2.2.1 平行四边形的性质 同步练习 2024-2025学年 湘教版八年级下册数学

2.2.1 平行四边形的性质 同步练习 　 班级__________姓名____________总分___________ 本节应掌握和应用的知识点 1．两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形,平行四边形ABCD记作▱ABCD． 2．平行四边形的对边相等,对角相等． 3．夹在平行线间的平行线段相等． 4．平行四边形的对角线互相平分． 基础知识和能力拓展精练 一、选择题 1．平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2．在□ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AC＝10，BD＝8，则AD长的取值范围是（ ） A. AD＞1 B. AD＜9 C. 1＜AD＜9 D. AD＞10 3．如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（ ） A. 8.3 B. 9.6 C. 12.6 D. 13.6 4．□ABCD的周长为36 cm，AB=BC，则较长边的长为（ ） A. 15 cm B. 7.5 cm C. 21 cm D. 10.5 cm 5．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BC相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为4，□ABCD的周长为28，则BC的长度为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 6．平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对边平行 C. 对角线互相垂直 D. 对边相等 7．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=54°，则∠BCE的度数为（　　） ​ A. 54°      B. 36°     C. 46°        D. 126° 8．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O．过点O作OE⊥AC，交AD于点E．连接CE，则△CDE的周长为（   ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 11 9．如图，在平行四边形ABCD中，都不一定成立的是(　　) ①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD． A. ①和④ B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④ 10．如图所示,在▱ABCD中,分别以AB,AD为边向外作等边△ABE,△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E之间,连接CG,CF,则下列结论不一定正确的是( 　) A. △CDF≌△EBC B. ∠CDF=∠EAF C. CG⊥AE D. △ECF是等边三角形 二、填空题 11．和直线l距离为8 cm的直线有______条. 12．如图，平行四边形ABCD中，AC=4cm，BC=5cm，CD=3cm，则▱ABCD的面积__． 13．如图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△_____，△AOD≌△_____． 14．在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______. 15．如图所示，在▱ABCD中，E为AD中点，CE交BA的延长线于F，若BC=2AB，∠FBC=70°，则∠EBC的度数为__度． 16．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_______． 三、解答题 17．如图所示，已知□ABCD，对角线AC、BD相交于点O，EF是过点O的任一直线，交AD于点E，交BC于F，试说明OE与OF之间的关系，并说明理由． 18．如图所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点E的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路． 19．19．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF . 20．已知▱ABCD的周长为36cm，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F.若AE＝2cm，AF＝4cm.求▱ABCD的各边长． 21．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC． 求证：BE=DG 22．已知在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC 交线段AE于F. （1）如图1，若AE=AD，ADC=60, 请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系; （2）如图2, 若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成立, 请说明理由； 23．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF平分∠ABE，EF=2，BF=4，求平行四边形ABCD的面积． 参考答案 1．B 【解析】解：如图，▱ABCD中，AC，DB分别分得△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB， 又对角线互相平分得到△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，所以有4对． 故选B． 2．C 【解析】解：平行四边形的对角线互相平分得：两条对角线的一半分别是5，4．再根据三角形的三边关系，得：1＜AD＜9．故选C． 3．B 【解析】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF=OE=1.3．∵▱ABCD的周长=（4+3）×2=14 ∴四边形BCEF的周长=×▱ABCD的周长+2.6=9.6．故选B． 4．D 【解析】解：∵▱ABCD的周长=2（AB+BC）=36，∴AB+BC=18．∵AB=BC，∴BC=10.5． 故选D． 5．D 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC． ∵△BOC与△AOB的周长之差为4，∴BC-AB=4． ∵平行四边形ABCD的周长为28，∴BC+AB=14，∴AB=5，BC=9．故选D． 6．C 【解析】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，∴平行四边形不一定具有的性质是C选项．故选C． 7．B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵∠EAD=54°， ∴∠B=∠EAD=54°， ∵CE⊥AB， ∴∠BCE=90°-54°=36°． 故选B. 8．C 【解析】根据平行四边形的性质， ∴AO=OC， ∵OE⊥AC， ∴OE为AC的垂直平分线， ∴AE=EC， ∴△CDE的周长为：CD+AD=5+3=8， 故选C. 9．D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，故①成立； AD∥BC，故③成立； 利用排除法可得②与④不一定成立， ∵当四边形是菱形时，②和④成立。 故选D. 10．C 【解析】A.在平行四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB， ∵△ABE、△ADF都是等边三角形， ∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°， ∴DF=BC，CD=BC， ∴∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC， ∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC， ∴∠CDF=∠EBC， 在△CDF和△EBC中， DF=BC, ∠CDF=∠EBC, CD=EB, ∴△CDF≌△EBC（SAS）， 故A正确； B.在平行四边形ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC， ∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC， ∴∠CDF=∠EAF， 故B正确； C. .当CG⊥AE时，∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABG=30°， ∴∠ABC=180°-30°=150°， ∵∠ABC=150°无法求出， 故C错误； D. 同理可证△CDF≌△EAF， ∴EF=CF， ∵△CDF≌△EBC， ∴CE=CF， ∴EC=CF=EF， ∴△ECF是等边三角形， 故D正确； 故选C. 点睛：本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项． 11．2 【解析】解：在同一平面上，和直线l距离为8cm的直线在直线L的两侧各有一条．故答案为：2． 点睛：本题考查了平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等是解答此题的关键． 12．12cm2 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=3cm， ∵AC=4cm，BC=5cm， ∴AC2+AB2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴S△ABC=×3×4=6cm2， ∴则ABCD的面积=2×6=12cm2. 13．△COD，△COB 【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，∴AB=CD，AD=BC，AO=CO， BO=DO，∴△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．故答案为：△COD，△COB． 14． 45° 135° 【解析】解：∵已知平行四边形ABCD，∴∠A=∠C，∠B+∠C=180°． 又∵∠A+∠C=270°，∴2∠C=270°，∠C=135°，∴∠B=180°-∠C=180°-135°=45°． 故答案为：∠C=135°，∠B=45°． 15．35 【解析】∵ABCD， ∴AB=CD，DC∥AB， ∴∠ECD=∠EFA, ∵DE=AE，∠DEC=∠AEF, ∴△DEC≌△AEF, ∴DC=AF, ∴AB=AF. ∵BC=2AB，AB=AF, ∴BC=BF, ∴△FBC为等腰三角形, 再由△DEC≌△AEF，得EC=EF, ∴∠EBC=∠EBF=∠CBF=×70°=35°. 16．24 【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD， ∴∠DAB＋∠CBA＝180°， 又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB＋∠PBA＝ (∠DAB＋∠CBA)＝90°， 在△APB中，∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°； ∵AP平分∠DAB， ∴∠DAP＝∠PAB， ∵AB∥CD， ∴∠PAB＝∠DPA， ∴∠DAP＝∠DPA， ∴△ADP是等腰三角形， ∴AD＝DP＝5， 同理：PC＝CB＝5， 即AB＝DC＝DP＋PC＝10， 在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8， ∴BP＝＝6， ,∴△APB的周长＝6＋8＋10＝24； 故答案为：24． 点睛：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用． 17．OE与OF相等. 【解析】试题分析：结论：OE=OF，欲证明OE=OF，只要证明△AOE≌△COF即可． 试题解析：解：结论：OE=OF．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF． 在△AOE和△COF中， ∵∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，AO＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF． 点睛：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 18．见解析 【解析】试题分析：首先连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点N，根据三角形面积关系，只要证明△EIN面积等于△GIF面积，即可解决问题． 试题解析：解：连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点N．连接GN，GN就是所取直的小路． 证明：设GN交FE于点I． ∵EG∥FN，∴△GNF的面积等于△EFN的面积，（同底等高）． 把两个三角形面积都减去△FIN面积，所以△EIN面积等于△GIF面积，即小路两侧土地面积都不变． 点睛：此题考查的是等积变换，能根据题意作出辅助线，构造出面积相等的三角形是解答此题的关键． 19．证明见解析. 【解析】试题分析：根据已知条件易证∠ADE=∠CBF，AD=CB，由AAS证△ADE≌△CBF即可． 试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=CB，AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED=∠CFB=90°， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（AAS）． 20．AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝12cm. 【解析】【试题分析】根据▱ABCD的周长为36cm，得BC＋CD＝18；根据等面积法，得S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF，解得：BC＝2CD，两式联立方程组，，解得，根据平行四边形的对边相等，得AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝12cm. 【试题解析】 ∵▱ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，又∵▱ABCD的周长为36cm.即AB＋BC＋CD＋AD＝36，即BC＋CD＝18，又∵S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF，∴2BC＝4CD，即BC＝2CD，解方程组，得，∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝12cm. 21．见解答过程． 【解析】试题分析：根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG. 试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD． ∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成． ∴CG⊥AD． ∴∠AEB=∠CGD=90°． ∵AE=CG， ∴Rt△ABE≌Rt△CDG． ∴BE=DG； 点睛：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的性质与平移的基本性质（①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等）． 22．（1）CD=AF+BE.（2）（1）中的结论仍然成立.证明见解析. 【解析】试题分析：(1)、利用截长补短法可以得出线段之间的关系；(2)、延长EA到G，使得AG=BE，连结DG，根据平行四边形的性质得出△ABE和△DAG全等，从而得出DG=AB，根据角度之间的关系得出DG=GF，即CD=GF=AF+AG=AF+BE得出答案． 试题解析：(1)、CD=AF+BE． (2)、解：（1）中的结论仍然成立． 证明：延长EA到G，使得AG=BE，连结DG， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥CD，AD=BC， ∵ AE⊥BC于点E， ∴ ∠AEB=∠AEC=90， ∴∠AEB=∠DAG=90， ∴ ∠DAG=90， ∵ AE=AD， ∴ △ABE≌△DAG， ∴∠1=∠2， DG=AB， ∴∠GFD=90-∠3， ∵ DF平分∠ADC， ∴∠3=∠4， ∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180-∠FAD-∠3=90-∠3， ∴∠GDF=∠GFD，∴ DG=GF. ∴ CD=GF=AF+AG= AF + BE， 即 CD = AF +BE． 23．（1）证明见解析（2）8 【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE； （2）由（1）知△ABE是等腰三角形，得出BF⊥AE，AF=2EF=4，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积= AE•BF，即可得出结果． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE， ∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE，∴BE=CD； （2）∵AB=BE，BF平分∠ABE，， ∴AF=2EF=4，BF⊥AE. ∵AD∥BC， ∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E， 在△ADF和△ECF中， ∠D=∠ECF , ∠DAF=∠E, AF=EF， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴△ADF的面积=△ECF的面积， ∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×4=8． 点睛：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质解决问题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$