功． 变式8-2．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 变式8-3．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）    (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 热点九 向量的最值问题 例17．已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B．0 C．12 D． 例18．圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是 ． 变式9-1．已知图中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 变式9-2．等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为 ． 变式9-3．已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于 ；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为 ． 一、单选题 1．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B．48 C． D． 2．（2024·25高二上·云南昭通·期末）已知向量，且，则（    ） A．68 B． C． D． 3．（2023·新疆·一模）已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 4．（2022·23高一下·安徽合肥·阶段练习）所在平面上一点满足为常数，若的面积为6，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．24 5．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．（2025高三·全国·专题练习）已知外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在上的投影向量的模为（    ） A． B．3 C． D．2 7．（2023 24高一上·陕西西安·期末）如图，在平面四边形ABCD，，，，．若点E为边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·24高一下·广东佛山·期中）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（    ）    A．3 B．2 C． D． 二、多选题 9．（2021·22高一下·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，点为原点，已知，，，以下说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·24高一下·广东云浮·期末）已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数，使得 D．若，则在上的投影向量的坐标为 11．（2023·24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，点A，B在上，则下列所给条件可以求出数量积的是（    ） A．，， B．， C． D． 三、填空题 12．（2023·24高三上·北京西城·阶段练习）在平面向量，中，已知，，如果，那么 ；如果，那么 . 13．（2023·24高一下·江苏连云港·期中）已知点，点为原点，则的最小值为 . 14．（2022·23高一下·湖北武汉·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为 ． 四、解答题 15．（2024·25高三上·湖北宜昌·期中）已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 16．（2023·24高一下·吉林白山·阶段练习）已知向量满足． (1)求； (2)求的最大值． 17．（2023 24高一下·山东菏泽·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求： (1)； (2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值. 18．（2023·24高一下·四川成都·期中）正方形的边长为6，，分别为线段，上的动点. (1)若是的三等分点，求的值； (2)当点在边上运动时，始终保持，当点运动到什么位置时，线段最短. 19．（2023·24高一下·浙江杭州·期中）如图，在直角梯形ABCD中，，P是线段AD（包括端点）上的一个动点． (1)当时，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求； (3)求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点02 平面向量的数量积 考点一、向量的数量积 1.向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 2.向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 3.数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 4.向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 5.向量的投影 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 考点二、数量积的坐标运算 1.平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 2.平面向量的模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,与的夹角为θ,则 热点一 向量数量积的简单计算 例1．（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．若，则与的夹角为钝角 D． 【答案】AD 【详解】 A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × 表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等 C × 当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角 D √ 若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得． 又，所以或，即与共线，反之也成立． 综上， 故选：AD. 例2．已知，，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由已知得，，， 则． 故选：A. 变式1-1．正六边形ABCDEF的边长为1，则 . 【答案】 【详解】正六边形如下图所示，，，且， 所以， 则. 故答案为： 变式1-2．在平面直角坐标系xOy中，点，，． (1)求； (2)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 所以. （2），， 因为，所以， 解得 变式1-3．已知单位向量夹角为，若，则实数 . 【答案】2 【详解】由题意，， 故答案为：2. 热点二 向量的垂直问题 例3．写出一个与向量垂直且模为2的向量 ． 【答案】（答案不唯一，或）. 【详解】向量与向量垂直，可设，模为，得到， 解得.因此，满足题意的或. 故答案为：（答案不唯一，或）. 例4．已知向量，满足，，且，则，的夹角是 . 【答案】 【详解】由得，，即， 据此可得：， ， 又与的夹角的取值范围为， 故与的夹角为 故答案为： 变式2-1．已知向量，，若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【详解】解法一：因为，所以， ，，， 故，解得； 解法二：因为，， 由得，解得. 故选：B. 变式2-2．已知向量，，，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】因为，又，所以， 所以， 又，则，解得． 故选：B. 变式2-3．已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 . 【答案】 【详解】由与的夹角为，可得：， 又因为，是互相垂直的单位向量，所以有， 则， 解得， 故答案为：. 热点三 向量的模长 例5．若向量，，且，则（   ） A． B．45 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，解得， 故， 故. 故选：C. 例6．若向量满足，且，则 . 【答案】 【详解】由得； 由得； 由得，所以. 故答案为： 变式3-1．已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【详解】向量，， 若，则，解得，所以， 可得，. 故选：D. 变式3-2．已知向量，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以 ， 所以当，即时取得最大值，且. 故答案为： 变式3-3．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由，可知，得：，故. 再由，可得：， 将代入，可得：，解得：. 故选：B 热点四 求向量的夹角 例7．已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点、点，所以， 所以，， 设向量和的夹角为，因为， 又因为，所以， 所以向量和的夹角为. 故选：B. 例8．已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 即， 所以， 所以， ∴， 故选：B. 变式4-1．已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则 . 【答案】 【详解】由题，， 又， 则，又， 则. 故答案为： 变式4-2．已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是 （用区间表示）. 【答案】 【详解】因为与的夹角为锐角，故与数量积为正，且两向量不同向共线， 所以，解得. 故答案为： 变式4-3．已知平面向量满足，则向量与的夹角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【详解】由，得，代入，得， 所以， 即向量与的夹角为， 故选：C 热点五 求向量的投影向量 例9．已知向量，，若，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由向量，，得， 由，得，解得，，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 例10．已知，若与的夹角为，则在的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为与的夹角为， 所以， 则， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 变式5-1．在平面直角坐标系中，点在直线上，若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可设，则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A 变式5-2．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上的投影向量为， 则，， ， 所以与的夹角为. 故选：B. 变式5-3．对于任意非零向量，若在上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，在上的投影为， 同理，在上的投影为， 因为任意非零向量在上的投影向量互为相反向量， 所以在上的投影互为相反数，所以， 则． 故选：D． 热点六 拆分向量求数量积 例11．在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设O是AC与BD的交点，则， 则 ， 所以 故选：C 例12．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    【答案】8 【详解】 ， ， 故答案为： 变式6-1．在平面四边形ABCD中，若，，且，，则（    ） A． B．8 C．10 D．3 【答案】B 【详解】 ∵，， ∴，， ∴ . 故选：B. 变式6-2．已知三棱锥的棱长均为2，且是BC的中点，则 . 【答案】1 【详解】解：， ， . 故答案为：1 变式6-3．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 【答案】1 【详解】由，可得， 又，，三点共线， 则有， 由于，所以，即， 又， 且，，， 故 . 故答案为：1. 热点七 利用向量求几何中线段长，夹角 例13．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 例14．如图，，分别是四边形的边，的中点，，，，，则线段的长是 . 【答案】 【详解】依题意，，，因，分别是四边形的边，的中点， 则， 如图，过点A作AG//CD交BC于点G，则，而，则有， 于是得，则 . 所以的长为. 故答案为：. 变式7-1．在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      变式7-2．如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设 设，，，，则，， 所以，所以. 所以，. 因为E，D，F共线， 所以， 所以 化简得. 因为， 所以. 所以. 变式7-3．在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 【答案】/ 【详解】 由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点， 所以，. 又因为， 所以 ， , , 所以. 故答案为： 热点八 向量与物理 例15．在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】如图所示，根据题意依次分析选项： 对于A，由于，且，则有，即. 又为定值，故越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，当时，，行李包不会处于平衡状态，即，B错误； 对于C，当时，有，则，C正确； 对于D，当时，有，则，D错误. 故选：C 例16．某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】(1)此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时 (2)此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，实际前进的速度大小为千米/小时 【详解】（1）如图， 设此人游泳的速度为，水流的速度为， 以为邻边作，则此人的实际速度为， 由勾股定理知，且在中，，即， 故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． （2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为， 在中，，则， 故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游， 实际前进的速度大小为千米/小时． 变式8-1．已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点，求，的合力对质点所做的功． 【答案】 【详解】依题意，， 则． 所以对质点所做的功为 变式8-2．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意，游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知，即 所以，解得， 故答案为：. 变式8-3．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）    (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 【答案】(1)位移大小为，方向为正前方 (2)相等 【详解】（1）由题意，为直角三角形， 由，， 得， 又， 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为，方向为正前方； （2）因为， 所以中场队员的位移与球的位移相等. 热点九 向量的最值问题 例17．已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B．0 C．12 D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 因为，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选:D. 例18．圆是锐角的外接圆，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】依题意，设中点，的中点为，则垂直平分，垂直平分， 则. 以为圆心，1为半径作圆，则在该圆的四分之一圆弧上变化，如下图， 为中垂线交点，连接，由三角形为锐角三角形， 根据临界位置及图形可知，而， 所以，则范围是． 故答案为：. 变式9-1．已知图中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1， 所以正六边形的内切圆的半径为， 外接圆的半径为， 因为 ， 又，即，可得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量数量积的运算法则将转化为，从而得解. 变式9-2．等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】．/ 【详解】设的中点为，如图， 则， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以， 所以. 故答案为：． 变式9-3．已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于 ；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为 ． 【答案】 1 【详解】过点作⊥于点， 因为，故，故为的中点， 故， 以中点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以， 解得， 故，， 设，， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：1， 一、单选题 1．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知向量，，若与反向共线，则的值为（    ） A．0 B．48 C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得， 又与反向共线，故，此时， 故. 故选：C. 2．（2024·25高二上·云南昭通·期末）已知向量，且，则（    ） A．68 B． C． D． 【答案】D 【详解】已知向量，, ，即， 又，，故， . 故选：D. 3．（2023·新疆·一模）已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，又，故， 则. 故选：D. 4．（2022·23高一下·安徽合肥·阶段练习）所在平面上一点满足为常数，若的面积为6，则的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．24 【答案】C 【详解】取AC的中点O，则（，为常数）， ， 到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍， 故. 故选：C. 5．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 6．（2025高三·全国·专题练习）已知外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在上的投影向量的模为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【详解】如图： ∵，∴，∴， ∴四边形为平行四边形. 又O为外接圆的圆心，且， ∴是边长为2的正三角形， ∴平行四边形是边长为2的菱形且， ∴，， 故向量在上的投影向量的模为. 故选：A 7．（2023 24高一上·陕西西安·期末）如图，在平面四边形ABCD，，，，．若点E为边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ , 因为，，， 所以， 连接，因为， 所以≌， 所以， 所以，则， 设，则， ∴，，，， 所以， 因为， 所以. 故选：A. 8．（2023·24高一下·广东佛山·期中）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，则， 所以， 所以． 故选：D． 二、多选题 9．（2021·22高一下·江苏淮安·阶段练习）在平面直角坐标系中，点为原点，已知，，，以下说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 10．（2023·24高一下·广东云浮·期末）已知平面向量，则下列结论正确的是（    ） A．一定可以作为一个基底 B．一定有最小值 C．一定存在一个实数，使得 D．若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，，不能作为平面向量的一个基底，A错误； 对于B，由，得，所以有最小值，B正确； 对于C，由，两边同时平方得，解得，C正确； 对于D，当时，，则，D正确. 故选：BCD. 11．（2023·24高一下·浙江嘉兴·期末）如图，点A，B在上，则下列所给条件可以求出数量积的是（    ） A．，， B．， C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由向量数量积的定义式，，故A正确； 对于B，如图，过点作于点，因，， 则，由A项分析易得，故B正确； 对于C，因，仅知道，不能求出，故C错误； 对于D，与B项同法作辅助线，因,而,且， 故,即D正确. 故选：ABD . 三、填空题 12．（2023·24高三上·北京西城·阶段练习）在平面向量，中，已知，，如果，那么 ；如果，那么 . 【答案】 【详解】由，即，解得； ，，由， 得，解得：. 故答案为：；. 13．（2023·24高一下·江苏连云港·期中）已知点，点为原点，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】依题意，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 14．（2022·23高一下·湖北武汉·期中）德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】 由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分， 以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，， 由任意角的三角函数的定义，设，， 则，，， ∴， ∴ 令，，则， 当时，， ， ， ∴存在，使，即， ∴当时，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·25高三上·湖北宜昌·期中）已知向量，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）因为向量，所以， 由得，解得，所以. 又，所以. （2）设向量与向量的夹角为， 因为，则， 又，所以， 即向量与向量的夹角是. 16．（2023·24高一下·吉林白山·阶段练习）已知向量满足． (1)求； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得， 即，两式相减得， 所以． （2）由（1）知，，于是，则，即， 因此，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 17．（2023 24高一下·山东菏泽·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为.求： (1)； (2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2， 所以船只沿AB方向的速度为. 由，，根据勾股定理可得：,所以，即 由，得：， 所以. （2）因为，所以， 即，解得：. 即船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值为. 18．（2023·24高一下·四川成都·期中）正方形的边长为6，，分别为线段，上的动点. (1)若是的三等分点，求的值； (2)当点在边上运动时，始终保持，当点运动到什么位置时，线段最短. 【答案】(1) (2)是的中点，线段最短. 【详解】（1）如图所示， （2）当点在边上运动时，始终保持，在正方形中， 易知与相似，设 当时，即是的中点时，最短，则线段最短. 19．（2023·24高一下·浙江杭州·期中）如图，在直角梯形ABCD中，，P是线段AD（包括端点）上的一个动点． (1)当时，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求； (3)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) (3)3 【详解】（1）以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. 当时，,，， 因此， （2）设，即点P坐标为， 则，， ， 当时，，即， （3）设、，又， 则， ，当时取到等号， 因此的最小值为3. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$