专题19.4 平面直角坐标系（中考常考点分类专题）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题19.4 平面直角坐标系（中考常考点分类专题） 第一部分【题型目录】 【知识点一】确定平面上物体的位置 【考点1】确定平面上物体的位置......................................................1 【知识点二】平面直角坐标系 【考点2】点的位置..................................................................3 【考点3】点到坐标轴的距离..........................................................5 【考点4】坐标与图形................................................................6 【考点5】坐标规律探索.............................................................10 【知识点三】坐标与图形位置 【考点6】实际问题中用坐标表示位置.................................................12 【考点7】用方向角和距离确定物体位置...............................................14 【知识点四】坐标与图形的变化 【考点8】坐标与图形...............................................................16 【考点9】坐标系中描点.............................................................19 【考点10】点坐标的规律探索........................................................22 【考点11】由平移方式确定点的坐标..................................................25 【考点12】已知点坐标的平移，求平移方式............................................27 【考点13】轴对称..................................................................29 【考点14】点围绕一个点旋转........................................................32 【考点15】坐标与旋转规律..........................................................35 第二部分【题型展示与考点点拨】 【知识点一】确定平面上物体的位置 【考点1】确定平面上物体的位置 1．（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．    【答案】 【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解． 解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度， ∴点的坐标可以表示为 故答案为：． 【点拨】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　） A．东经，北纬 B．某地静安路 C．某班教室第列 D．北偏东 【答案】A 【分析】本题主要考查确定位置的要素，只有方向和距离都有才可以确定一个点的位置，进行解答，即可． 解：A、有两个量，可以确定位置，故符合题意； B、只有一个量，无法确定位置，故不符合题意； C、只有一个量，无法确定位置，故不符合题意； D、只有方向一个量，无法确定位置，故不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，线段的长度分别是，，，且平分．若将点表示为，点B表示为，则点可表示为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，利用角平分线、角的和差得出的方向角是解题关键． 根据角平分线的定义，可得的度数，根据角的和差，可得的方向角，根据已知点的有序数对的表示方法，即可得解． 解：线段的长度分别是，，，且平分．若将点表示为，点B表示为， ， ， ， 点可表示为， 故答案为：． 【知识点二】平面直角坐标系 【考点2】点的位置 1．（2021·青海·中考真题）已知点在第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直角坐标系、一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案． 解：∵点在第四象限 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握象限、一元一次不等式组的性质，从而完成求解． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据轴上点的纵坐标为，轴上点的横坐标为列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可解答． 解：点在轴上，点在轴上， ，， ，， ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）某数学兴趣小组的同学们，把6个形状、大小完全相同的长方形叠加成如图所示的三个上升的“L”图案，放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，二元一次方程组的应用，正确的列出方程组是解题的关键：设长方形的长为，宽为，根据点的坐标为，列方程即可得到结论． 解：设长方形的长为，宽为，根据题意得， ，解得， 点的坐标为， 故答案为：． 【考点3】点到坐标轴的距离 1．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 2．（23-24八年级·全国·假期作业）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，它到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点P的坐标为（    ） A． B．） C． D． 【答案】C 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数以及点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 解：∵点P在第二象限内， ∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点P到轴的距离为3，到轴的距离为1， ∴点P的坐标为． 故选：C 【点拨】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 3．（15-16七年级下·广东珠海·期中）已知点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，到x轴的距离为5，则点P的坐标是 ． 【答案】（3，﹣5）． 【分析】首先根据点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，可得点P的横坐标是3；然后根据到x轴的距离为5，可得点P的纵坐标是﹣5，据此求出点P的坐标是多少即可． 解：∵点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3， ∴点P的横坐标是3； ∵点P到x轴的距离为5， ∴点P的纵坐标是﹣5， ∴点P的坐标（3，﹣5）； 故答案为（3，﹣5）． 【点拨】此题主要考查了点的坐标的确定，要熟练掌握，解答此题的关键是要确定出点P的横坐标和纵坐标各是多少，并要明确：（1）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（2）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【考点4】坐标与图形 1．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】由题意，设点B的坐标为（-2，y），则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标． 解：∵轴 ∴设点B的坐标为（-2，y） ∵AB=9 ∴ 解得：y=8或y=－10 ∴点B的坐标为或 故答案为：或 【点拨】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况． 2．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为 （         ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 由题意过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 解：过A和B分别作于D，于E， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴则B点的坐标是． 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作，且．连接，当取得最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，坐标与图形，过点作轴于点，可证，得到，即得点在直线上运动，可知当垂直于这条直线时，最短，据此即可求出点的坐标，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在直线上运动，如图， 当垂直于这条直线时，最短，此时， 故答案为：． 【考点5】坐标规律探索 1．（2023·新疆克孜勒苏·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出循环规律后，可求出最后一次循环所剩余的单位长度即可求解； 解：由题意得： 按进行个一组进行循环，循环一次所用个单位长度， ， 循环第组以后，剩余个单位长度进行第组循环， ， 循环到与轴交点处， 坐标为． 故选：A． 【点拨】本题考查了循环问题中的点的坐标规律探究，找出循环规律是解题的关键． 2．（23-24七年级下·山东日照·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出一般规律是解题关键．由题意可知，第排最后一个数字为，进而得出第63排最后一个数字为，即可求解． 解：由题意可知，第排恰好排个数， 第排最后一个数字为， 当时，， 即第63排最后一个数字为， ， 2024在第排第8个数， 2024可用有序实数对表示为， 故答案为： 3．（2021九年级·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．正方形从图中的位置出发，以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向旋转．同时，点从点出发，以每秒移动1个单位长度的速度，沿正方形的边，按照的路线循环运动．第1秒时点的坐标为，第2秒时点的坐标为 ，第2020秒时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据前几秒点的运动情况分析总结知道正方形每4秒一个循环，则根据此规律即可推断出第2020秒时点 P 的坐标． 解：第2秒时，点在上，，此时在轴的负半轴上，， 正方形每4秒一个循环，， 秒时，点在第一象限， 点在上，， 故答案为，． 【点拨】此题考查学生的总结观察能力，利用坐标系表示点的方法，按照已知数据总结规律，难度一般． 【知识点三】坐标与图形位置 【考点6】实际问题中用坐标表示位置 1．（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案． 解：∵A，B的位置分别表示为． ∴目标C的位置表示为． 故答案为： 2．（23-24七年级下·山东德州·期中）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标确定位置，建立坐标系找到坐标系的原点是关键． 根据表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，，可得到表示棋子“卒”的位置是直角坐标系的原点，继而求得棋子“炮”的点的坐标即可． 解：∵表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，， ∴表示棋子“卒”的位置是直角坐标系的原点， ∴表示棋子“炮”的点的坐标为． 故选：B． 3．（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 解：∵A，C两点的坐标分别为， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【考点7】用方向角和距离确定物体位置 1．（2017·河北·中考真题）如图，码头在码头的正西方向，甲、乙两船分别从、同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东,为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【答案】D 解：因为甲乙两船航行的时间相等，速度相等，所以相遇时航行的路程相等，则相遇点与A，B构成一个等腰三角形，此时乙的航向是北偏西35°，故答案选D. 考点：方向角. 2．（2021·湖北荆州·一模）如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达处，测得小区位于的北偏西60°方向．当在主输气管道上寻找支管道连接点，使到该小区铺设的管道最短时，的长为 ． 【答案】1500米 【分析】过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据方向角可以证得∠AMC＝90°，根据三角函数即可求得MC，进而求得AN的长． 解：如图，过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短， ∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°， ∴∠CAM＝30°， ∴∠AMN＝60°， 又∵C处看M点为北偏西60°， ∴∠FCM＝60°， ∴∠MCB＝30°， ∵∠EAC＝60°， ∴∠CAD＝30°， ∴∠BCA＝30°， ∴∠MCA＝∠MCB＋∠BCA＝60°， ∴在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∠MAC＝30°， ∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°， ∴NC＝MC＝500， ∵AC＝2000米， ∴AN＝AC−NC＝2000−500＝1500（米）． 故答案是：1500米． 【点拨】本题主要考查了方向角的含义，含30°角的直角三角形的性质，正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键． 3．（2022·河北·二模）如图，甲、乙二人同时从A地出发，甲沿北偏东50°方向行走200m后到达B地，然后立即向正东方向行走200m，二人恰好在C地相遇，若乙中途未改变方向，则乙的行走方向为（    ） A．北偏东30° B．北偏东40° C．北偏东70° D．无法确定 【答案】C 【分析】延长CB交AF于D，根据方位角得出∠DAB=50°，根据正东方向得出CD⊥AF，根据行走距离得出AB=BC，利用三角形外交性质得出∠ABC=∠DAB+∠ADB=50°+90°=140°，根据等腰三角形性质得出∠BAC=∠BCA=即可． 解：延长CB交AF于D， ∵甲沿北偏东50°方向行走200m后到达B地，然后立即向正东方向行走200m，二人恰好在C地相遇， ∴∠DAB=50°，CD⊥AF，AB=BC， ∴∠ABC=∠DAB+∠ADB=50°+90°=140°， ∴∠BAC=∠BCA=， ∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=50°+20°=70°， ∴乙的行走方向为沿北偏东70°． 故选：C． 【点拨】本题考查方位角的应用，方位角之间关系，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质，中掌握方位角的应用，方位角之间关系，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质是解题关键． 【知识点四】坐标与图形的变化 【考点8】坐标与图形 1．（2017·河南·中考真题）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝2，AOAB＝1，根据勾股定理得到OD′，于是得到结论． 解：∵AD′＝AD＝2， AOAB＝1， ∴OD′， ∵C′D′＝2，C′D′∥AB， ∴C′（2，）， 故选：D． 【点拨】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，解题关键是借助平面直角坐标系画辅助线构造一线三垂直模型从而利用全等性质求解．过点C作轴于点D，通过证明，可得，即可求解． 解：如图，过点C作轴于点D， 点， 是等腰直角三角形，且， ， 中，， 又∵， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， 当时，则， ∴． 故选：B． 3．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠的性质可得：，，，证明，得出，再由勾股定理列式计算即可求解． 解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 【考点9】坐标系中描点 1．（2016·山东滨州·中考真题）如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（－3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（　　） A．（2，－3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，－2） 【答案】C 解：∵点A坐标为（0，a）， ∴点A在该平面直角坐标系的y轴上， ∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m）， ∴点C、D关于y轴对称， ∵正五边形ABCDE是轴对称图形， ∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴， ∴点B、E也关于y轴对称， ∵点B的坐标为（﹣3，2）， ∴点E的坐标为（3，2）， 故选C.. 【点拨】本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的y轴． 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，的中垂线交y轴于点，即可求得答案． 解：如图，①以点A为圆心的长为半径画弧，交y轴于和，此时， ②以点B为圆心的长为半径画弧，交y轴于点和，此时， ③的中垂线交y轴于点，此时， 综上所述，符合要求的点的位置共有5个， 故选：D． 3．在直角坐标系中，点，点，的最小值为，最大值大于，则的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，解不等式组，根据题意画出图形，然后列出不等式组或，解不等式组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，由题意得：，， ∵的最大值大于， ∴当，即；当，即， ∵点， ∴点在正方形及内部， ∵点，的最小值为，最大值大于， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【考点10】点坐标的规律探索 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标． 解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ∵， ∴的坐标为． ∴的坐标为 故答案为：． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，等边三角形的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，由等边三角形的顶点规律得出“点是第个等边三角形的第个顶点，且点在第四象限内”是解题的关键． 观察图形可知，等边三角形的顶点每个为一个循环，由可知，点是第个等边三角形的第个顶点，且点在第四象限内，该等边三角形的边长为，连接，设的坐标为（，），由等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出点的坐标． 解：观察图形可知，等边三角形的顶点每个为一个循环， ， 点是第个等边三角形的第个顶点， 点在第四象限内，该等边三角形的边长为， 如图，连接， 设的坐标为（，）， 由等边三角形的对称性可知： ， 点是该等边三角形的中心， ， ， ， 根据勾股定理可得：， 即：， ， ， ， ， 故选：． 3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，，……，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化，根据题意总结出点的坐标变化规律是解题的关键. 根据题意总结出点的坐标变化规律，计算即可得到答案. 解：根据题意得动点以每次一循环移动的规律移动， 由图可得，，，， ， ， ，即， 故答案为： 【考点11】由平移方式确定点的坐标 1．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 ． 【答案】（1，3） 【分析】根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5）， 又 ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到 ∵B（﹣4，2） ∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3） 故答案为：（1，3） 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键． 2．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可． 解：向右平移2个单位长度得到：即， 再向上平移3个单位长度得到：即． 故选：A． 3．如图，三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上，将三角形同样向左平移3个单位长度得到三角形．若点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查平移的性质，y轴上点的坐标特点，熟练掌握平移的性质是解题的关键：根据平移的性质得到，求出m的值即可得到点的对应点的坐标． 解：∵三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上， ∴， 得， ∴点的坐标是，则点的对应点的坐标是， 故答案为． 【考点12】已知点坐标的平移，求平移方式 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移与坐标，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点、的坐标确定出平移方式，再根据平移方式结合图形解答即可． 解：点的对应点， 平移规律为向右平移个单位，再向上平移个单位， 向右平移个单位，再向上平移个单位，得到对应点C的坐标为即． 故选：D． 3．如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质、图形与坐标等知识点，根据已知平移点确定平移方式成为解题的关键． 根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点E的坐标． 解：由题可知平移后得到点； ∴是先向右平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度； ∴点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； ∴点． 故答案为． 【考点13】轴对称 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 2．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图，这是一张蝴蝶剪纸，点A与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质．熟练掌握轴对称性质，找出对称轴，是解题的关键． 由点A与点B对称，求得对称轴为直线，再根据点D与点C对称，即可求解． 解：∵与对称， ∴对称轴为直线， ∵与点C关于直线对称， ∴点C的坐标为． 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线为直线上一动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】45 【分析】本题考查坐标与轴对称，作点关于直线的对称点，连接，易得与直线的交点即为点，证明为等腰直角三角形，进而求出的度数即可． 解：∵， ∴， 作点关于直线的对称点，连接，则， ∵轴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45． 【考点14】点围绕一个点旋转 （2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 2．如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与旋转，含30度角的直角三角形，过点作轴，根据旋转的性质，结合角的和差关系，得到，进而求出的长，即可得出结果。 解：过点作轴， ∵， ∴， ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D。 3．在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，先求得线段的中点，然后分类讨论，画出图形，结合图形，即可求解． 解：∵，设为的中点， ∴， 如图所示，当绕点逆时针旋转得到，过点分别作的垂线，垂足分别为，    ∴， ∴， ∴， ∴即 当绕顺时针旋转时，同理可得 故答案为：或． 【考点15】坐标与旋转规律 1．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可． 解：如图所示，    由图象可得，点，在x轴的正半轴上， ∴．旋转3次为一个循环， ∵ ∴点在射线的延长线上， ∴点在x轴的正半轴上， ∵，是正三角形， ∴由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴同理可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴由旋转的性质可得，， ∴如图所示，过点作轴于点E，      ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键． 2．如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是旋转的旋转，坐标规律的探究，勾股定理的应用，如图，过作轴于，求解，旋转1次后，再结合每旋转4次为一个循环可得答案． 解：如图，过作轴于， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得：， 由，可知每旋转4次为一个循环， ， 故第2025次旋转结束时点B的位置与第1次旋转结束时点B（即）的位置相同， 故选A． 3．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为．每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，以此类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转中坐标规律探究，解题的关键是确定所在的位置．分析可得：每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴，故在轴正半轴上，且，即可得到答案． 解：∵A点坐标为， ∴， ∴第一次旋转后，点在第一象限，； 第二次旋转后，点在第二象限，； 第三次旋转后，点在轴负半轴，； 第四次旋转后，点在第三象限，； 第五次旋转后，点在第四象限，； 第六次旋转后，点在轴正半轴，； 如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴上， ∵， ∴点在轴正半轴上，且， ∴ 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.4 平面直角坐标系（中考常考点分类专题） 第一部分【题型目录】 【知识点一】确定平面上物体的位置 【考点1】确定平面上物体的位置......................................................1 【知识点二】平面直角坐标系 【考点2】点的位置..................................................................2 【考点3】点到坐标轴的距离..........................................................3 【考点4】坐标与图形................................................................3 【考点5】坐标规律探索..............................................................4 【知识点三】坐标与图形位置 【考点6】实际问题中用坐标表示位置..................................................5 【考点7】用方向角和距离确定物体位置................................................6 【知识点四】坐标与图形的变化 【考点8】坐标与图形................................................................7 【考点9】坐标系中描点..............................................................7 【考点10】点坐标的规律探索.........................................................8 【考点11】由平移方式确定点的坐标...................................................9 【考点12】已知点坐标的平移，求平移方式............................................10 【考点13】轴对称..................................................................11 【考点14】点围绕一个点旋转........................................................12 【考点15】坐标与旋转规律..........................................................12 第二部分【题型展示与考点点拨】 【知识点一】确定平面上物体的位置 【考点1】确定平面上物体的位置 1．（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．    2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　） A．东经，北纬 B．某地静安路 C．某班教室第列 D．北偏东 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，线段的长度分别是，，，且平分．若将点表示为，点B表示为，则点可表示为_____________． 【知识点二】平面直角坐标系 【考点2】点的位置 1．（2021·青海·中考真题）已知点在第四象限，则的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）某数学兴趣小组的同学们，把6个形状、大小完全相同的长方形叠加成如图所示的三个上升的“L”图案，放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【考点3】点到坐标轴的距离 1．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 2．（23-24八年级·全国·假期作业）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，它到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点P的坐标为（    ） A． B．） C． D． 3．（15-16七年级下·广东珠海·期中）已知点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，到x轴的距离为5，则点P的坐标是 ． 【考点4】坐标与图形 1．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是 ． 2．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为 （         ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作，且．连接，当取得最小值时，点的坐标为 ． 【考点5】坐标规律探索 1．（2023·新疆克孜勒苏·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东日照·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为 ． 3．（2021九年级·北京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．正方形从图中的位置出发，以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向旋转．同时，点从点出发，以每秒移动1个单位长度的速度，沿正方形的边，按照的路线循环运动．第1秒时点的坐标为，第2秒时点的坐标为 ，第2020秒时点的坐标为 ． 【知识点三】坐标与图形位置 【考点6】实际问题中用坐标表示位置 1．（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 2．（23-24七年级下·山东德州·期中）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“帥”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西太原·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若两点的坐标分别为，则点的坐标为 【考点7】用方向角和距离确定物体位置 1．（2017·河北·中考真题）如图，码头在码头的正西方向，甲、乙两船分别从、同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东,为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 2．（2021·湖北荆州·一模）如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达处，测得小区位于的北偏西60°方向．当在主输气管道上寻找支管道连接点，使到该小区铺设的管道最短时，的长为 ． 3．（2022·河北·二模）如图，甲、乙二人同时从A地出发，甲沿北偏东50°方向行走200m后到达B地，然后立即向正东方向行走200m，二人恰好在C地相遇，若乙中途未改变方向，则乙的行走方向为（    ） A．北偏东30° B．北偏东40° C．北偏东70° D．无法确定 【知识点四】坐标与图形的变化 【考点8】坐标与图形 1．（2017·河南·中考真题）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 【考点9】坐标系中描点 1．（2016·山东滨州·中考真题）如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（－3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（　　） A．（2，－3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，－2） 2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴上一动点，要使为等腰三角形，那么符合要求的点的位置共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．在直角坐标系中，点，点，的最小值为，最大值大于，则的取值范围 ． 【考点10】点坐标的规律探索 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，，，，，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，，，，，顶点，，，，均在轴上，点是所有等边三角形的中心，点的坐标为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，，……，则点的坐标是 ． 【考点11】由平移方式确定点的坐标 1．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 ． 2．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上，将三角形同样向左平移3个单位长度得到三角形．若点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 【考点12】已知点坐标的平移，求平移方式 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ． 【考点13】轴对称 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 2．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图，这是一张蝴蝶剪纸，点A与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线为直线上一动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【考点14】点围绕一个点旋转 （2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 【考点15】坐标与旋转规律 1．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．    2．如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，，．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为．每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，以此类推，则点的坐标为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$