专题2.2 平行四边形（4大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题2.2 平行四边形（4大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 【要点提示】平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 【知识点2】平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 【要点提示】 （1） 平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角 互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2） 由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3） 利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关 系来解决. 【知识点3】平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【要点提示】 （1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应 选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【知识点4】平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等. 考点与题型目录 【考点一】平行四边形的性质 【题型1】利用平行四边形的性质求值..............................................2 【题型2】利用平行四边形的性质证明..............................................3 【题型3】平行四边形性质的应用..................................................4 【考点二】平行四边形的判定 【题型4】判断能否构成平行四边形................................................4 【题型5】添一个条件成为平行四边形..............................................5 【题型6】求与已知三点组成平行四边形的点的个数..................................6 【题型7】证明四边形是平行四边形................................................6 【考点三】平行四边形的判定与性质综合 【题型8】利用平行四边形的判定与性质求解........................................7 【题型9】利用平行四边形性质和判定证明..........................................8 【题型10】平行四边形性质和判定.................................................9 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型11】中考链接............................................................10 【题型12】拓展延伸............................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】平行四边形的性质 【题型1】利用平行四边形的性质求值 【例1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则 ． 【题型2】利用平行四边形的性质证明 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点，在对角线上，连接，，使得，求证：，． 【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，，分别为边上的点．要使，需添加一个条件，下列添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则 °． 【题型3】平行四边形性质的应用 【例3】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： 　 （1）在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份； （2）在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【变式1】（21-22八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【变式2】（17-18八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【考点二】平行四边形的判定 【题型4】判断能否构成平行四边形 【例4】（22-23八年级下·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，已知， ， ，是平面内的一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形. （1）若，则平行四边形中，点的坐标为________； （2）的最小值为________． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知四边形，有以下四组条件：，；，；，；，，其中可以确定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 【题型5】添一个条件成为平行四边形 【例5】（22-23八年级下·江西吉安·期末）如图，E、F是四边形的对角线上的两点．   （1）若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形． （2）在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 【题型6】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例6】（22-23八年级下·全国·单元测试）小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【变式1】（18-19八年级下·广东深圳·期中）已知A，B，C三点的坐标分别是（3，3），（8，3），（4，6），若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（    ） A．（，6） B．（9，6） C．（7，0） D．（0，） 【变式2】（18-19八年级下·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标为、、，以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐标为 ． 【题型7】证明四边形是平行四边形 【例7】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线上，且．求证：． 【变式1】（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，将平移后得到，连接，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．四边形是平行四边形 D．平移的距离为3 【变式2】（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为 ．    【考点三】平行四边形判定与性质综合 【题型8】利用平行四边形的判定与性质求解 【例8】（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点．点是对角线的中点，连接、．已知，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 【题型9】利用平行四边形性质和判定证明 【例9】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（2023·四川达州·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【题型10】平行四边形性质和判定的应用 【例10】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    【变式1】3．如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（2023·吉林长春·一模）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为 ． 第二部分【链接中考与延伸拓展】 【题型11】中考链接 【例1】（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【例2】（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，连接，将绕点顺时针旋转一定角度（旋转角小于）得到，点的对应点分别为E，F．，分别与边交于点与边交于点． 数学思考： （1）当时，的度数为______． （2）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （3）当时，请直接写出四边形的面积． 【例2】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状）， ∴；∵，， ∴是______（填的形状），∴． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 平行四边形（4大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 【要点提示】平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 【知识点2】平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 【要点提示】 （1） 平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角 互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2） 由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3） 利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关 系来解决. 【知识点3】平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【要点提示】 （1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应 选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【知识点4】平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等. 考点与题型目录 【考点一】平行四边形的性质 【题型1】利用平行四边形的性质求值..............................................2 【题型2】利用平行四边形的性质证明..............................................5 【题型3】平行四边形性质的应用..................................................7 【考点二】平行四边形的判定 【题型4】判断能否构成平行四边形...............................................10 【题型5】添一个条件成为平行四边形.............................................14 【题型6】求与已知三点组成平行四边形的点的个数.................................17 【题型7】证明四边形是平行四边形...............................................20 【考点三】平行四边形的判定与性质综合 【题型8】利用平行四边形的判定与性质求解.......................................22 【题型9】利用平行四边形性质和判定证明.........................................26 【题型10】平行四边形性质和判定................................................30 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型11】中考链接............................................................32 【题型12】拓展延伸............................................................35 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】平行四边形的性质 【题型1】利用平行四边形的性质求值 【例1】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明则，进而证明，得出； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，进而得．由勾股定理，可求得．根据，即可求解． 解：（1）证明：连接． ∵将绕点沿顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴（）， ∴． ∵，， ∴（）． ∴． （2）解：由旋转性质得，， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ 由勾股定理，可求得， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形性质和三角形内角和定理，熟记所学知识是解题关键．根据平行四边形的性质求出，再利用三角形内角即可求解． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据平行四边形的性质可证、，根据等角对等边可知，根据线段的和与差可知，从而可求． 解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【题型2】利用平行四边形的性质证明 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点，在对角线上，连接，，使得，求证：，． 【答案】证明见分析． 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．证明，则，，再利用补角的性质得到，则． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，，分别为边上的点．要使，需添加一个条件，下列添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定解答．根据平行四边形的性质和全等三角形的判定推出即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 添加， ∴，利用使，故A不符合题意； 添加， ∴， ∴，利用使，故B不符合题意； 添加，利用使，故C不符合题意； 添加，不能使，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则 °． 【答案】110 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理及外角性质等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得，进一步可得，根据已知条件可得的度数，进一步求出的度数即可求解． 解：在平行四边形中，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ 故答案为：110． 【题型3】平行四边形性质的应用 【例3】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： 　 （1）在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份； （2）在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）做出平行四边形的一条对角线即可； （2）先确定对角线的交点O，然后再作过O、E的直线即可． 解：（1）解：如图所示，线段AC（或BD）即为所示． （2）解：如图所示，直线OE即为所示． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质的应用，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 【变式1】（21-22八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】C 【分析】根据，计算出的面积，再根据的面积是的面积的4 倍计算出最后的答案． 解： 过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E ∵在中，AO=OC， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：C． 【点拨】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关知识． 【变式2】（17-18八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 【考点二】平行四边形的判定 【题型4】判断能否构成平行四边形 【例4】（22-23八年级下·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，已知， ， ，是平面内的一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形. （1）若，则平行四边形中，点的坐标为________； （2）的最小值为________． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）当时 ，，根据在平行四边形中是以为对角线形，得出的中点坐标为，即可解答； （2）根据题意，点C在直线上，则可分为两种情况进行讨论：①当与是对角线时，②与是边时；是对角线时直线时，最小，是边时，，通过比较即可得出结论； 解：（1）当时 ，， 在平行四边形中是以为对角线形， ∵，， ∴的中点坐标为， 设点的坐标为， ∵， ∴ ∴ 故点的坐标为； （2）根据题意，点在直线图像上， 当与是对角线时，与相交于点， 则当直线时，最小； 如图：    ∵， 由平行四边形的性质，点为的中点， ∴点为， ∵直线， 设的直线解析式为：，把点代入， 得：，解得：， ∴的直线解析式为：； ∴， 解得：， ∴点坐标为：， ∴ ∴ 当与是边时，如图：      ∵, ∴的最小值为： 故答案为； 【点拨】本题考查了平行四边形的性质, 求一次函数解析式，勾股定理，以及坐标与图形， 解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，注意进行分情况讨论． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知四边形，有以下四组条件：，；，；，；，，其中可以确定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 解：如图， ，，不能确定四边形为平行四边形，故不符合题意； ，，不能确定四边形为平行四边形，故不符合题意； ，，能确定四边形为平行四边形，故符合题意； ，，不能确定四边形为平行四边形，故不符合题意； 综上所述，可以确定四边形为平行四边形的是， 故选：C． 【变式2】（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积公式，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与面积公式是解答本题的关键． 过点作于点，根据的面积是，得到，再根据题意证明四边形是平行四边形，求出四边形的面积即可． 解：过点作于点，如图： 的面积是， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 【题型5】添一个条件成为平行四边形 【例5】（22-23八年级下·江西吉安·期末）如图，E、F是四边形的对角线上的两点．   （1）若，只添加一个条件：　 ，使四边形为平行四边形． （2）在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）见分析 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法解答即可； （2）由，得，再证明得，进而即可得到结论． 解：（1）或（填写一个答案即可）， 当添加时， ∵， ∴四边形为平行四边形． 当添加时， ∵， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：或（填写一个答案即可） （2）如图，连接，，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 解：A．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意；     B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； C．∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意；     D．由，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 【变式2】（22-23八年级下·湖北荆州·期中）如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，有如下四个条件：①；②；③；④，如果从中选择一个作为添加条件，使四边形是平行四边形，那么这个添加的条件可以是 （填写序号）． 【答案】②（或③，或④） 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． 若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形．若添加条件②，连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得，得到，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得证． 解：若添加添加①，无法证明四边形是平行四边形． 若添加条件②，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件③，可得四边形是平行四边形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 若添加条件④，可得四边形是平行四边形． 理由如下： 连接，交于点O ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，添加的条件可以是②或③或④． 故答案为：②（或③，或④） 【题型6】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例6】（22-23八年级下·全国·单元测试）小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【答案】3种情况，画图见分析 【分析】先连接，，，再分别以，为圆心，，为半径画圆，得到交点E，同法可得D，再延长，交于点F，从而可得答案． 解：如图，第四棵树的位置有3个位置，    【点拨】本题考查的是平行四边形的作图，掌握利用尺规画平行四边形是解本题的关键． 【变式1】（18-19八年级下·广东深圳·期中）已知A，B，C三点的坐标分别是（3，3），（8，3），（4，6），若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（    ） A．（，6） B．（9，6） C．（7，0） D．（0，） 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，分别从以BC为对角线、以AC为对角线、以AB为对角线去分析求解即可求得答案． 解：当以BC为对角线时：CD=AB=5，此时D（9，6）； 当以AC为对角线时，CD=AB=5，此时D（-1，6）； 当以AB为对角线时，AD=BC═4，此时点D（7，0）． ∴D点的坐标不可能是：（0，-6）． 故选：D． 【点拨】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．解此题的关键是分类讨论数学思想的运用． 【变式2】（18-19八年级下·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标为、、，以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐标为 ． 【答案】，，． 【分析】先再直角坐标系中把A、B、C三点找出来，再根据平行四边形的判定把第四个点画出来，即可得到第四个点的坐标． 解：A、B、C三点的位置如图所示， 要使四边形为平行四边形， 第一种情况：以AB为平行四边形的对角线， ∵AB落在坐标轴上， ∴第四个点与点C点关于x轴对称， 即得到第四点D的坐标为：， 第二种情况：以AB为平行四边形的边， 这时候如图得到两点E、F能与A、B、C构成平行四边形， ∵AB的长度为4， ∴如上图，得到E点坐标为：，F点坐标为：， 故答案为：，，． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形的性质、平行四边形的性质与判定，解题的关键是利用已知条件正确画图再数形结合，能起到事半功倍的作用． 【题型7】证明四边形是平行四边形 【例7】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线上，且．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到，再根据平行的性质得到，然后再通过全等三角形的判定证明从而得到，即可证明． 解：证明：∵，； ∴四边形是平行四边形； ∴； ∴； ∵O为AC的中点； ∴； ∴在和中； ； ∴（）； ∴； ∴； 即． 【变式1】（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，将平移后得到，连接，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．四边形是平行四边形 D．平移的距离为3 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平移的基本性质是解答此题的关键． 根据平移的性质可得，，一一判断即可． 解：由平移的性质可得：，， ∴平移的距离为3，故D正确； ，故A正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形，故C正确； ∵，不能得到，故B错误； 故选：B． 【变式2】（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，延长到，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由阿波罗尼奥斯定理得，即可求解，掌握平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 解：如图所示，    延长到，使，连接，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由阿波罗尼奥斯定理得，， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点三】平行四边形判定与性质综合 【题型8】利用平行四边形的判定与性质求解 【例8】（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点．点是对角线的中点，连接、．已知，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识； （1）由点是对角线的中点，，得到，又，是公共边，即可证明全等． （2）延长交于，证出垂直平分，又，得到，又，证出四边形是平行四边形，得到，利用勾股定理求出，从而得到的长． 解：（1）证明：点是对角线的中点， ， ， ， 又，， ． （2）解：如图，延长交于， ，， 垂直平分 ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ． 【变式1】（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键． 过作交于，根据平行四边形的性质得到，求得，得到，，根据已知条件得到，求得，根据平行线的性质得到，得到，于是得到结论． 解：过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵于，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是判断出．根据平行线的性质得，由平分得，等量代换得，根据等腰三角形的性质得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论． 解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【题型9】利用平行四边形性质和判定证明 【例9】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质可得：，，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由四边形是平行四边形可得：，，结合，可得，即可得证． 解：（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 【变式1】（2023·四川达州·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 解：A、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 【变式2】（20-21八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【答案】13 【分析】先由平移性质证明四边形为平行四边形，从而得，进而使得，再作关于直线的对称点，由对称性得，再由，求出，，由勾股定理求出即可． 解：连接，∵平行四边形， ∴，， 由平移性质得：，， 四边形为平行四边形， ， ， 作关于直线的对称点，连接，，交延长线于， 由对称性得：，，， ， ，， ， ，， ∵， ， ， 的最小值为， 故答案为： 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、最短路径问题、勾股定理，解决此题的关键是证明四边形为平行四边形、再作关于直线的对称点，将的最小值转化为． 【题型10】平行四边形性质和判定的应用 【例10】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    【答案】见分析 【分析】根据桥垂直于河的两岸可得桥的长度为定值，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽，连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．利用平行四边形的性质可得为所建桥的位置． 解：如图，将点A向下平移至点C，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点N，过点N作于点M，连接．则为所建桥的位置．    ∵桥垂直于河的两岸， ∴可得桥的长度为定值， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点与点之间线段最短，为定值， ∴最短，即从A地到B地的路程最短， ∴为所建桥的位置． 【点拨】此题考查了平移及最短路径问题及平行四边形得判定与性质，主要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【变式1】3．如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB， ∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC， ∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形， ∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC， ∴△ABD≌△CDB， ∴； 同理可得：，，， ∴ 即，也即． 故选A． 【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键． 【变式2】（2023·吉林长春·一模）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交    的延长线于点F．若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】根据平行四边形特性、直角三角形特性、中位线特性求解即可 解：∵，， ∴， 又 ∴四边形为平行四边形 又为直角三角形斜边中线 ∴ ∴ 故答案为：5 【点拨】本题考查平行四边形特性、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握这些是本题关键． 第二部分【链接中考与延伸拓展】 【题型11】中考链接 【例1】（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）①或②，证明见分析；（2）6 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 解：（1）解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴． 【例2】（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见分析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，连接，将绕点顺时针旋转一定角度（旋转角小于）得到，点的对应点分别为E，F．，分别与边交于点与边交于点． 数学思考： （1）当时，的度数为______． （2）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （3）当时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理； （1）由结合，，得，，当时，，再由旋转的性质得即，即可得； （2）由旋转可得，，，即可证明，得到，推出，再证明，即可得到； （3）当时，，，此时、、都是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，，最后根据，代入计算即可． 解：（1）∵在中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵将绕点顺时针旋转一定角度（旋转角小于）得到， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵将绕点顺时针旋转一定角度（旋转角小于得到， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）当时，，， ∴， ∴，，，， ∴、、都是等腰直角三角形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴. 【例2】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）问题探究： 一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题． （1）如图1，两条长度相等的线段和相交于G点，，试说明线段． 分析：考虑通过平移，将、和集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明． 如图1，作且，则四边形是______（填四边形的形状）， ∴；∵，， ∴是______（填的形状），∴． 当与不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，______（填>或=或<）； 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，，∴． 问题解决： （2）如图2，在中，，，点M，点N分别在，上，交于点G，，． ①求证：； ②求的值； 拓展应用： （3）如图3，在中，，点M，点N分别在，上，交于点G，若，，，，直接写出长（用含a、b的代数式表示）． 【答案】（1）平行四边形，等边三角形，；（2）①见分析；②；（3） 【分析】（1）根据证明过程即可求解； （2）①作且，连接，可得四边形是平行四边形，进而得，，， 证即可；②作，可推出；设，则；结合，可得，进一步可得，根据即可求解； （3）作且，连接，作，则四边形是平行四边形，，，可证是等边三角形；根据可得，结合可得，即可求解 解：（1）作且，则四边形是平行四边形； ∵，， ∴是等边三角形； 由三角形三边关系可知，， 当与平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时，， ∴； 故答案为：平行四边形，等边三角形，； （2）①作且，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴； ②作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． （3）作且，连接，作，如图所示： 则四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点拨】本题考查了平移、平行四边形判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，根据平移作出辅助线，转移角度和线段是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$