微专题5-16 导数隐零点问题7种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-16 导数隐零点问题7种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 导数隐零点技巧——直接代换 题型2 导数隐零点技巧——参数代换 题型3 导数隐零点技巧——变形代换 题型4 导数隐零点技巧——同构代换 题型5 导数隐零点应用——解决极值、最值 题型6 导数隐零点应用——判断零点个数 题型7 导数隐零点应用——证明不等式 零点：设函数 ，若实数满足，则称为函数的零点.从函数图像上看，函数的零点即为其图像轴交点的横坐标. 隐零点：若为函数的零点，但无法精确求解，则称为隐藏的零点，即隐零点.有些函数的零点表面上看不可求，但结合函数的性质实际上可以求出，这类零点不能称为隐零点.例如，不能称为函数的隐零点. 零点存在定理：设函数是定义在上的连续函数，且满足，则存在实数，使得.换句话说，函数在上存在零点.结合函数的性质，还可以精确判断函数在上的零点个数.另外，该定理往往用来判断零点所属区间. 隐零点问题的一般求解策略： 第一步：用零点存在定理判断导函数零点的存在性，列出零点满足的方程，并结合函数的单调性得到隐零点的取值范围.当函数的隐零点不可求时，首先可用特殊值进行“投石问路”.特殊值的选取原则是： （1）在含有的复合函数中，常令，尤其是令进行试探； （2）在含的复合函数中，常令，尤其是令进行试探. 第二步：以零点为分界点，说明导函数符号的正负，进而得到题设函数最值的表达式. 第三步：将零点满足的方程适当变形，利用隐零点具有的性质整体代入函数最值表达式中进行化简，达到求函数最值、求参数取值范围、证明不等式、解不等式等目的，使问题获解. 注： 同时对于导数隐零点问题，需要重点关注其中的三个过程，包括零点确定性过程、最值表达式的变形过程及整体代人过程，具体内容如下: （1）隐性零点确认，确认隐性零点可直接利用零点存在性定理，也可由函数的图像特征，以及题设条件来推导而隐性零点的范围界定，主要由所求问题来决定，解析尽可能缩小其取值范围 （2）表达式的变形过程中，尽可能将复杂的表达式变形为常见的整式或分式，特别注意替换其中的指数或对数函数式，为后续的探究做铺垫 （3）整体代人过程基于的是数学的设而不求思想，对于其中的超越式，尽可能化为常见的代数式 注：1.理解隐零点定义，总结确定方法"隐零点"本质上还是零点，是基于精准求解而设定的零点划分，学习时需要关注其本质，把握“难以精确定位”和"准确求极值"对"隐零点"的定义，故“隐零点”的存在性是一定的。另外需要关注“隐零点”的确定方法，上述总结了零点存在性定理、函数图像、题设条件三种，理解方法原理，掌握方法技巧极为关键。故教学中需要注重对“隐零点”两大内容的剖析，一是“隐零点”的定义设定，二是"隐零点"的确定方法，教学中可对比"显零点"，结合实例具体探究. 2.归纳三步策略，强化解析思维上述所归纳的"三步法"是求解导数"隐零点"的重要方法，构建了"零点判断→单调性分析→代入转化”的解析思路.三步过程之间紧密相关，具有严密的逻辑顺序，严格按照该方法求解可实现问题的高效作答.而在实际教学中，除了需要指导学生掌握“三步法”的构建思路外，还要注重解题引导，培养学生的解析思维.让学生亲历探究过程，通过设问引导来完善学生的数学思维，从根本上提升学生的能力. 3.掌握转换方法，积累变形经验变形转换是求解导数“隐零点”问题的重要环节，将直接确定问题走向，该环节需要使用一定的方法技巧.常见的转换方法有分离参数、变更主元、整体代换、分离函数等，对于涉及参数的不等式问题，可采用分离参数来简化，然后基于代数式构造函数来研究性质，同时配合整体代换实现函数的简洁化，而变更主元常用于导函数无法求出零点的情形. 教学中要指导学生掌握上述转换技巧的内涵，然后结合实例具体讲解，帮助学生积累简化经验，提升学生的运算能力. 题型1 导数隐零点技巧——直接代换 【例1】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：函数的图象在x轴上方. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)证明见解析. 【分析】(1)求，根据正负即可求y的单调区间； (2)求，根据零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可. 【详解】（1）， 令则. 当时，，∴函数在上单调递增； 当时，，∴函数在上单调递减. 即的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）， ，易知单调递增， 又，， ∴在上存在一个， 使得：，即：，且， 当，有单调递减； 当，有单调递增. ∴， ∴， ∴函数的图象在x轴上方. 【点睛】本题考查隐零点，关键是判断单调，且，，由此得出在(1，2)之间存在零点，据此求出g(x)的最小值，证明此最小值大于零即可. 【变式1】已知函数． （1）证明：在区间内存在唯一的零点； （2）若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【分析】（1）先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证； （2）参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合（1）中结论和隐零点的思维，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 当时，， ∴在上单调递增， ∵，， ∴在区间内存在唯一的零点． （2）解：∵，且， ∴， 令，则，， 由（1）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点， 设该零点为，则， 故当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， ∴， ∴， 故整数的最大值为3． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于较难题． 【变式2】已知函数. （1）若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为4，求实数的值； （2）当时，证明：. 【答案】（1）或；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导可得解析式，利用导数的几何意义，求得切线斜率，又，代入点斜式方程，可求得切线方程，分别令、，结合面积为4，即可求得答案. （2）当时，所求变形为，设，利用导数求得的单调性和极值，综合分析，即可得证. 【详解】（1）由，∴， 又，∴切线方程为，（）. 当时，；当时，， 由题意可得，解得或. （2），， 当时，， 令，则， 设的零点为，则，即且， ∴在上递减，上递增， ∴， ∴时，恒成立，从而恒成立， ∴当时，. （或根据证明） 【点睛】解题的关键是掌握导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于，需根据a的范围，进行合理变形，进而直接求证即可，属中档题. 题型2 导数隐零点技巧——参数代换 【例2】已知函数． (1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 (1) ，所以，，    所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线经过点，所以 解得． (2) 设，则，    设，则， 因为在上递增， 所以当时，，当时， 所以在上递减，在上递增， 所以，    令，则 所以在递减， 因为， 所以，所以． 【点睛】 关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题的关键是构造函数，利用导数求得，再利用函数的单调性结合可证得结论，考查数学转化思想，属于较难题 【变式1】已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在区间有唯一零点，证明：. 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析. 【详解】试题分析：（Ⅰ）求导得， 分， ，，三种情况讨论可得单调区间. （Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即且 所以，且，消去得，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可. 试题解析：（Ⅰ），， 令，， 若，即，则， 当时，，单调递增， 若，即，则，仅当时，等号成立， 当时，，单调递增. 若，即，则有两个零点，， 由，得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述， 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. （Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求. 此时，就是函数在区间的唯一零点. 所以，从而有， 又因为，所以， 令，则， 设，则， 再由（1）知：，，单调递减， 又因为，， 所以，即 点晴：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法. 【变式2】设函数，e为自然对数的底数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）证明：若，则． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】(1)利用导函数恒成立,求解即可. (2)利用(1)中的结论与零点存在定理可得存在,使得,再利用隐零点的方法,求得在上的最小值,再代入极值点的关系化简证明即可. 【详解】解：（1）因为在上单调递增, 所以恒成立.                       令,当,                      在上单调递增, 依题意有,得                              （2）由（1）可知,在上单调递增,当时, ,,                              存在,使得,                         且当时,,即,在上单调递减 当时,,即,在上单调递增 所以在上的最小值为          ,,,                    ,即成立                                             或者                 ,                                                  ,即成立 【点睛】本题主要考查了函数恒成立的问题,同时也考查了隐零点问题的应用,需要根据题意列出对应的不等式,再根据导数求解单调性与极值的方法证明即可.属于难题. 题型3 导数隐零点技巧——变形代换 【例3】已知函数 (1)若求的极值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可； （2）令，求导函数，分和两种情况，分析导函数的符号，求得的最值，继而可得答案. 【详解】（1）当， 令，解得， 则当单调递减，当单调递增， 故的极小值为，无极大值； （2）由题意可得 令则 当时，则时，，不合题意； 当时，设， ，， 所以存在时，， 因为，所以在上单调递增， 所以当，；当，， 则当，；当，， 则在单调递减，在单调递增， 所以 因为，所以，即 故解得 综上所述，实数a的取值范围 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【变式1】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，在上为单调递增；当时，在上为单调递减，在上为单调递增.(2)证明见见解析. 【解析】 (1) 由已知条件得函数的定义域为， ， 因为 ①当时，在上恒成立， 故在上为单调递增. ②当时，当时，，当时， 故在上为单调递减，在上为单调递增； 综上所述：当时，在上为单调递增 当时，在上为单调递减，在上为单调递增 (2) 当时， 要证原式成立，需证成立， 即需证成立， 令，则， 令，则，故在上单调递增， ，，由零点存在性定理可知，存在使， 则在上，在上， 即在上，在上， 则在上单调递减，在单调递增，在处取得最小值， 由可得，即， 两边同取对数，即， 的最小值为， 即成立， 故当时，成立. 【小结】关键点睛：本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数证明不等式. 解答本题的关键是构造函数，分析其单调性，得出其最小值，从而得出函数在在处取得最小值，而满足，两边同取对数得，从而得出最小值为0，从而得证. 属于难题. 题型4 导数隐零点技巧——同构代换 【例4】已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可； （2）问题转化为，令，根据函数的单调性求出的最小值，（可根据同构法也可根据换元法求最值），求出的范围即可； 【详解】（1）．所以．又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）． 令，则． 令，则，所以是增函数． 又，，由零点存在定理及是增函数， 知存在唯一的，使得． 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以． 由，得，即． 令，则，是增函数． 又，，所以① ①两边取自然对数，得，即，所以② 由①②，得． 于是，即．所以实数的取值范围是． 【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 【变式1】已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可； （2）问题转化为，令，根据函数的单调性求出的最小值，（可根据同构法也可根据换元法求最值），求出的范围即可； 【详解】（1）．所以．又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）． 令，则． 令，则，所以是增函数． 又，，由零点存在定理及是增函数， 知存在唯一的，使得． 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以． 由，得，即． 令，则，是增函数． 又，，所以① ①两边取自然对数，得，即，所以② 由①②，得． 于是，即．所以实数的取值范围是． 【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 14．（2023·全国·高二专题练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求定义域，再求导，分与，讨论函数单调区间，在时，根据根的判别式进行分类讨论，最终求出函数的单调区间； （2）参变分离，得到，构造，，求导后，构造，，求导利用隐零点，同构等方法求出，得到实数k的取值范围. 【详解】（1），定义域为， 则， 当时，恒成立，故， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当时， 令， 当，即时，恒成立，故， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当，即时， 此时设的两根为，， 两根均大于0，且， 令得：或， 令得：， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上：当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由于的定义域为， 可只需考虑时，不等式恒成立， 即，化简得：， 令，， 则， 令，， 在上恒成立， 故在上单调递减， 因为，， 故存在，使得， 即， 设，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，即，， 当时，，， 当时，，， 故时，单调递增，时，单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值， 故， 故，所以实数k的取值范围是 【点睛】隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 题型5 导数隐零点应用——解决极值、最值 【例5】已知对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】构造，，其中，二次求导，并得到，分和两种情况，结合函数单调性和最值情况，得到答案. 【详解】，，显然， ，注意到， 令，则， 其中， 当，即时， 在上单调递增，故， 故在上单调递增，故恒成立，满足要求， 当时，，又趋向于时，趋向于， 由零点存在性定理得使得， 当时，，即单调递减， 又，故时，， 故在上单调递减，又，在上，， 不合要求，舍去， 故的最大值为 故选：A 【变式1】已知函数，，且，函数的值域为 . 【答案】 【分析】对求导，构造函数，利用导数判断的单调性，根据零点存在性定理得到的零点，从而确定的单调性，求解即可. 【详解】，由可知， 令，，则， 所以在内单调递增， 又，， 所以在内存在唯一零点， 且，又，所以， 当时，，即，则在区间上单调递增， 由，可得，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式2】已知函数在区间上有极大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，令，结合函数的单调性，可知，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为， 所以， 因为函数在区间上有极大值， 令，因为在上单调递减， 所以在区间上有零点，且零点左侧函数值大于，右侧函数值小于， 所以，解得， 此时设在区间的零点为， 则当时，即，所以在上单调递增， 当时，即，所以在上单调递减， 则在处取得极大值，符合题意； 所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式3】已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】法1，利用导数探讨函数单调性，求出的最小值；法2，由已知可得，换元构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】解法l：隐零点处理策略 函数的定义域为，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，，得在上存在唯一的零点，即， 于是当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 解法2：同构变形 依题意，，令，， 设，求导得， 当时，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式4】若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为 . 【答案】 【分析】先将不等式同构变形为，构造函数，求导判单调性转化为解不等式0或，令，求导求得最大值小于等于0即可求解. 【详解】，即， 令，则. 设，其中， 则，令，得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，又， 所以存在，使得， 所以若，则或，即0或恒成立， 当，故不可能， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得，所以正实数的最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：函数隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数. 第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 题型6 导数隐零点应用——判断零点个数 【例6】已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. (3)求证：若，有且仅有一个零点. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）根据给定条件，按，，，分类，利用导数求出单调区间. （3）利用（2）的结论，结合零点存在性定理推理证明即可. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， ①当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减； ③当时，，函数在上单调递减； ④当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，； 当时，函数的递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，. （3）①当时，函数在上单调递减，而，， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； ②当时，函数在处取得极小值， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， ，当时，，则， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； ③当时，函数在处取得极小值，， 同理存在唯一使，则有且仅有一个零点， 所以有且仅有一个零点. 【变式1】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中.求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2) 【分析】（1）求导函数，利用导数求解单调区间即可. （2），由得，则除1外还有两个零点，对求导分类讨论其单调性，当时，在单调递减，不满足，当时，要是除1外还有两个零点，则不单调，则，再由韦达定理求出其余两个零点的范围，结合函数的单调性说明所求范围即为所求. 【详解】（1）当时，，， 则在恒成立，所以在单调递增， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）， ，，则除1外还有两个零点， ， 令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，， 则，，所以 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点，，， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，或借助数形结合思想分析解决问题. 【变式2】已知函数，，． (1)若，函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若，，求函数在上的零点个数． 【答案】(1) (2)函数在上两个零点． 【分析】（1）求出导函数，题意得出在上恒成立，转化为，在上恒成立，再引入函数求出函数的最值得参数范围； （2）求出，令，再求导，由的单调性确定的零点的存在性,从而得的正负，确定即的单调性，然后再确定的零点的存在性，得出的正负，确定的单调性，然后确定的零点的存在性（零点的存在性需与零点存在定理结合）． 【详解】（1）当时，，， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，可得， 令，在上，，， 所以在上的最小值为， 所以实数a的取值范围为． （2）当，时，，可得， ，设， 则，易知在上单调递增， 又，，所以，使得， 在上,在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，，使得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，由得，， 又因为，所以，使得， 综上，函数在上有，0两个零点． 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点问题，方法是利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理得出零点的存在性．为此可能需要对导函数（或其中部分函数）进行再一次的求导，以确定单调性、正负性． 题型7 导数隐零点应用——证明不等式 【例7】求证： 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨最值情况作答. 【详解】令，求导得，显然函数在上单调递增， 而，，因此存在，使得，即，有， 当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增， 于是 ， 所以. 【变式1】已知函数，. (1)当时，求的极小值； (2)若，求证：当时，. 【答案】(1)0； (2)证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出的导数，确定单调性求出极小值. （2）求出，利用不等式性质证明，再构造函数，利用导数探讨最小值即可推理得证. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，，则，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，为. （2）依题意，的定义域为， 当时，，则只需证， 令，求导得， 令，求导得 则函数在上单调递增，且，， 因此函数在上有唯一零点，且，即， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是， 则，所以当时，. 【点睛】思路点睛：含参数的函数不等式证明问题，可以利用不等式性质放缩，再构造函数，利用导数探讨单调性、极(最)值即可推理作答. 【变式2】已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数求原函数的单调区间； （2）由题设得，从而得若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，利用导数证明即可得证. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需证明， 设，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 所以， 所以当时，单调递增， 所以， 即当时，有不等式成立， 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则. 【变式3】已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)设函数， i．证明：有且只有一个零点； ii．记函数的零点为，证明：． 【答案】(1) (2)i．证明见解析；ii．证明见解析 【分析】（1）借助函数的奇偶性计算即可得； （2）结合零点的存在性定理分类讨论可证有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得. 【详解】（1）， 即有，即恒成立， 故； （2）i．当时，函数与函数均在定义域上单调递增， 故在上单调递增， 又，， 故存在唯一零点， 当时，，，故， 当时，，，故， 故当时，无零点， 综上所述，有且只有一个零点，且该零点； ii．由上可知，且有， 则， 即， 由函数在区间上单调递增， 故. 【点睛】关键点睛：本题i．问关键在于借助零点的存在性定理判定有且只有一个零点，ii．问关键在于借助零点，将转化为，结合函数单调性，得到. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-16 导数隐零点问题7种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 导数隐零点技巧——直接代换 题型2 导数隐零点技巧——参数代换 题型3 导数隐零点技巧——变形代换 题型4 导数隐零点技巧——同构代换 题型5 导数隐零点应用——解决极值、最值 题型6 导数隐零点应用——判断零点个数 题型7 导数隐零点应用——证明不等式 零点：设函数 ，若实数满足，则称为函数的零点.从函数图像上看，函数的零点即为其图像轴交点的横坐标. 隐零点：若为函数的零点，但无法精确求解，则称为隐藏的零点，即隐零点.有些函数的零点表面上看不可求，但结合函数的性质实际上可以求出，这类零点不能称为隐零点.例如，不能称为函数的隐零点. 零点存在定理：设函数是定义在上的连续函数，且满足，则存在实数，使得.换句话说，函数在上存在零点.结合函数的性质，还可以精确判断函数在上的零点个数.另外，该定理往往用来判断零点所属区间. 隐零点问题的一般求解策略： 第一步：用零点存在定理判断导函数零点的存在性，列出零点满足的方程，并结合函数的单调性得到隐零点的取值范围.当函数的隐零点不可求时，首先可用特殊值进行“投石问路”.特殊值的选取原则是： （1）在含有的复合函数中，常令，尤其是令进行试探； （2）在含的复合函数中，常令，尤其是令进行试探. 第二步：以零点为分界点，说明导函数符号的正负，进而得到题设函数最值的表达式. 第三步：将零点满足的方程适当变形，利用隐零点具有的性质整体代入函数最值表达式中进行化简，达到求函数最值、求参数取值范围、证明不等式、解不等式等目的，使问题获解. 注： 同时对于导数隐零点问题，需要重点关注其中的三个过程，包括零点确定性过程、最值表达式的变形过程及整体代人过程，具体内容如下: （1）隐性零点确认，确认隐性零点可直接利用零点存在性定理，也可由函数的图像特征，以及题设条件来推导而隐性零点的范围界定，主要由所求问题来决定，解析尽可能缩小其取值范围 （2）表达式的变形过程中，尽可能将复杂的表达式变形为常见的整式或分式，特别注意替换其中的指数或对数函数式，为后续的探究做铺垫 （3）整体代人过程基于的是数学的设而不求思想，对于其中的超越式，尽可能化为常见的代数式 注：1.理解隐零点定义，总结确定方法"隐零点"本质上还是零点，是基于精准求解而设定的零点划分，学习时需要关注其本质，把握“难以精确定位”和"准确求极值"对"隐零点"的定义，故“隐零点”的存在性是一定的。另外需要关注“隐零点”的确定方法，上述总结了零点存在性定理、函数图像、题设条件三种，理解方法原理，掌握方法技巧极为关键。故教学中需要注重对“隐零点”两大内容的剖析，一是“隐零点”的定义设定，二是"隐零点"的确定方法，教学中可对比"显零点"，结合实例具体探究. 2.归纳三步策略，强化解析思维上述所归纳的"三步法"是求解导数"隐零点"的重要方法，构建了"零点判断→单调性分析→代入转化”的解析思路.三步过程之间紧密相关，具有严密的逻辑顺序，严格按照该方法求解可实现问题的高效作答.而在实际教学中，除了需要指导学生掌握“三步法”的构建思路外，还要注重解题引导，培养学生的解析思维.让学生亲历探究过程，通过设问引导来完善学生的数学思维，从根本上提升学生的能力. 3.掌握转换方法，积累变形经验变形转换是求解导数“隐零点”问题的重要环节，将直接确定问题走向，该环节需要使用一定的方法技巧.常见的转换方法有分离参数、变更主元、整体代换、分离函数等，对于涉及参数的不等式问题，可采用分离参数来简化，然后基于代数式构造函数来研究性质，同时配合整体代换实现函数的简洁化，而变更主元常用于导函数无法求出零点的情形. 教学中要指导学生掌握上述转换技巧的内涵，然后结合实例具体讲解，帮助学生积累简化经验，提升学生的运算能力. 题型1 导数隐零点技巧——直接代换 【例1】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：函数的图象在x轴上方. 【变式1】已知函数． （1）证明：在区间内存在唯一的零点； （2）若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【变式2】已知函数. （1）若曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为4，求实数的值； （2）当时，证明：. 题型2 导数隐零点技巧——参数代换 【例2】已知函数． (1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：． 【变式1】已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在区间有唯一零点，证明：. 【变式2】设函数，e为自然对数的底数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）证明：若，则． 题型3 导数隐零点技巧——变形代换 【例3】已知函数(1)若求的极值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围. 【变式1】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：． 题型4 导数隐零点技巧——同构代换 【例4】已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 14．（2023·全国·高二专题练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 题型5 导数隐零点应用——解决极值、最值 【例5】已知对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【变式1】已知函数，，且，函数的值域为 . 【变式2】已知函数在区间上有极大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，若，则的最小值为 . 【变式4】若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为 . 题型6 导数隐零点应用——判断零点个数 【例6】已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. (3)求证：若，有且仅有一个零点. 【变式1】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中.求实数的取值范围. 【变式2】已知函数，，． (1)若，函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若，，求函数在上的零点个数． 题型7 导数隐零点应用——证明不等式 【例7】求证： 【变式1】已知函数，. (1)当时，求的极小值； (2)若，求证：当时，. 【变式2】已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【变式3】已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)设函数， i．证明：有且只有一个零点； ii．记函数的零点为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$